《高等数学》电子课件（自编教材）：05第八章 第5节 微分法在几何上的应用

1、1第五节第五节 多元函数微分法的几何应用多元函数微分法的几何应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线三、小结三、小结2设空间曲线的方程设空间曲线的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面M.),(0000tttzzyyxxM 对应于对应于;),(0000ttzyxM 对应于对应于设设M 3考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割线割线 的方程为

2、的方程为MM ,000zzzyyyxxx 4,0,时时即即当当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt 5例例1 1 求曲线求曲线: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程.解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sinco

3、s2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即61.空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为特殊地：特殊地：)(),(,001xxT 切向量切向量72.空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),( zyxGzyxF切线方程为切线方程为,)()(000001xzzzxyyyxx法平面方

4、程为法平面方程为.)()()(000000zzxzyyxyxx)()(xzzxyy隐式确定隐式确定,),(000处处在在zyxM求导求导将方程组对将方程组对x00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx),(),(xzxy)(),(,001xzxyT切向量切向量8例例 2 2 求曲线求曲线6222 zyx，0 zyx在在点点)1, 2, 1( 处的切线及法平面方程处的切线及法平面方程.解解 1 1 直直接接利利用用公公式式;解解 2 2 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导并移项，得求导并移项，得 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdx

5、dz 9由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 T所求切线方程为所求切线方程为,110211 zyx法平面方程为法平面方程为, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz103例例的切线方程的切线方程上平行于平面上平行于平面求曲线求曲线4232zyxxzxy,:解解),(000zyx设切点为设切点为,200321xxT ,121n而而0nTnT由由0341200 xx31100 xx,),(),(:2719131111对应点对应点切切线线方方程程312111zyx312713291131zyx和和11设曲面方程为设曲面方程为0),(

6、 zyxF),(),(),(000tttT 曲线在曲线在M处的切向量处的切向量,)()()(: tztytx 二、曲面的切平面与法线nTM的曲线的曲线在曲面上任取一条过在曲面上任取一条过),(000zyxM.点有无穷多条曲线点有无穷多条曲线曲面上过曲面上过M:问题问题?平面上平面上点的切线是否都在同一点的切线是否都在同一这些曲线在这些曲线在M12 在光滑曲面 上通过点 M 的任何曲线在点 M 处的切线都在同一平面上.命题命题:.的切平面的切平面在点在点称此平面为曲面称此平面为曲面MnTM事实上, 因)(, )(, )(:tztytx 0) )(, )(, )(tttF 两边对 t 求导,0tt

7、 ),(000zyxM),(000zyxFx)(0t ),(000zyxFy)(0t ),(000zyxFz)(0t 013),(000zyxFx)(0t ),(000zyxFy)(0t ),(000zyxFz)(0t 0)(, )(, )(000tttT 记记),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyxnT表明这些切线都在以的同一平面上 ， 从而切平面存在 .,的任意性的任意性由于曲线由于曲线为法向量为法向量n14)( ),(0000 xxzyxFx),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲面 在点 M 的法向量法向量法线方

8、程法线方程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFznTM15例例 4 4 求曲面求曲面32 xyezz在点在点)0 , 2 , 1(处的处的切平面及法线方程切平面及法线方程.解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0 , 2, 1()0 , 2, 1(yFx, 22)0 , 2, 1()0 , 2, 1(xFy, 01)0 , 2, 1()0 , 2, 1(zzeF令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 y

9、x.001221 zyxyFx2xFy2zzeF1,024n16特殊地：空间曲面方程为特殊地：空间曲面方程为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令处的法向量处的法向量曲面在曲面在),(000zyxMn),(),(10000yxfyxfyx17,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中

10、其中点点在在对于对于),(),(:000zyxMyxfz 则法向量的则法向量的方向余弦方向余弦为为),(),(10000yxfyxfnyx此时此时18例例 5 5 求旋转抛物面求旋转抛物面122 yxz在点在点)4 , 1 , 2(处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程. 解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程为切平面方程为, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx19例例 6 6 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平面064 zyx的各切平面方

11、程的各切平面方程. 解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 20因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx, 10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)21使曲面 与

12、球面例例7. 确定正数 zyx222zyx在),(000zyxM解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,0000001yxzxzyn 二曲面在点 M 相切, 则有21nn000000000zyxyzxxzy200002000020000zzyxyzyxxzyx202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx于是有000zyx 0002zyxn,2a相切. 333a22空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）三、小结23练习与思考题练习与思考题解：解：,2,2,6000zyxn 设切点设切点),(000zyx依题意知切向量为依题意知切向量为3, 3 32236000 zyx ,00 xy ,300 xz 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程,016930169320202200020 xxxxxx . 2 2424例例2： 求曲线32:51yxzx在点M（1，2，4）处的切线方程和法平面方程。解：取x为参数，则0)4(5)2(61zyx3:251xxyxzx12)5,6,