信号与系统第二章 连续系统的时域分析

1、信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-1 1 1页页页电子教案第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-2 2 2页页页电子教案本章主要内容：本章主要内容：q LTI连续系统的响应连续系统的响应q 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应q 卷积积分卷积积分q 卷积积分的性质卷积积分的性质第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-3 3 3页页页电子教案2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应第二章第二章 连续系统的时域分

2、析连续系统的时域分析q 基本思想基本思想 LTI LTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程建立并求解线性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间为时间t t，故称为，故称为时域分析法时域分析法。信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-4 4 4页页页电子教案一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)

3、(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)n n阶常系数线性微分方程：阶常系数线性微分方程：或缩写为：或缩写为：m0i(i)in0j(j)j(t)fb(t)yaaj和和bi均为常数，且均为常数，且an=1信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-5 5 5页页页电子教案2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应q微分方程的经典解微分方程的经典解 y(t) = yh(t) + yp(t)完全解完全解齐次解齐次解特特 解解齐次解齐次解是齐次微分方程的解：是齐次微分方程的解： y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 与系统本身的特性有

4、关，而与激励与系统本身的特性有关，而与激励f(t)f(t)的函数形的函数形式无关，称为系统的式无关，称为系统的固有响应固有响应或或自由响应自由响应；特解特解与激励函数的形式有关，与激励函数的形式有关，称为称为强迫响应强迫响应。信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-6 6 6页页页电子教案2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）当）当f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1时的全解；时的全解； （2）当）当f(t) = e-

5、 -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。时的全解。 (1) 解解: 求齐次解求齐次解齐次微分方程齐次微分方程：y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = 0其特征方程为其特征方程为：2 + 5+ 6 = 0 其特征根为其特征根为： 1= 2，2= 3齐次解齐次解为为： yh(t) = C1e 2t + C2e 3t（由表（由表2-1）信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-7 7 7页页页电子教案2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 求特解求特解由表由表2-2可知，当可知，当f(t) = 2e t时，其特解可设为：时，其特解可设为： yp(t)

6、 = Pe t将其代入微分方程得将其代入微分方程得： Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t解得解得 P=1 ，于是，于是特解特解为：为： yp(t) = e t全解为：全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t待定常数待定常数C1,C2由初始条件确定：由初始条件确定： y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得最后得全解全解： y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0自由响应自由响应强迫响应强迫响应信号与系统信号

7、与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-8 8 8页页页电子教案(2) 解解: 齐次解同齐次解同(1) yh(t) = C1e 2t + C2e 3t 求特解求特解由表由表2-2知，其特解为：知，其特解为： yp(t) = Pt e2t代入微分方程可得：代入微分方程可得： Pe-2t = e2t 所以所以 P = 1 全解为：全解为： y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t 将初始条件代入，得将初始条件代入，得 y(0) = C1 + C2=1 ， y(0)= 2C1 3C2+1=0解得解得 C1 = 2 ,C2= 1 最后得最后得全解全解： y(t) = 2e2t

8、e3t + te2t, t02.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-9 9 9页页页电子教案2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值t=0-，激励尚未接入，激励尚未接入，初始状态初始状态y(j)(0-)由系统的由系统的储能产生；储能产生；t=0+，激励接入，激励接入，初始值初始值y(j)(0+)由系统的储能和由系统的储能和激励共同决定。激励共同决定。经典法中待定常数经典法中待定常数C C1 1,C,C2 2由由初始值初始值y(j)(0+)确定确定一般：一

9、般： y(j)(0+) = y(j)(0-)特例：当激励中包含冲激函数及其导数时，二特例：当激励中包含冲激函数及其导数时，二者不等，会产生跃变。此时需要：者不等，会产生跃变。此时需要：y(j)(0-) y(j)(0+)信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-101010页页页电子教案2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 2y(t) + y(t) = f” (t) + 2f(t)已知已知y(0-)=1，y(0-)= -1，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：将输入将输入f(t)=(

10、t)代入上述微分方程，得代入上述微分方程，得 y”(t) + 2y(t) + y(t) = ” (t) + 2(t)， （1） 利用利用系数匹配法系数匹配法分析：分析：y”(t)应包含应包含” (t) ，令：，令： y”(t)=a” (t) + b(t) + c(t) + r0(t) （2） 对（对（2）式两端积分：）式两端积分： y(t)=a (t) + b(t) + r1(t) （3）不包含不包含(t)(t)及其导数及其导数信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-111111页页页电子教案2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应对（对（3）式两端积分：）式两端积

