人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：不等式与线性规划

1、不等式与线性规划知识讲解一、不等式的定义1.定义：用不等号（）连接的式子叫不等式2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解不等式变形3.不等式的性质1）（反身性或对称性）2），（传递性）3）4），则5），则；如果，则6），则7），则8），则二、不等式的解法1.一元二次不等式的解集如下表判别式二次函数（）的图像一元二次方程（）有两个相异实根（）有两个相异实根（）没有实数根（）的解集或（）的解集2.分式不等式的解法1）2）且3）3.无理不等式的解法1）或2）4.绝对值不等式1）绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上两点间的

2、距离 2）当时，或，；当时，3）绝对值不等式的解法公式法或平方法分情况讨论法4.高次不等式（穿线法：）一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是：1）将最高次项的系数化为正数；2）将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；三、基本不等式均值定理：定理：对于任意实数，当且仅当时，等号成立推论：如果，是正数，那么，当且仅当时，有等号成立四、线性规划的有关概念1.约束条件：由未知数的不等式（或方程）组成的不等式组成为的约束条件不等式组就是的一个约束条件2.线性约

3、束条件：关于未知数的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为的线性约束条件，不等式组就是的一个约束条件3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式如：已知满足约束条件，分别确定的值，使取到最大值和最小值使达到最值，其中和均为目标函数4.线性目标函数：目标函数为变量的一次解析式如上例中，为线性目标函数，而就不是线性目标函数，只是一个目标函数5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题6.可行解：满足约束条件的解7.可行域：所有可行解组成的集合8.最优解：使目标函数取得最值的可行解五、线性规划的图解法1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线（目标函数为）2.移：平行移动直线，确定

4、使取得最大值或最小值的点3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值经典例题1 选择题（共16小题）1已知0c1，ab1，下列不等式成立的是（）acacbbacbccaa-cbb-cdlogaclogbc【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于a、构造函数y=cx，由于0c1，则函数y=cx是减函数，又由ab1，则有cacb，故a错误；对于b、构造函数y=xc，由于0c1，则函数y=xc是增函数，又由ab1，则有acbc，故b错误；对于c、aa-cbb-c=ab-ac-ab+bc(a-c)(b-c)=c(b-a)(a-c)(b-c)，又由0c1，ab1，则（ac）0、（bc

5、）0、（ba）0，进而有aa-cbb-c0，故有aa-cbb-c，故c错误；对于d、logaclogbc=lgclgalgclgb=lgc（lgb-lgalgalgb），又由0c1，ab1，则有lgc0，lgalgb0，则有logaclogbc=lgclgalgclgb=lgc（lgb-lgalgalgb）0，即有logaclogbc，故d正确；故选：d2若实数a、b、c同时满足：a2b2；1+aca+c；logbac则a、b、c的大小关系是（）abacbcbaccabdabc【解答】解：实数a、b、c同时满足：a2b2；1+aca+c；logbac由可得：a，b0，b1，又由可得ab0由可得

6、：（a1）（c1）0，则&a1&c1或&a1&c1由&a1&c1，及其可得，若ab1，则logba1，由c1，可得abc；若0b1，则logba0，c0，可得abc；由&a1&c1，及其可得logba1，可得ab1，与ab矛盾，综上可得abc，故选：d3给出如下四个命题：e2e2ln22323ln22ln，正确的命题的个数为（）a1b2c3d4【解答】解：要证e2e2，只要证2eln2，即2eln2，设f（x）=elnxx，x0，f（x）=ex1=e-xx，当0xe时，f（x）0，函数单调递增，当xe时，f（x）0，函数单调递减，

7、f（x）f（e）=elnee=0，f（2）=eln220，即2eln2，e2e2，因此正确3ln2=ln8ln2.82lne2=2ln223，因此正确，242=16，333=27，因此23，正确，22，ln22ln，正确；正确的命题的个数为4个，故选：d4设x，y满足约束条件&x-y+10&x+2y-20&4x-y-80，则z=|x+3y|的最大值为（）a15b13c3d2【解答】解：由约束条件&x-y+10&x+2y-20&4x-y-80作出可行域如图，联立&x-y+1=0&4x-y-8=0，解得a（3，4），由图可知，z=|x

8、+3y|=x+3y，化为y=x3+z3当直线y=x3+z3过a时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为15故选：a5设x，y满足约束条件&2x-y0&x+13y1&y0，若z=ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）a2或3b3或2c13或12d13或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分oab）由z=yax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在a处取得最大值，不满足条件，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2xy=0平行，此

