椭圆综合测试题

1、椭圆测试题、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）2 x2y 2 x2y2亠x2y_(A)1(B)1或959559222222xy xyxy(C)1(D)1或3620362020362、动点P到两个定点F1 (- 4 , 0)、F2 (4 0)的距离之和为1、离心率为-，长轴长为6的椭圆的标准方程是（）3118，贝U P点的轨迹为（A.椭圆C.直线 F1F2D3、已知椭圆的标准方程A.（.10,0）2 2x y4、已知椭圆59A2 52,E x5、如果一2aA.（ 2,32ya 2)B.线段F1F22y 彳x1,10B.(0,、両则椭圆的焦点坐标为C.(0, 3)1上一点P到椭圆的

2、一焦点的距离为B.2C.31表示焦点在x轴上的椭圆，则实数B. 2, 12,C.(不能确定D.( 3,0)3，则P到另一焦点的距离是（D.6a的取值范围为（,1) (2,)D.任意实数6、 关于曲线的对称性的论述正确的是（）2y0的曲线关于X轴对称0的曲线关于Y轴对称2y 10的曲线关于原点对称8的曲线关于原点对称7、A.方程2 xxyB.方程3 x3yC.方程2 xxyD.方程3 x3y22xy2ka2kb方程1 (a> b> 0,k > 0且k工1)与方程2y-1 (a> b > 0)表示的椭圆(bA.有相同的离心率x2已知椭圆C : 2aA、B两点若B.有共

3、同的焦点2xaC.有等长的短轴长轴D.有相同的顶点(A) 12yuLLuAF1(a> b> 0)的离心率为ULU3FB，则 k ()(B)2丄3，过右焦点F且斜率为k（k> 0）的直线与C相交于2(C)-.3(D) 2A. 45B.-5C.2D.51510、若点0和点F分别为椭圆2 xy21的中心和左焦点，占八、P为椭圆上的任意点，则43值为（）A. 2B.3C.6D.89、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）uuu uuuOPgFP的最大2 2x y11、椭圆一2- 1 a> b>0的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为 A 在

4、椭圆上存在点 P满足线段a bAP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是（）（A）（ 0，（ B） （0, 1（ C） -2 1 , 1）（ D）丄,D2 2 212 若直线y x b与曲线y 34xx2有公共点，则b的取值范围是（）A. 1 2、.2,1 2 2B. 1、.2,3C.-1,1 2、, 2D. 12,2 ,3二、填空题：（本大题共5小题，共20分.）13若一个椭圆长轴的长度短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 2 2X y14 椭圆1上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，贝U RtA PF1F2的面积为 .492415 已知F是椭圆C的一个焦点，B

5、是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D , 且BF 2FD，贝U C的离心率为2x16已知椭圆c:y22围为21,则IPF1I+PF2I的取值范1的两焦点为F1, F2，点 P（x0,y0）满足0 乂 y22三、解答题:（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （10分）已知点2xM在椭圆一251上，m p'垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P',并且M为线段P P'的中点，求P点的轨迹方程2 245）的焦点分别是F1和F2，已知椭圆的离心率 eO作直18.(12 分)椭圆 x 1(045 m线与椭圆交于 A, B两点，O为原点，若V

6、ABF2的面积是20,求：（1） m的值（2）直线AB的方程2 2X y19 (12分)设Fi, F2分别为椭圆2 1 (a b 0)的左、右焦点，过 F2的直线l与椭圆C相交a b于A, B两点，直线I的倾斜角为60°, F1到直线l的距离为2、3.(I)求椭圆C的焦距；ujununn(n)如果 AF2 2F2B,求椭圆C的方程.20 (12分)设椭圆C2 X2a2占1(a b 0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A , B两点,uuurmu直线I的倾斜角为60°, AF 2FB .(I) 求椭圆C的离心率；15(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.421 (

7、12分)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A (-1,1 )关于原点0对称，P是动点，且直线 AP与BP1的斜率之积等于 .3(I )求动点P的轨迹方程;(n)设直线ap和bp分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点P使得 PAB与厶PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。2 2xy22 （12分）已知椭圆2a b1 (a>b>0)的离心率e=3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的2面积为4.(I)求椭圆的方程；(n)设直线I与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点A的坐标为(-a, 0)(i)若| AB|=，求直线I的倾斜角；5(ii)若点Q(0, y0)在线

