北师大版高中数学必修四阶段性检测卷(三)

1、奋斗没有终点任何时候都是一个起点信达阶段性检测卷（三）（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分）C.11 . sin45 cos15 + cos225 sin15 的值为（）1D-2解析 原式=sin45 cos15 cos45 sin15 = sin30 =2.答案 D，兀一，2 .已知 tan（ -4+ a ） = - 3,则 sin a , cos a 的值为（）B.2A.5C.1D.2k ,，兀、-1 + tan a -角牛析 tan( -+ a ) = 3, -= 3,41 tan a COS a +sin a 即 COS a sin

2、a1 +2sin a cos a3 - 3' 12sin=9, sin a cos c COS a '2 =5,答案 A23. y=(sin xcosx) 1是(A.最小正周期为2兀的偶函数B.最小正周期为2兀的奇函数C.最小正周期为兀的偶函数D.最小正周期为兀的奇函数解析 y= - 2sin xcosx= sin2x.答案 D一 J A工A、h兀4.已知锐角a满COs2 a =COs -a ,则 sin2a等于（1A.2B.C. 2D.解析6(0,又 cos2a =0.a = .c 或12兀 人4（舍）.八.兀 1"、山.sin2a=sin-=25故选A.答案5.若

3、sin a - cos a3 一兀兀 一.一一8， H<a <万，贝U cos a sin a 的值是1 A.21C.4解析1 a< 万,二 cos a sin2sin a cos12.答案 B6.求值cos35cos20 1 sin20 (A. 1B.C. .2D. 3解析原式=cos210 sin 210cos35cos10 sin10cos10 +sin10一 cos352sin55=cos35=2.答案 C7.已知向量a = (sin 6,cos 6 2sin。)，b= (1,2),若 a / b,w3sin 6 +4cos 6则sine2cose的值为(19A. 7

4、19B 713C三D.1371 解析 由 a/b 知，2sin 6 = cos 6 2sin。，得 tan。=4,3sin 6 +4cos 6 3tan 6 +4 3*4.419 = - = ' = 一sin 6 2cos 6 tan 6 217答案 BB= 13,且 a6 0, "2，B63.8 .已知 cos( a B)=1, sin5一万，0 ,则 sin a =()A.336563B.65C.3365D.6365解析L - 兀-L兀-. a6 0, 2，2，0，-a n同B*sin( a B )sin a = sin(二，cos B 51213-a B ) + B =

5、sin(a B )cos B + cos( a X3- 5十2 3X4一 5=B3 53 6-答案 A9 .使函数 y=sin（2 x+ 6 ） +/3cos（2x+。）为奇函数，且在0 ,兀 4上为减函数的。的一个值为（）5A.3兀4B.3兀2C3兀兀D.WA , 一兀、_.解析 y = 2sin(2 x+ 6 +),逐个检验.3答案 C10.设 a=tan15 +tan30 +tan15 - tan30 , b= 2cos210sin70 , c=16cos20- cos40 - cos60 - cos80 ,贝U a, b,c的大小关系是（）A. a= b=cB. a?b, b= cC.

6、 a= b, b? cD. acbcc一一-兀解析a 6 0,万，兀2, 01213.a B )cos B + cos(4- . sin(qB )=+ cos B5sin 民=sin( a B ) + B =sin(4 12 3533B)sin p=5Xn+5X -n=65.答案 A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）111.已知 tan a =2,-1 -兀-tan B =",且 0< a <77,兀 < B <32解析：tan( a + B)tan a + tan (31 tan a tan (31 12+3 , i=151-6一一兀 0&l

7、t; a <，兀 <c 3.(3 < 2 nt , .兀 <答案：54兀2*2sin 2 112.已知 f(x) =2tanx,x x'sin 2cos2I r 兀则 f(12)=2cosx解析 f(x) = 2tanx+ 2.1=2 tan x + ;tan x4 兀= sin2，12 =4c=8.兀sin -6答案 813.设ABC勺三个内角 A, B, C,向量 m(，3sinA, sin B), n = (cosB, V3cosA),若 m- n=1 + cos(A+ B) ,则角 C=.解析 m- n= 3sin AcosB+ 3sin BcosA=V

8、3sin( A+ B) =1 + cos(A+ B).又/A, /B, /C为 ABC的内角,. /A+ /B+ ZCJ=兀.故 sin( A+ B) = sin C, cos( A+ B) = cosC,原式可化为 3sinC+ cosC= 1,口门.c 兀 i即 sin C+ - =2,答案 3兀1 I' sin10sin80的值为cos10 3sin10 角牛析原式=sin10 . cos102 cos60 cos10 sin60 sin10sin202cos70=4sin20 = 4.答案 415.关于函数f(x)一兀、一兀、一= cos(2 x 万)+cos(2x + 6),

