§4-1-随机变量的期望PPT

1、1第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4.1 随机变量的期望随机变量的期望4.1.1 离散型随机变量的期望离散型随机变量的期望定义定义4-1 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为也就是说也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.1)(kkkpxXE1|kkkpx如果如果有限有限,定义定义X的数学期望的数学期望PX=xk=pk , k=1,2,212:(1),nXx xx注当 的可能取值为有限多个时,1(),niiiE Xx p12(2),nXx xx当 的可能取值为可列多个, 时,1().iiiE

2、 Xx p例例4-1 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 X -1 0 1 P 0.3 0.2 0.5求求E(X).解解 E(X)=(-1)0.3+0 0.2+1 0.5=0.23例例4-2 甲乙两人进行打靶甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为所得分数分别记为X,Y,它们的分布律分别为它们的分布律分别为 X 0 1 2 P 0 0.2 0.8 Y 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1试比较它们成绩的好坏试比较它们成绩的好坏.解解 分别计算分别计算X和和Y的数学期望的数学期望:E(X)=00.3+1 0.2+2 0.8=1.8(分)，E(Y)=00.1+1 0.8+2 0.1=1 (分)

3、. 这就意味着这就意味着,如果进行多次射击如果进行多次射击,甲所得分数的平均值接近于甲所得分数的平均值接近于1.8分分,而乙而乙得分的平均值接近得分的平均值接近1分分.很明显乙的成绩远不如甲很明显乙的成绩远不如甲.4下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望.1. 两点分布两点分布随机变量随机变量X的分布律为的分布律为 X 0 1 P 1-p p其中其中0p1，有，有E(X)=0X X(1-p)+1X Xp=p.2. 二项分布二项分布设设XB(n, p), 即即(0 1)1iin iinpP XiC p qi, ,n ,qp, 从而有从而有() =niin

4、 ini 1E XiC p q.np53. 泊松分布泊松分布设设XP()其分布律为其分布律为=(0 1),!ieP Xii, ,i则则X的数学期望的数学期望E(X)=.(5, ),()1.6,.XBpE Xp 设随机变量已知求参数例例4-34-3(5, ),()1.6,5.XBpE Xnpn由已知因此解解1.650.32.p 所以，1,1 0.4,()0.2,.XxP XE Xx已知随机变量 的所有可能取值为 和 且 求例例4 4- -4 410.4,()0.40.60.2,P XE Xx由已知得解解1- .3x 从而6下面介绍离散型随机变量函数的数学期望下面介绍离散型随机变量函数的数学期望.

5、定理定理4-1 设离散型随机变量设离散型随机变量x的分布律为的分布律为,1,2,.kkP Xxpk1(),(),kkkYg Xg xpY令若级数绝对收敛 则随机变量 的数学期望为1( ) ()().kkkE YE g Xg xp4-5X设随机变量 的分布律为例例10120.30.20.40.1XP21,( ).YXE Y令求( )(2 ( 1) 1) 0.3(2 0 1) 0.2(2 1 1) 0.4(2 2 1) 0.11.6.E Y 解解74-6X设随机变量 的分布律为例例100.5120.30.20.10.10.3XP2,( ).YXE Y令求21122222( )()( 1)0.300

6、.20.50.1 10.120.31.625.kkkkkkE Yg xpx p 解解( ),( ),(),()( ),( ).Xf xxf x dxXE xxEfdXxx设连续型随机变量 的概率密度为若广义积分绝对收敛 则称该积分为随机变量 的数学期望 简称期望或义均值 记为即定定4 4- -2 2连续随变4 4. .1 1. .2 2型型机机量量的的期期望望8X设随机变量 的概率密度为例例4 4- -7 72 ,01,( )0,.xxf x其他().E X求()( )E Xxf x dx解解0101( )( )( )xf x dxxf x dxxf x dx102xxdx1202x dx13

7、022.33xX设随机变量 的概率密度为例例4 4- -8 8222cos,|,( )0,.xxf x其他().E X求()( )E Xxf x dx解解2222cosxxdx0.9下面介绍几种重要连续型随机变量的期望下面介绍几种重要连续型随机变量的期望.1.均匀分布 , ,Xa b设随机变量 在上服从均匀分布 其概率密度为1,( )0.axbf xba，其他()( )E Xxf x dx则 , .a b在区间上服从均匀分布的随机变量的数学期望是该区间中点2.a b2.指数分布0X设随机变量 服从参数为的指数分布,其概率密度为,0,( )0,0.xexf xx()E X 则即指数分布的数学期望

