东北师大附中第二次摸底考试(理)

1、东北师大附中2003 2004 学年高三年级数学（理科）试卷第二次摸底考试一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）1 已知集合 A=x|x2-x-20,集合 B=x|x-a|：3,若A_. B=R,，则实数 a 的取值范围是()a. 1 , 2B . (- 1, 2)C .-1 , 2D (- 2, 1)2 . sin2490 ° =()11.3A .-B .C .D.22223在数列an中,a =15,3an1 =3an -2(N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()A a?i G22B a22 a23C.a23 a24D a24 8254. 要使函数y =x

2、2 - 2ax 1在1,2上存在反函数，则a的取值范围是()A .a 空1B .a_2C.a < 1 或 a_2D.1a 空 25. | X |乞2的必要非充分条件是()A.|x 1|_3B.|x 1|_2C.|x 1|_1D.|x-1|_12 2 2 26已知椭圆X2=1(a b 0),双曲线 笃-与=1和抛物线y2 =2px(p 0)的离a ba b心率分别为e?、03,贝V()A .e102>e3B .e1e2=e3C .e1 e2<e3D .e102e37.已知长方体ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=4,CC1=2，则直线BC1和平面DBB 1D1所成角的正弦

3、值为()IfV510心0a .B .C .D .-225108 .函数 y =x3 -X2 -X 1在闭区间1,1上的最大值是()3227B .兰27C. 032279.随机变量E的概率分布规律为P(an(n 1)(n -1,2,3,4),其中a是常数，则1 .5P()的值为()2 22 345A .B .C.D .3 45610设a、b是方程x2 xcot V - COST - 0的两个不相等的实数根，那么过点A (a,a2)和B (b, b2)的直线与圆x2 y1的位置关系是A .相离B .相切C.相交D .随B的值变化而变化111.对于项式( x3)n(nN )，四位同学作出了四种判断：

4、x 存在n N+，展开式中有常数项； 对任意n N+,展开式中没有常数项； 对任意n N+,展开式中没有 x的一次项； 存在n N+，展开式中有x的一次项.上述判断中正确的是()A .与B .与C.与D .与对任意的x R都有f (x * 4) = f (x);12.已知定义在R上的函数y=f(x)满足下列三个条件:对于任意的0乞x1 : x2乞2 ,都有f (xj v f(X2),y = f (x +2)的图象关于y轴对称，则下列结论中，正确的是()A . f(4.5) ： f(6.5) ： f (7)B. f (4.5) ： f (7) ： f (6.5)D. f (7) ： f (6.5

5、) ： f(4.5)C. f(7) ： f(4.5) ： f (6.5)、填空题(每小题 4分，共16 分)13 .当 0 ： J :时,nm：2cosn J - sinn - cosn 二 2sinn 二14 .不等式(lg 20)2cos2x -1的解集为.15.设非零复数x, y满足x2 xy y2 =0，则代数式(亠)2005 )2005的值是x +yx +y2x + y 兰 8x +3v 兰916. 若实数x、y满足,则z = x，2y的最大值为x AOy-o三、解答题(本大题共 6小题，共74分)17. (本题满分12分)假设拨过了的号码不再重复，某人忘记了电话号码的最后一个数字，

6、因而他随意地拨号,试求下列事件的概率：(1) 第3次拨号才接通电话；(2) 拨号不超过3次而接通电话.18. (本题满分12分)如图，正三棱柱 A6中，AB=2 , D是AB的中点，E是AQ 的中点，F是中点, 异面直线CF与DE所成的角为90° .(1)求此三棱柱的高;(2)求二面角 CAF B的大小.19. (本题满分12分)3_已知向量a =(2, 2),向量b与向量a的夹角为 ，且a -b =-2,4T(1) 求向量b ；(2) 若 t' = (1,0)且 bl t',c =(cos A,2cos2 C)，其中 A、C 是厶 ABC 的内角，若三角2形的三内角

7、A、B、C依次成等差数列，试求|b+C|的取值范围.20. （本题满分12分）某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液 中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线 .（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；（2） 据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第 一次服药时间为上午 7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共 4次）效果最佳？21. （本题满分12分）如图，过点（1 , 0）的直线I与中心在原点，焦点在 x轴上且离心率为的椭圆相交21于A、B两点，直线y X过线段AB的中点M，同时椭圆上存在一点与右焦点F关于直2线I

8、对称，求直线I和椭圆的方程22. (本题满分14分，附加题4分)2(I)已知 a>0，函数 f(x)二 ax-bx .(1) 当b>0时，若对任意R者E有f (x) _1,证明a - 2 b ；(2) 当b>l时，证明：对任意 x 0,1, | f (x) |_ 1的充要条件是b-1_a_2.b ；(n)(本小题为附加题，如果解答正确加4分，但全卷总分不超过150分)2已知a>0，函数f(x)=ax-bx 当0 ： b叮 时，讨论：对任意 x 0,1, | f (x) |_ 1的 充要条件数学（理）参考答案一、选择题（每题只有一个正确答案，每小题 5分，共60分）1.B