8、段AB的垂直平分线上，且 QA?QB 4 求y0的值.椭圆参考答案B作BE垂直于AA 1与E，由第二定义得,YF =3FB1选择题:题号123456789101112答案BBCCBCABBCDD8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义【解析】设直线I为椭圆的有准线，e为离心率，过 A，B分别作AA 1，BB1垂直于I, A1, B为垂足，过-|BF|AB|=4|BFtan *_BA£ - J5故选B.即k=2Xo42Yq3,解得 y°23(1uunuuuuuu因为FP(Xq 1,y。），OP（by。），所以OPuuu uur=OP FPXq(Xq1)3(12 2X。

9、、Xq)-Xo3 ,10【解析】由题意，F（-1， 0），设点P（x0, y0），则有uuuFPXo(Xo 1)2y。此二次函数对应的抛物线的对称轴为Xo2，因为Xo2，所以当Xouuu2 时，OPuuuFP取得最大值二 2 36，选Co422華：攻咗轴为2务 罢轴为"！离距为2d Jl 2 + 24 = 2 «印。士亡=4(d: -j*)墜逻得” 5c' *=0 » 5P加十加-了二0 n g二或夕二-1洁八选B【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值 等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合

10、应用能力、运算能力。11 解析：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点 F ,即F点到P点与A点的距离相等2 a 而 | FA =cb2 cc| PF| a c, a+ c于是 a c, a+ cc即 ac c2 w b2< ac+ c22 2 2ac ca c2 2 2a cac c又 e (0, 1)故 e 1,12答案：D12 （2010湖北文数）9若直线yx b与曲线y 3 . 4x x2有公共点，贝U b的取值范围是A. 12、2,12 .2 B.1. 2 ,3C.-1,1 2 2D. 1 2 2 ,3【解析】曲进芳程可化閒利”2）口。-幼%!勺"*開表

11、示團小为0 3）半径垢的半國 依据数形结合，当直绽尸丸“与此半悒惻时须満足顏？ 2 3）到直线距离等干匕辭得bL近趾忑,因対是F半XI十2迈（舍）当直线过（U，舗时解得 y故1-2忑勺三3,所UAD正确存、填空题：（本大题共4小题，共16分.）13若一个椭圆长轴的长度短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 2 2X y14 椭圆1上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，贝U RtA PF1F2的面积为 492415 （2010全国卷1文数）（16）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交Cuiruur于点D ,且BF 2FD，则C的离心率为【命题意图

12、】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析1】如图，IBF I b2 c2 a,作DD1uiry轴于点D1,则由BFuir2FD，得|OF |DDi |IBF IIBDI2，所以IDD133c即Xd,由椭圆的第二定义得2|FD|e叵 3C)c 2又由 |BF | 2|FD |,得 a 2a3c22X【解析2】设椭圆方程为第一标准形式飞a2b2Xc0 2x2X2332xc 2c； ycb 2y2y294 a24 b216 （2010湖北文数）15.已知椭圆2X

13、c: 一2IPF1I+PF2I的取值范围为【答案】2,2 2,0【解析】依题意知，点P在椭圆内部画出图形,当P在椭圆顶点处时，取到（I PF1 II PF2 I) max 为（£ 1）（2 1）=2 2，故范围为3c22a3yc b2X2,y23 0b2,F分BD所成的比为1的两焦点为F1 ,F2,点P（Xo, yo）满足0由数形结合可得，当P在原点处时(I PF1 |22 $ 因为（by。）在椭圆21的内部,则直线上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为二填空题:13314 24155162,2 2,0三.解答题:2X02Y0I PF2 I)maxX X

14、0T yy01x xoy 2 yo17.解：设p点的坐标为p(x, y), m点的坐标为(Xo,y°)，由题意可知Xo x2 2y y 因为点m在椭圆-y 1上，所以有yo 22592 2xo yo 1259把代入得2 x25236 1，所以P点的轨迹是焦点在y轴上，标准方程为2 21的椭圆253618.解：(1)由已知c . 5 ea453.5，得 c 5 ,a3所以mb222a c45 2520(2)根据题意 S/abif S/f)F2B20,设 B(x, y)，则 Svf1f2b fgFly，丨 F1F2 2c 10,所2 2以y 4，把y 4代入椭圆的方程45盘1，得x 3，