8、为参数 的倒数.1,103.正态分布2( ,)XN 设其概率密度为22(),21( ),2xf xex ()XE X 则 的期望.下面介绍连续型随机变量函数的数学期望,( ),(),XXfxYg X设 为连续型随机变量 其概率密度为又随机变量定定理理4 4- -2 2|( )|( ),Xg xfx dx则当收敛时 有( ) ( )( ).)Xg x fx dxE YE g X,0, ,Va风速 是一个随机变量 设它服从上均匀分布 其概率密度为例例4 4- -9 91, 0,( )0,.xaf xa其他2,(0),.WVWkVkW又设飞机机翼受到的压力是风速 的函数常数 求的数学期望22()()

9、( )E WE kVkv f v dv解解201akvdva21.3ka11X设 的概率密度为例例4-104-10,01,( )2,12,0,.xxf xxx其他|()| .EXE X求()( )E Xxf x dx解解12201(2)x dxxx dx122323101111.33xxx|()|1|EXE XEX1201|1|1|(2)x xdxxx dx1201(1)(1)(2)xx dxxx dx1.3122( ,),( ).XXNYeE Y 设令求例例4 4- -1 11 12( ,),XNX 因为从而 的概率密度为解解22()21( ),2xXfxex ,因此22()21( ),2x

10、xE Yeedx,xt令则2222( ).2tteE Yedte 134.1.3 二维随机变量函数的期望二维随机变量函数的期望(1)(, ),ijijX YpP Xx Yy若为离散型随机变量 若其分布律为定定理理4 4- -3 3边缘分布律为,iijjijjipppp则(),iiiijiiiE Xx px p( ).ijiijjiiE Yy py p(2)(, ),( , ),( ),( )(, )XYX Yf x yfxfyX Y若为二维连续型随机变量分别为的概率密度与边缘概率密度,则()( )( , ),XE Xxfx dxxf x y dxdy ( )( )( , ).YE Yyfy d

11、yyf x y dxdy 14(, ),(, )(, ),g X YX Yg X Y设为连续函数 对于二维随机变量的函数定定理理4 4- -4 4(1)(, ),|( ,)|,ijijijX Yg x yp若为离散型随机变量 级数收敛 则(, )( ,).ijijijE g X Yg x yp(2)(, ),|( , )| ( , ),X Yg x yf x y dxdy 若为连续型随机变量 且积分收敛 则(, )( , ) ( , ).E g X Yg x y f x y dxdy (, )X Y已知的分布率为例例4 4- -1 12 2:(1) (23 ); (2) ().EXYE XY求

12、01100311126XY15(1)由数学期望定义知解解(23 )(23)ijijijEXYxyp111(2 03 0)(2 03 1)0(2 13 0)(2 13 1)326 11.6(2)()()ijijijE XYx yp1111(0 0)(0 1) 0(1 0)(1 1).3266 (, )X Y设二维随机变量的概率密度为例例4 4- -1 13 32,01,0,( , )0,.xyxf x y其他(1) ();(2) ();(3) 1.E XYE XYP XY求：16质4 4. .1 1. .4 4 期期望望的的性性1( ),.E CCC性质其中 为常数2()().E CXC E X

13、性质3()()( ).E XYE XE Y性质12121211()()( ),.()(),(1,2, )nniiiiiiiE C XC YC E XC E YC CEC XC E XC in推广：其中,为常数其中是常数.,()() ( ).XYE XYE X E Y性质4 若 与 是相互独立的随机变量 则12,nXXX由数学归纳法可证得：当相互独立时有1212()() () ().nnE X XXE X E XE X171212(1,2, )0 101101,1 9,.,.iinnX inXPpppqXXXXXXXX 设服从分布其中且,相互独立令+求 的期望例例4 4- -1 14 4,X.由

14、二项分布的定义知服从二项分布因此，解解法法1 1().E Xnp12(),inE Xp XXXX因为由期望性质知解解法法2 212()()()().nE XE XE XE Xnp4,4.15,30,55,100.3,4.5人进行射击比赛 每人射 发在射击时,约定某人全部不中得0分，只中一弹得分 中两弹得分 中三弹得分 中四弹得四人射击的命中率都为求 人射击总得分的期望例例4 4- -1 15 518(1,2,3,4)iX ii设表示第 个射手的得分,则它的分布律为解解04 00432160,55625iP XC 14 114329615,55625iP XC 24 2243221630,55625iP XC 34 3343221655,55625iP XC 44 4443281100,55625iP XC iX则的期望为169621621681()015305510044.64.625625625625625iE X123454,4XX XXXXX用 表示 个射手的总得分 则 =从而 人射击总得分的数学期望为12345()()()()()()4 44.64178.65.E XE XE XE XE XE X 0153055100169621621681625625625625625iXP即即19练练 习习1. 设随机变量X服从正态分布N