9、时a=2，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+13y=1平行，此时a=3，综上a=3或a=2，故选：a6设x，y满足约束条件&x-2y-2&3x-2y3&x+y1，若x2+4y2m恒成立，则实数m的最大值为（）a12b34c45d56【解答】解：设a=x，b=2y，则不等式x2+4y2m等价为a2+b2m，则约束条件等价为&a-b-2&3a-b3&2a+b2，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=a2+b2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离，由图象知o到直线2a+b

10、=2的距离最小，此时原点到直线的距离d=|2|22+1=25，则z=d2=45，即m45，即实数m的最大值为45，故选：c7设x，y满足约束条件&y12x&x+y-30&xt且z=y-x的最大值是1，则t的值为（）a1b1c2d2【解答】解：由约束条件作出可行域如，z=yx的斜率为1，截距最大，所以只有目标函数z=yx过a时取最大值是1，由&x+y=3&y-x=1，解得a（1，2）此时，t=1；故选：b8已知x，y满足&x0&x+2y3&2x+y3，z=xy的最小值、最大值分别为a，b，且x2kx+10对xa，b上恒成立，则k的取

11、值范围为（）a2k2bk2ck2dk14572【解答】解：x，y满足&x0&x+2y3&2x+y3的可行域如图：z=xy，当x一定，y最大时，z最大，y一定则x最大时，z最大，所以，最大值一定在线段2x+y=3上取得，最小值在（0，1.5）处取得z=x（32x）=2x2+3x，x0，1，所以z的最大值为：-2×(34)2+3×34=98，最小值为：0，x2kx+10对x0，98上恒成立，可得kx+1x，因为x+1x2，此时x=1，10，98，所以则k的取值范围为：k2故选：b9已知变量x，y满足&x-y+30&x+y-50&x

12、2，则目标函数z=12x-y的最值是（）azmin=4，zmax=2bzmax=2，zmin=3czmax=72，z无最小值dz既无最大值，也无最小值【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=12xy得y=12xz，平移直线y=12xz，则由图象可知当直线y=12xz经过点a时，直线y=12xz的截距最小，此时z最大，由&x-y+3=0&x+y-5=0，解得&x=1&y=4，即a（1，4），此时zmax=12×14=72，z无最小值，故选：c10已知不等式组&y-x+2&ykx+1&y0所表示的平面区域为面积等于94的三角形

13、，则实数k的值为（）a1b2c1或2d-29【解答】解：不等式组&y-x+2&ykx+1&y0所表示的平面区域为面积等于94的三角形，如图：平面为三角形所以过点（2，0），y=kx+1，与x轴的交点为（1k，0），y=kx+1与y=x+2的交点为（1k+1，2k+1k+1），三角形的面积为：12×（2+1k）×2k+1k+1=94，解得：k=1故选：a11设不等式组&x+y4&y-x0&x-10表示的平面区域为d，若圆c：（x+1）2+y2=r2（r0）不经过区域d上的点，则r的取值范围为（）a（0，5）（13，+）b（13，

14、+）c（0，5）d5，13【解答】解：作出不等式组&x+y4&y-x0&x-10表示的平面区域，得到如图的mnp及其内部，其中m（1，1），n（2，2），p（1，3）圆c：（x+1）2+（y+1）2=r2（r0）表示以c（1，1）为圆心，半径为r的圆，由图可得，当半径满足rcm或rcp时，圆c不经过区域d上的点，cm=(1+1)2+(1+1)2=22，cp=(1+1)2+(3+1)2=25当0r22或r25时，圆c不经过区域d上的点，故选：a12已知实数x，y满足&x+4y+20&4x+y-70&x-y+20，则z=3x+y的最大值与最小值之和为

15、（）a7b2c1d6【解答】解：作出实数x，y满足&x+4y+20&4x+y-70&x-y+20的可行域如图所示：作直线l0：3x+y=0，再作一组平行于l0的直线l：3x+y=z，当直线l经过点a时，z=3x+y取得最大值，由&x+4y+2=0&x-y+2=0，得点a的坐标为（2，0），所以zmax=3×（2）+0=6直线经过b时，目标函数取得最小值，由&4x+y-7=0&x+4y+2=0，解得b（2，1）函数的最小值为：61=7z=3x+y的最大值与最小值之和为：1故选：c13若实数x，y满足&x-y-10&