15、所以B点的坐标为(3 4)，所以直线ab的方程为y19( 2010辽宁文数)(20)(本小题满分12 分)2 2设F1，F2分别为椭圆C :仔 £1 (a b 0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A, Ba b两点，直线I的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.3.(I)求椭圆C的焦距；ujununn(n)如果 AF2 2F2B,求椭圆C的方程解：(I)设焦距为2c,由已知可得F1到直线I的距离.3c 2.3,故c 2.所以椭圆C的焦距为4.(n)设 A(X1,yJ B(X2,y2),由题意知 0, y? 0,直线 I 的方程为 y -,3(x 2).y .3(

16、x 2),_联立 x2y2得(3a2 b2)y2 4 - 3b2 y 3b4 0. 1a b、3b2(2 2a)T-2 2，y23a b,3b2(22a)223a buuur因为AF2uuur2F2B,所以 y12y2.即聞2c 2. 23a2a) b,3b2(2 2a)2 _3a2b22得a3.而ab24,所以b , 5.故椭圆C的方程为2y- 1.520 (2010辽宁理数)(20)(本小题满分12 分)设椭圆2y21(a b 0)的左焦点为F,b过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线I的倾斜角为uur60°, AFuuu2FB .解:(III)(IV)求椭圆C的离心率；15

17、如果|AB|= ，求椭圆C的方程.4设 A(Xi,yJ, B(X2,y2)，由题意知 yi< 0, y2 >0.(1)直线l的方程为y . 3(x c)，其中cb2 .联立y2X2a.3( x c), y2 得(3a21b2 )y22.3b2cy3b4解得y1因为uuurAFb23b2(c 2a)3a2b2,y2、3b2(c 2a)3a2b2uur2FB ,所以y12 y2 .即-3b2(c 2a)2, 23a b2?，3b2(c 2a)2, 23a b得离心率e -a23.(n)因为 ABy y1，所以2 3ab23 ' 3a2 b2154由c22得ba所以%15 /曰，

18、得a=3, b.5.a334422椭圆C的方程为xy1.- 12 分9521 (2O1O北京理数）(19)（本小J、题共14分）关于原点O对称，P是动点，且直线 AP与BP的斜率之积在平面直角坐标糸 xOy中，点B与点A (-1,11 等于丄.3（I ）求动点P的轨迹方程；（II ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问：是否存在点P使得 PAB与厶PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（I）解：因为点B与A（ 1,1）关于原点0对称，所以点B得坐标为（1, 1）.设点P的坐标为（x, y）由题意得化简得4(x1).故动点P的轨迹方程为x2 3y24（x1）（

19、II）解法设点P的坐标为（xo,y。），点M , N得坐标分别为（3,yM）,（3,yN）.则直线AP的方程为yoXo11（x 1），直线BP的方程为yy0 11 h 1)Xo2yo xo 3xo1于是VPMN得面积S/PMN| yMy 1(3X。）又直线AB的方程为xy o,|AB|点P到直线AB的距离d 1 xo yo 丨 d2 .于是VPAB的面积yN令x 3得yM 如一Xo2|x。y°|(3 xo)Ixo2 1|Svpab 1|AB|gd |X0y。I当 SVPABSVPMN 时,得 I x。yo |2| x°y0 | (3 怡)|x02 1|又 I x。yo |

20、0 ,所以（32 2X0) =|X01|，解得|X。因为X°23y024,所以yo339故存在点5P使得VPAB与VPMN的面积相等，此时点 P的坐标为（，3解法二：若存在点 P使得VPAB与VPMN的面积相等，设点 P的坐标为（x0,y0）则 1|PA|g|PB|sin APB 11 PM |c|PN |sin MPN .因为- - 2 sin APB sin MPN ,所以|PA|PM |PN |PB|所以|x° 1| |3 x°|3 x°|x 1|2即（3 X0）2| X01|，解得Xo2因为x° 3y204，所以y°v).故存

21、在点PS使得VPAB与VPMN的面积相等，此时点P的坐标为&22（ 2010天津文数）（21）（本小题满分14 分）2234.已知椭圆 务 笃 1 （ a>b>0）的离心率e=-，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为a2b22（I）求椭圆的方程；（H）设直线I与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点A的坐标为（-a, 0）.4伍（i ）若| AB|=，求直线I的倾斜角;umr umr（ii）若点Q（ 0, y°）在线段AB的垂直平分线上，且 QAgQB=4 .求y°的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜 角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与 运算能力满分14分.