《高等数学》电子课件（自编教材）：04第六章 习题课

1、2微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名称释译名称释译所求量所求量的特点的特点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容3（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；1 1、微元法的特点、微元法的特点41)根据问题的具体情况，选取一个变量例如根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为为积分变量，并确定它的变化区间积分变量，并确定它的变化区间,ba；2）取取典型典型区间区间,dxxx ，求出相应于这小区，求出相应于这小区间的部分量间的部分量U 的近似值如果的近似值如果U 能近似地表能近似地表示为示为,ba上的一个连续

2、函数在上的一个连续函数在x处的值处的值)(xf与与dx的乘积，就把的乘积，就把dxxf)(称为量称为量U的元素且记作的元素且记作dU，即，即dxxfdU)( ； 3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U2 2、微元法的步骤、微元法的步骤53 3、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab6如果曲边梯形的曲边

3、为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数7 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形8(2) 体积体积xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cd9xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平

4、行截面面积为已知的立体的体积)(xA10(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为11C曲线弧为曲线弧为)( )( rr 弧长弧长 drrs )()(2212(4) 细棒的质量细棒的质量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 转动惯量转动惯量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(为为线线密密度度x 13(7) 变力所作的功变力所作的功)(xFo

5、 abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水压力水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(为为比比重重 14(9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(为引力系数为引力系数G(10) 函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(1(11) 均方根均方根 badxxfaby)(12151、试求由抛物线 和抛物线相切于纵坐标 处的切线以及 轴所围成的图形的面积。122xy)(30yx二、典型例题二、典型例题解：抛物线 122xy)(处处的的切切线线方方程程在在30y)(2213xy如图6-1，取，

6、,yyydyyydA)()(4212216例例2 2.;)(sincos体积体积体体它绕轴旋转而成的旋转它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它的弧长它所围成的面积它所围成的面积求求星形线星形线已知已知000333210ataytaxa aoyx3023029964212dyyydyyyA)()()(17解解.10A设面积为设面积为由对称性由对称性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设弧长为设弧长为由对称性由对称性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a a aoyx18.V设

7、旋转体的体积为设旋转体的体积为03由对称性由对称性,有有 adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a a aoyx193例例 设半径为 的圆，其圆心在点 处 ， 求将此圆绕 轴旋转一周而成一环体的体积。 r),(0R)(rR y方法一 由题意圆的方程为222ryRx)(2221yrRx,)(为积分变量为积分变量取取y1; ryr上上求求微微元元在在,)(yyy2dyxxdyxdyxdV)(21222122 dyyrRyrR)()(222222 dyyrR224 20积分积分)(3dyyrRVrr224 Rrdy

8、yrRr2222028 方法二 ,)(rRrRxx作作为为积积分分变变量量取取1上上求求微微元元在在,)(dxxx2ydxxdV22 xydx 4积分积分)(3dxRxrxxydxVrRrRrRrR2244)( dttrRtrrRtx224)( 令令RrdttrRr2222028 21方法三 用平面截面为已知求体积， xyorry)()(2122xxyA 224yrR rrdyyAV)(RrdyyrRrr222224 22方法四 环体的体积看作由曲边梯形ABCDE绕 轴旋转一周所得立体体积 与由曲边梯形ABFDE绕 轴转一周所得立体体积 之差得到， 如图6-12。 y1Vy2V,dyxVrr2

9、21 dyxVrr212 dyxxVVVrr)(212221 RrdyyrRr2222028 23方法五 如图6-11，取半径为 圆的圆心绕 轴旋转时的弧长 为积分变量rys,Rs 20上上在在,sssdsrdV2 RrdsrVR222022 24例例4 4?,)(;)()( .至少需作功多少至少需作功多少若再将满池水全部抽出若再将满池水全部抽出面上升的速度面上升的速度时水时水求在池中水深求在池中水深内注水内注水的半球形水池的半球形水池的流量往半径为的流量往半径为以每秒以每秒201RhhRaoxyRh解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.).()(RyRRyx0222半圆的方程为半圆的方程

10、为于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有).()(RyyRyRyRx02222225时水池内水的体积为时水池内水的体积为为为的球缺的体积即水深的球缺的体积即水深故半球内高为故半球内高为的立体的立体轴旋转而成轴旋转而成圆绕圆绕因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh02022)()( ,th时已注水的时间为时已注水的时间为又设水深又设水深,)(athV则有则有atdyyRyh022)( 即即得得求导求导两边对两边对,t,)(adtdhhRh22 26故所求速度为故所求速度为.)(22hRhadtdh .)(所需的功所需的功水全部提升到池沿高度水全部提升到