16、x+2y+20&x-2，则z=y-3x-2的取值范围是（）a34，+)b32，+)c34，2d32，2【解答】解：作出实数x，y满足&x-y-10&x+2y+20&x-2的可行域如图阴影部分所示：目标函数z=y-3x-2可以认为是d（2，3）与可行域内一点（x，y）连线的斜率当连线过点a时，其最小值为：0-3-2-2=34，连线经过b时，最大值为：-1-30-2=2，则z=y-3x-2的取值范围是：34，2故选：c14对于c0，当非零实数a，b满足a22ab+2b2c=0，且使a+b最大时，则3a-4b+5c的最小值为（）a-14b14c12d-13【解答】解：

17、a22ab+2b2c=0，c=（ab）2+b2，由柯西不等式得，（ab）2+b2（1+4）（a+b）2，故当a+b最大时，有ab=b2，a=32b，c=54b2，3a4b+5c=4b22b=4（1b14）214当b=4时，取得最小值为14故选：a15已知变量x、y满足约束条件&x+y-30&x-2y+30&x3，则yx+112的概率是（）a25b35c59d49【解答】解：由约束条件&x+y-30&x-2y+30&x3画出可行域如图，则yx+112的几何意义是可行域内的点与q（1，0）连线的斜率超过12，由图形可知：直线x=3与直线x2y+1=0

18、的交点为：（3，2），直线x2y+3=0与x=3的交点（3，3），则yx+112的概率：ab2ac2=49，则yx+112的概率是：149=59故选：c16若x，y满足&x0&x+y3&y2x+1，表示的平面区域为，直线y=kxk与区域有公共点，则实数k的取值范围为（）a1，+）b（，71，+）c7，1d（，7【解答】解：作出x，y满足&x0&x+y3&y2x+1对应的平面区域如图：y=k（x1）过定点p（1，0），由&y=2x+1&x+y=3交点a（23，73），由图象可知当直线经过点a（23，73），时，直线的斜率最小，此时k

19、=73-023-1=7，由&x=0&y=2x+1解得b（0，1）当直线经过点b时，直线的斜率最大，此时k=1，k的取值范围是：7，1故选：c二填空题（共4小题）17设x，y满足约束条件&2x-y+10&x-2y-10&x1，则z=2x+3y5的最小值为10【解答】解：由约束条件&2x-y+10&x-2y-10&x1作出可行域如图，联立&2x-y+1=0&x-2y-1=0，解得&x=-1&y=-1，即a（1，1）化目标函数z=2x+3y5为y=-23x+z3+53由图可知，当直线y=-23x+z3+5

20、3过a时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（1）+3×（1）5=10故答案为：1018若变量x，y满足约束条件&2x+y+30&x-2y+40&x-20，则z=x+13y的最大值是3【解答】解：画出变量x，y满足约束条件&2x+y+30&x-2y+40&x-20表示的平面区域如图：由&x=2&x-2y+4=0解得a（2，3）z=x+13y变形为y=3x+3z，作出目标函数对应的直线，当直线过a（2，3）时，直线的纵截距最小，z最大，最大值为2+3×13=3，故答案为：319已知实数x，y满足3

21、xyln（x+2y3）+ln（2x3y+5），则x+y=167【解答】解：由f（t）=lntt+1的导数为：f（t）=1t1=1-tt，当t1时，f（t）0，f（t）递增，当0t1时，f（t）0，f（t）递减，可得f（t）的最大值为f（1）=0，即有lntt1，则ln（x+2y3）+ln（2x3y+5）x+2y31+2x3y+51=3xy，当且仅当x+2y3=2x3y+5=1时，取得等号，则x=47，y=127，可得x+y=167，故答案为：16720在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，abc=120°，abc的平分线交ac于点d，且bd=1，则4a+c的最小值为9【解

22、答】解：由题意得12acsin120°=12asin60°+12csin60°，即ac=a+c，得1a+1c=1，得4a+c=（4a+c）（1a+1c）=ca+4ac+52ca4ac+5=4+5=9，当且仅当ca=4ac，即c=2a时，取等号，故答案为：9三解答题（共4小题）21已知函数f（x）=|xa|，ar（1）当a=5时，求不等式f（x）3的解集；（2）当a=1时，若xr，使得不等式f（x1）+f（2x）12m成立，求实数m的取值范围【解答】解：（1）a=5时原不等式等价于|x5|3即3x53，即2x8，解集为x|2x8；（2）当a=1时，f（x）=|x1|，令g（x）=f（x1）+f（2x）=|x2|+|2x1|=&3-3x，x12&x+1，12x2&3x-3，x2，由图象知：当x=12时，g（x）取得最小值32，由题意知：3212m，解得m14实数m的取值范围为m1422已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd8【解答】证明：a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cos，b=2sin，c=4cos，d=4sinac+bd=8（cosco