几种特殊类型函数的积分1实用教案

1、有理函数有理函数(yu l hn sh)的定义：的定义：两个两个(lin )(lin )多项式的商表示的函数多项式的商表示的函数. .一、有理函数(yu l hn sh)的积分第1页/共26页第一页，共27页。假定分子与分母(fnm)之间没有公因式这有理函数(yu l hn sh)是真分式；这有理函数(yu l hn sh)是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例例难点难点将有理函数化为部分分式之和.第2页/共26页第二页，共27页。提示(tsh)： 解 例1 例 3 求dxxx2) 1(1 dxxxxdxxx) 1(1111) 1(122 dxxdxxdxx

2、2) 1(1111Cxxx11| 1|ln|ln 222) 1(1) 1(1) 1(1) 1(1xxxxxxxxx222) 1(1) 1(1) 1(1) 1(1xxxxxxxxx22) 1(1111) 1(1) 1(1xxxxxxxx 求真分式的不定积分时, 如果分母(fnm)可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 分母(fnm)可因式分解的真分式的不定积分 第3页/共26页第三页，共27页。提示(tsh)： 解 例2 1 求dxxxx6532 AB1 2A3B3 A6 B5 ) 3)(2()32()(23) 3)(2(3xxBAxBAxBxAxxx) 3)(2()32()(2

3、3) 3)(2(3xxBAxBAxBxAxxx 解 dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536(dxxxx6532dxxxx) 3)(2(3dxxx)2536( dxxdxx25366ln|x3|5ln|x2|C 第4页/共26页第四页，共27页。例例3 3 求积分3.3xdxx 解 332233992727.33xxxxxxxx22739.3xxx3227(39).33xdxxxdxdxxx3213927ln(3)32xxxxc第5页/共26页第五页，共27页。三角三角(snjio)(snjio)有理式的有理式的定义：定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和

4、常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为构成的函数一般记为)cos,(sinxxR二、三角函数(snjihnsh)有理式的积分第6页/共26页第六页，共27页。令2tanxu （万能（万能(wnnng)置置换公式）换公式）第7页/共26页第七页，共27页。提示(tsh)： 解 例4 例 4 求dxxxx)cos1 (sinsin1 uxarctan2 duudx212 duuuuuuuudxxxx2222212)111 (12)121 ()cos1 (sinsin1 Cuuuduuu|)|ln22(21)12(212 第8页/共26页第八页，共27页。例例5 5 求积分求积分(jfn)(jfn

5、)解解由万能置换(zhhun)公式第9页/共26页第九页，共27页。第10页/共26页第十页，共27页。讨论讨论(toln)类型类型解决解决(jiju)(jiju)方法方法作代换去掉作代换去掉(q dio)(q dio)根号根号. .例例6 6 求积分 dxxxx11解解 令txx 1三、简单无理函数的积分第11页/共26页第十一页，共27页。第12页/共26页第十二页，共27页。 解 例7 例 7 求xxdx)1 (3 设xt6 于是(ysh)dx6t5dt 从而(cng r) dtttdttttxxdx22325316)1 (6)1 (dtttdttttxxdx22325316)1 (6)

6、1 ( Cttdtt)arctan( 6)111 (62 第13页/共26页第十三页，共27页。 解 练习 例 6 求321xdx Cuuuduuu|)1 |ln2( 3)111(32 ux32设 即xu32 则 duuuduuuxdx111331121223duuuduuuxdx111331121223第14页/共26页第十四页，共27页。例例8 8 求1.2(34)dxx被积函数中含有bax 在积分(jfn)表（一）中查得公式（7）现在4, 3 ba于是四、积分(jfn)表的使用第15页/共26页第十五页，共27页。例例9 9 求.942 xxdx表中不能直接查出, 需先进行(jnxng)

7、变量代换.令ux 2222394 ux 942xxdx 223221uudu 223uudu被积函数中含有,322 u第16页/共26页第十六页，共27页。在积分(jfn)表（六）中查得公式（37） 22axxdxCaxaxa 22|ln1 223uuduCuu 2233|ln31将 代入得xu2 942xxdx.943|2ln312Cxx 第17页/共26页第十七页，共27页。简单(jindn)无理式的积分.有理式分解成部分(b fen)分式之和的积分.三角有理式的积分.（万能置换(zhhun)公式）五、小结作业作业: 5(3),6(1),7(4).第18页/共26页第十八页，共27页。练习

8、题练习题第19页/共26页第十九页，共27页。第20页/共26页第二十页，共27页。第21页/共26页第二十一页，共27页。一一、1 1、2,1,1 ； 2 2、- -1 1, ,21,21；3 3、2212,12uduuu ； 4 4、bax , ,abt 2, ,dtat 2； 5 5、初初等等函函数数 . .练习题答案练习题答案第22页/共26页第二十二页，共27页。第23页/共26页第二十三页，共27页。第24页/共26页第二十四页，共27页。第25页/共26页第二十五页，共27页。感谢您的观看(gunkn)！第26页/共26页第二十六页，共27页。NoImage内容(nirng)总结有理函数的定义：。两个多项式的商表示的函数.。利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.。求真分式的不定积分时