9、2.A3.C4.C5.A6.C 7.C8.A9.D10.C11.D12.B二、填空题（每小题 4分，共16分）ITTT13. 2 14. x|k.x_k二 ，k Z 15. 116. 744三、解答题（本大题共6小题，共74分）17. （本题满分12分）解：设A1=第i次拨号接通电话 , i=1 , 2, 3.（1）第3次才接通电话可表示为 瓦瓦人于是所求概率为p（A1 A2 A3 -=；109 81091.9813I 109109810（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A什AA2 AA2A3于是所求概率为A A +A AA)=P(A1)+P(也旳心3)冷 +18. 解：（1）取BC、C

10、1C的中点分别为 H、N，连结HC1 , 连结FN，交HC1于点K，则点K为HC1的中点，因BC=AB=2，贝U KN= 1 FK =3 , HCHM_ 1_ 22 2FKMK3532FN/HC，则 HMC FMK，因 H 为 BC 中点则 HM= 1HC1，在 Rt HCC1, HC2=HM HC1,5解得 H6= . 5 , C1C=2.另解：取AC中点O,以OB为x轴，OC为y轴，按右手系建立空间坐标系，设棱柱高为 h,则 C ( 0, 1 , 0), F U3,0,-), D (逼 _丄0 ), E (0, 0, h),2 2 ' 2 '，由 CF 丄 DE，得 CF

11、DE- CF=(J3,-1,£),51=(（2）连CD,易得 CD丄面AA 1B1B，作DG丄AF，连CG, 由三垂线定理得 CG丄AF，所以/ CGD是二面角CAF B的平面角，又在 Rt AFB 中，AD=1 , BF=1 , AF= 5 ,从而 DG=空 tan/ CGD=匹=尿,T'DG f故二面角 CAF B大小为arctan 15 .19.解：(1)设 b= (x,y),则 2x+2y=2,且 |b| =a b3兀 | a | cos4解得丿X = 0 -,b y1= (-1,0)或 b =(0,-1)(2)B ，:b_t,且t =(1,0),. b=(0,_1)

12、. b c =(cosA,2cos 31) =(cosA,cosC),2 2 2 1二 | b c | = cos A cos C = 1 (cos 2 A cos 2C) 21=1 cos(A-C),2=1+ cos(A C)cos(A -C)22A - C :331cos(A -C) -1,22.5云沖5云20.解:6t,(1)依题得，y= 2t30t 岂120,1210321 .(2)设第二次服药时在第一次服药后应在11:00;设第三次服药在第一次服药后2202即有 _ _t2 '-_ (t2333'设第四次服药在第一次后解:t1小时，则ft120 ”4因而第二次服药t2

13、小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，20 ,4,解得t2=9小时，故第三次服药应在16:00;3t3小时(t3>10),则此时第一次服进的药已吸收完，此时2(*八 + 202,.-,20(t2 -4)3320:30.-4)血液中含药量应为第二、三次的和,2“&-9)4,解得33t3=13.5 小时,由题意，e故第四次服药应在c 2'22書)r =2小 2.2 a =2c , b2=c ,椭圆方程可设为:2 2爲 -爲 =1.设直线l: y=k(x 1)，显然k丰0，将直线方程代入椭圆方程:2c cX2 2y2-2c2 =0,得X2 2k2(x2-2x 1)-2C2

14、 = 0,整理得：(1 2k2)x2 -4k2x 2k2 -2c0,1而中点在直线八产上,捲 +x2 2k2- X0 :21 2k2,而 y0x0訂(X0-Dk22k21 2k2訥行厂1，求得：k= 1，将k= 1代入,3x2 -4x 2-2c2=0,其中 >0求得c三，点3F (c, 0)关于直线 I : y= x+1的对称点(1, 1 c)在椭圆上，代入椭圆方程:1+2(1 c)2 2c2=0,3 c=?满足c3-38x2所求椭圆为C：916厶=1，直线l方程为:9I : x y - 1 二 0.22. (1)证明:由题设，对任意丄亠ax R,都有f(x)乞 1, f(x) =b(x

15、 -)2b2 a +4ba f(2b)a2叮./a>0, b>0, a 空2 b. 4b设交点 A ( Xi,yi), B ( x2,y2),中点 M ( Xo，yo),(2)证明:必要性：对任意 x 0,1,| f (x)匸1,即-仁f (x)乞1,因此，-仁f(1),即 a-b 一-1,a _b-1.对任意 x 0,1,| f (x) 1,有f(x),因为b 1,11Ii可推出 f(_)乞 1. 即 a”=.1m1,. a 乞 2；b,即卩 b1a乞2、b. b、b充分性：因为b>1, a _b -1,对任意0,1，可以推出ax - bx2 - b(x - x2) - x - -x - -1,即卩ax - bx2 - -1.因为，b>l, a_2. b,对任意x. 0,1，可以推出ax -bx2 辽2 . bx -bx2 辽 1,即ax -bx2 辽 1,所以 一1 乞 f (x)乞 1.综上，当b>1时，对任意x0,1 , |f(x)|1的充要条件是：b-1a2._b.(3) (附加题4 分)解：因为 a - 0,0 ： b 乞1 时，对任意 x 0,1，有 f (x) =