9、有下列说法:f(X)的最大值为42；y=f (x)是以兀为最小正周期的周期函数;一兀 13y=f (x)在区间24，24兀上单调递减;将函数y=2cos2x 的图像向左平移24个单位后，将与已知函数的图像重合.其中正确说法的序号是解析 f(x) = cos2x 3 + cos 一 兀+ 2x-3=cos 2x 2 sin 2x 33=啦cos 2x 一12故正确，又将y = 2cos2x图像向左平移24个单位得到的是y = y12cos 2x +兀一一一 . 兀 13.12的图像，故不正确.又当24<x<24兀日o<2x兀.兀 13 12<兀，.函数f（x）在24, 2

10、4兀上单调递减，故正确.答案三、解答题（本大题共6道题，共75分）16.八一4 a（12分）已知tan-1.1 + sin2 民 .一 求的值2' v 1 + sin2 a + cos2 a Jl tan tan2 2'a2tan 二 2=1 tan 2y七=3, 1-41 +sin2 a1 +2sin a cos a1 + sin2 a + cos2 a 1 + 2sin a cos a + 2cos2 a 1 cos2 a + sin 2 a + 2sin 民 cos 民=C .，-22sin a cos a +2cos a1 +tan 2 a + 2tan 民= 2tan

11、 a + 22_ tan a + 12 tan a + 1tan a +177 3X2 6.417. (12 分)已知 a, B 都为锐角，cosa=5, tan(a (3 )=1,、 一一3，求cos B的值.解 因为a是锐角，所以sin a =d - cos2 a =5所以 0V a <z,又 0< B <2",所以一万< a B <4.又 tan( a1 . 兀B）= 一3，所以一77口 一32B <0.t sin a 由二cos a 一= tan( a B ) = 3且 sin 2(民一B ) + cos2( a B ) = 1,得 sin

12、(-1,-30c B)= 充 (0c 一.=而从而 cos B = cos a ( a B )=cos a cos(民一B) + sin 民 sin( a B )4313 9 10= -X-j=-?=X -=.51010 55018. （12分）求证:2 2sin a +r cos a +子44cos4 民 sin 4 a1 + tan 民1 tan a2 2sin a + -4证明.左边=cos%sin% cos a + 2cos a+ sincos a sin acos a + sin acos a +sin a1 + tan 民cos a sin 民 1 tan a=右边.-2 ，兀2

13、2cos a 十:4coscos2 a sin 2 a cos a + sin a a sin 2 a,八,兀1 cos 2 a + 2 cos2 a sin 2 a1 + sin2 民cos a sin asin 2 a + cos2 民 + 2sin q cos 民等式成立.19. (13分)已知函数f (x) =sin x + 4兀+ cosx6 R 求f(x)的最小正周期和最小值;4.5'(2)已知 cos( ( a ) =, cos( B 5求证f ( B) 2-2=0.7-解(1) .f(x) = sin x+ 4 兀一2 兀=sin x z+sin x . T= 2 兀，

14、f ( x) min = - 2.(2)证明：由已知cos 民 cos B + sin 民cos a cossin a sin B = - 5.两式相力口 2cos a cos 3=0. 一 2_.兀 2_ f( B ) 2 = 4 sin - -2=0.20. (13分)如图，在一块半径为 R的半圆形的铁板中截取一个 内接矩形ABCD使其一边C崎在圆的直径上，问应该怎样截取，才 可以使矩形ABCD勺面积最大？并求出这个矩形的面积.解 如图所示，设/ AOD= 6 ,则 OD= O/cos 6 =Rtos 6 , AD=OAin 6 = Rsin 6 ,矩形ABCD勺面积为S矩形ABCD= C

15、D AD= 2OD- AD= 2RCos 6 Rsin。= R2sin2 6 wR,其中等号成立的条件是 sin2。=1,即2 6 =90° ,于是。=45 0 ,此时这个矩形的长度为2: 1, C, D距。的距离为2R时，(S矩形 ABcD max= R.21. (13 分)已知函数 f(x)=，3sin2x 2sin2x,(1)求函数f(x)的最大值；(2)求函数f(x)的零点的集合.解 (1)因为 f (x) =，3sin2 x (1 cos2x) 一 兀 ，=2sin 2x + -：r 1.6一一兀兀 一兀.一.一所以，当 2x+=2k兀 +Y，BPx=kx + (kZ)Bt,函数 f(x) 取得最大值1.一一 ， 一，一兀 1 .一一一兀(2)解法一：由(1)及 f(x) = 0,得 sin 2x + - =2,所以 2x+6.兀 _兀 . 5 兀 i-ri-t_兀，=2k兀 + "6，或"+ "6= 2