复合函数与隐函数的导数

1、2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数引例引例1 1xy2sin y , , 求求。 已知已知解解 : :y )cossin2()2(sin xxx)sin(cos222xx )scosincosn(si2xxxx x2cos2 引例引例2 22)13( xyy , , 求求。 已知已知解解: :y )13(2 x)169(2 xx618 x提出问题提出问题 2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数? ?1 1）设）设xy10sin y ，如何求，如何求？100)13( xy2 2）设）设y ，如何求，如何求？定理定理2.52.5 dxdududydxdy xuxuy

2、y 或或 2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数)(xfy )(ufy )(xu )(ufy x)(xu u)(xfy x 设函数设函数 由由 与与 复合而成，如果函复合而成，如果函数数 在点在点 处可导，函数处可导，函数 在对应点在对应点 处可导，处可导，则复合函数则复合函数 在点在点 处可导，且处可导，且xuxuyy )10()(sin xu因此因此xu10cos1010cos xy10sin uysin xu10 可看作是由可看作是由与与复合而成。复合而成。如问如问1 1）可以用以下方法求解：）可以用以下方法求解：2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数xuxu

3、yy )13()(100 xu9999)13(3003100 xu如问如问2 2）可以用以下方法求解：）可以用以下方法求解：100)13( xy100uy 13 xu可看作是由可看作是由与与复合而成。复合而成。因此因此说明说明 1.1.复合函数的求导法则实际上是复合函数关于自变量的复合函数的求导法则实际上是复合函数关于自变量的导数导数, ,等于函数关于中间变量的导数乘以中间变量关于自变等于函数关于中间变量的导数乘以中间变量关于自变量的导数量的导数; ; 2.2.该法则可以推广到有多个中间变量的情形。该法则可以推广到有多个中间变量的情形。)(ufy )(vu )(xv 均是可导函数，均是可导函数

4、，例如：例如：，)(xfy 可导，且可导，且则复合函数则复合函数 dxdvdvdududydxdy 2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数xycosln dxdy 设函数设函数，求，求。 例例1 1解：解： dxdududydxdy xxxxutancossin)sin(1 xycosln uyln xucos 可看作是由可看作是由与与因此因此 )(cos)(ln xu复合而成。复合而成。例例2 221xy dxdy 设函数设函数，求，求。 解：解： 可看作是由可看作是由与与21xy uy 21xu 复合而成。复合而成。dxdu

5、dudydxdy 因此因此 )1()(2 xu21)2(21xxxu 如果计算熟练，可以不设中间变量，直接求复合函数的如果计算熟练，可以不设中间变量，直接求复合函数的导数，如例导数，如例2 2的另一种解法。以后复合函数求导我们常用下的另一种解法。以后复合函数求导我们常用下面的方法。面的方法。 说明说明 2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数例例2 2另解：另解： dxdy221122xxxx )1(12122 xx解：解： 2sin2 eeyx2sin xe0)(sin2sin2 xex)(cos22sin2 xxex2sincos22xxex 2.3 复合函数与隐函数的导数复合

6、函数与隐函数的导数 求函数求函数2sin2eeyx 的导数。的导数。 例例3 3解：解： )1cot(tan2 xarcxy)1cot()(tan2 xarcx)1()1(11)(tantan22 xxxxxxxx 12)2()1(1sectan22xxxx 1)2(21sectan22例例4 4xarcxy 1cottan2 求函数求函数的导数。的导数。 + +xy2sin2 xxeycot2csc xycsc )12cos()12(sin62 xxy2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数xxxy4sin4cossin32 112 xyxeyx2tan33 xex2sec223

7、 求下列函数的导数：求下列函数的导数：xy2cos 1 1）xeycot 2 2）2tanlnxy 3 3）)12(sin3 xy4 4）5 5）xxy4cossin3 6 6）xeyx2tan3 7 7）)1ln(2 xxy* *+ + +0),( yxF)(xfy 把一个由二元方程把一个由二元方程所确定的函数所确定的函数称为称为隐函数隐函数。)0(922 yyx例如：由方程例如：由方程所确定的关系为所确定的关系为 关于关于 的隐函数。的隐函数。xy2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数yx)(xfy 把因变量把因变量写成自变量写成自变量的显式表达式的显式表达式这样的函数称作这

8、样的函数称作显函数显函数。 2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数隐函数与显函数有什么区别与联系？隐函数与显函数有什么区别与联系？隐函数如何求导？隐函数如何求导？? ?xyy y 在方程在方程 的两端对的两端对看作中间变量，看作中间变量，的方程，的方程，即为所求隐函数即为所求隐函数的导数。的导数。 0),( yxF把其中的把其中的得到一个含得到一个含求导，求导，运用复合函数运用复合函数 求导法，求导法，y ，解出解出2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数例例5 5隐函数的导数隐函数的导数 求由方程求由方程)0(922 yyx。y 所确定的所确定的解：解： 922 y

9、xx022 yyx对方程对方程两端同时关于两端同时关于得得yxy 于是得于是得求导，求导，2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数处的切线方程。处的切线方程。 求曲线求曲线xyyx3433 在点在点 )1, 1( 例例5 5解：解： x对方程对方程两端同时关于两端同时关于得得xyyx3433 yxyyyx 3312322于是得于是得224yxyxy 求导，求导，32)1(41)1(122)1, 1( yk 切切因而切线的斜率为因而切线的斜率为所以所求切线方程为所以所求切线方程为)1(321 xy即即0132 yx2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数所确定的隐函数为所

10、确定的隐函数为 设由方程设由方程。)0(y 0 xyexye)(xyy ，求，求例例6 6解：解： 得得0 xyeyxyye于是得于是得xeeyyyx 因为因为0)0( y，所以，所以100)0(00 eeyx对方程对方程两端同时关于两端同时关于0 xyexye求导，求导，yxycos1sin yexyy 11 yxy（一）求下列隐函数的导数：（一）求下列隐函数的导数： yxy cossin1 1）0 exyey2 2）)ln(yxy 3 3）（二）求曲线（二）求曲线122 yyxx在点在点)1, 1(处的切线方程。处的切线方程。043 yx2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数

11、解：解： )ln1()ln1(xxxyyx 于是得于是得xxy xxylnln 两端同时取自然对数，两端同时取自然对数，先对先对得得xxxxyy1ln11 两端同时对两端同时对求导，求导，得得2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数 求函数求函数xxy y 的导数的导数。例例7 72.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数 求函数求函数y 的导数的导数。32)2)(1()1( xxxy例例8 8解：解： 两端同时取自然对数，两端同时取自然对数，对对32)2)(1()1( xxxy得得)2ln(31)1ln(31)1ln(32ln xxxy x两端同时对两端同时对求导，求导，得得)2(31)1(31)1(321 xxxyy于是得于是得y )2(31)1(31)1(32)2)(1()1(32xxxxxx具有什么特征的显函数用取对数法求导比较方便？具有什么特征的显函数用取对数法求导比较方便？? ?2.3 复合函数与隐函数的导数复合函数与隐函数的导数求下列函数的导数：求下列函数的导数：1 1）xxy2 2 2）xxy)(ln 3 3）5223 xxy4 4）xxxxycottan)(cos)(sin )