11、池沿高度需的最小功即将池内需的最小功即将池内将满池的水全部抽出所将满池的水全部抽出所2的功约为的功约为所需所需降到降到抽水时使水位从抽水时使水位从dyyRyy )0()1(),(2水的比重水的比重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即功元素即功元素27故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R 28例例5 5.,4,20,3050,的静压力的静压力求闸门一侧所受的水求闸门一侧所受的水米米顶部高出水面顶部高出水面如果闸门如果闸门米米高为高为米米米和米和分别为分别为

12、梯形的上下底梯形的上下底如图所示如图所示一等腰梯形闸门一等腰梯形闸门解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系如图建立坐标系,的方程为的方程为则梯形的腰则梯形的腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为29 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631( g g 67.4522 ).(1043. 47牛牛 30一、一、 选择题：选择题：1 1、 曲线曲线xyln 与直线与直线ex1 ，ex 及及0 y所围成所围成 的区域的面积的区域的面积 S（ ） ；） ；（A A）)11(2e ； （B B）ee1 ；（C C）ee

13、1 ； （D D）11 e . .2 2、曲线、曲线 sin2 r与与 2cos2 r所围图形公共部分所围图形公共部分 的面积的面积 S（ ） ；） ；（A A）23112 ； （B B）41324 ；（C C）21312 ； （D D）2316 . .测测 验验 题题313 3、曲曲线线,cos3 ax 3sinay 所所围围图图形形的的面面积积 S（ ） ； （A A）2323a ； （B B）283a ； （C C）221a； （D D）2161a . .4 4、由球面、由球面9222 zyx与旋转锥面与旋转锥面2228zyx 之之 间包含间包含z轴的部分的体积轴的部分的体积 V( )(

14、 )； （A A） 144； （B B） 36； （C C） 72； （D D） 24 . .325 5、用一平面截半、用一平面截半r径为径为的球，设截得的部分球体高的球，设截得的部分球体高 为为)20(rhh 体体V积为积为，则，则 V（ ） ；） ；（A A）)2(32hrh ； （B B）)3(32hrh ；（C C）)2(2hrh ； （D D）)3(42hrh . . 6 6、曲线、曲线422 xxy上点上点)4,0(0M处的切线处的切线 TM0 与曲线与曲线)1(22 xy所围图形的面积所围图形的面积 S（ ） ；） ； （A A）;49 （B B）94； （C C）1213； （

15、D D）421. .337 7、抛物线、抛物线pxy22 )0( p自点自点)0,0(至点至点),2(pp 的一段曲线弧长的一段曲线弧长L= =（ ） ；） ； (A)(A) pppln)21ln(22 ； (B)(B) )21ln(22212ppp； (C)(C) )21(ln22 pp； (D)(D) )21ln(22 p . .348 8、曲线、曲线xhry ，hx 0，轴轴绕绕 x旋转所得旋转体旋转所得旋转体 的侧面积的侧面积 S（ ） ；） ； （A A）22hrr ； （B B）22hrh ； （C C）22hrhr ； （D D）222hrr . .二、在区间二、在区间 e,1内

16、求内求0 x一一点点，使，使,0,ln yxy 1 y及及0 xx 所围成两块面积之和为最小所围成两块面积之和为最小 . .三三 、设设曲曲边边梯梯形形是是由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)( xf，轴轴x与与两两直直线线bxax ,所所围围成成的的，求求证证：存存在在直直线线 x ),(ba 将将曲曲边边梯梯形形的的面面积积平平分分 . .35四四、求求摆摆线线 )cos1()sin(tayttax，)20( t 1 1、轴轴绕绕 x旋旋转转一一周周所所成成曲曲面面的的面面积积 ； 2 2、轴轴绕绕 y旋旋转转一一周周所所成成曲曲面面的的面面积积 . .五五、有有一一旋旋转转体体，它它由由曲曲线线211xy ，轴轴y，轴轴x以以及及直直线线1 x所所围围成成的的平平面面图图形形轴轴绕绕 y旋旋转转而而成成，已已知知其其上上任任一一点点的的体体密密度度等等于于该该点点到到旋旋转转轴轴的的距距离离，求求它它的的质质量量 . .六、以六、以a每秒每秒的流量往半的流量往半R径为径为的半球形水池内注水的半球形水池内注水1 1、 求在水池