11、分： y(t) = a(t) + r2(t) （4）将将(2)、(3)、(4)式带入式带入(1)式，并整理得：式，并整理得： a” (t) + (2a+b)(t) +(a+2b+c)(t) + r0(t)+2r1(t)+r2(t)= ” (t) + 2(t) 等式两端系数相等原则，得：等式两端系数相等原则，得：2 2c c2b2ba a0 0b b2a2a1 1a a5 5c c-2-2b b1 1a a式式(3)等号两端从等号两端从0-到到0+积分：积分：0010000(t)dtr(t)dt2(t)dt)y(0)y(0 y(t)=(t) - 2(t) + r1(t) 带入式带入式(3) (3

12、) 信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-121212页页页电子教案2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应因而有：因而有： y(0+) y(0-) = -2 0010000(t)dtr(t)dt2(t)dt)y(0)y(01-1同样，将同样，将a、b、c带入式带入式(2)，并对两端从，并对两端从0-到到0+积分：积分：000000000(t)dtr(t)dt5(t)dt2(t)dt)(0y)(0y有：有： y(0+) y(0-) = 5 -14所以，所以， y(0+) = -1， y(0+) = 4 y”(t)=”(t) -2(t) + 5(t) + r0(t)

13、信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-131313页页页电子教案q复复 习习微分方程的经典解微分方程的经典解y(0y(0- -) )和和y(0y(0+ +) )的含义及关系的含义及关系y(0y(0- -) y(0) y(0+ +) )第一章第一章 信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-141414页页页电子教案2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应三、零输入响应、零状态响应及全响应三、零输入响应、零状态响应及全响应 y(t) = yh(t) + yp(t)完全解完全解齐次解齐次解特特 解解q 经典解经典解q 全响应

14、全响应 y(t) = yzi(t) + yzs(t)全响应全响应 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-151515页页页电子教案2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应例例：描述某系统的微分方程为：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-) = 2，y(0-) = 0，f(t)=(t)。求该系统的零输。求该系统的零输入响应、零状态响应和全响应。入响应、零状态响应和全响应。 解：解： 零输入响应零输入响应yzi(t)

15、满足满足 yzi(t) = Czi1e t + Czi2e 2t yzi(t) = -Czi1e t -2 Czi2e 2t yzi”(t) + 3yzi(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=0信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-161616页页页电子教案2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应代入初始值，有：代入初始值，有： 解得系数为：解得系数为： Czi1 = 4 ，Czi2 = 2 ，得零输入响应得零输入响应yzi(t) ： yzi(t) = 4e t 2e

16、 2t , t0 yzi(0+) = Czi1+ Czi2 = 2 yzi(0+) = -Czi1 -2 Czi2 = 0信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-171717页页页电子教案2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应零状态响应零状态响应yzs(t) 满足满足 由于等号右端包含冲激函数，故应先确定由于等号右端包含冲激函数，故应先确定0+值。值。令：令： yzs”(t) = a(t) + r0(t) 积分，依次得：积分，依次得： yzs(t) = r1(t) ， yzs(t) = r2(t) yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t

17、) + 6(t) yzs(0-) = yzs(0-) = 0再次写出系统的微分方程再次写出系统的微分方程 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-181818页页页电子教案2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应对对、式两端分别、式两端分别积分（从积分（从0-到到0+），有：），有：yzs”(t) = a(t) + r0(t) yzs(t) = r1(t) yzs(t) = r2(t) 代入原方程代入原方程a = 20 0( (t t)

18、 )d dt tr r) )( (0 0y y) )( (0 0y y0 00 01 1z zs sz zs s2 2( (t t) )d dt tr r( (t t) )d dt t2 2) )( (0 0y y ) )( (0 0y y 0 00 00 00 00 0z zs sz zs s代入已知条件，有：代入已知条件，有：0) )( (0 0y yz zs s2 2) )( (0 0y y z zs s00信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-191919页页页电子教案对对t0时，有时，有: yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6齐次

19、解齐次解： yh = Czs1e-t + Czs2e-2t，特特 解解： yp = 3于是有于是有: yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3代入初始值得代入初始值得:2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应所以：所以： yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 yzs(0+) = Czs1+ Czs2 + 3 = 0 yzs(0+) = -Czs1 -2 Czs2 = 24z zs s1 1C C1 1C Cz zs s2 2信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-202020页页页电子教案y (t)= yzi(t)+yzs(t)全

20、响应全响应y(t)： = 4e t 2e 2t 4e-t + e-2t + 3= e 2t + 3 t0 2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-212121页页页电子教案2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应1 1微分方程的经典解微分方程的经典解2 2关于关于0 0- -和和0 0+ +值值3 3零输入响应、零状态响应及全响应零输入响应、零状态响应及全响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3 2.3 卷积积分卷积积分2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质第二章第二章 连续系统的时

21、域分析连续系统的时域分析q学习内容学习内容信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-222222页页页电子教案2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位单位冲激响应冲激响应，简称，简称冲激响应冲激响应，记为，记为h(t)。h(t) = T0,(t)defto(1) (t)LTILTI系统系统第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析h(t)h(t)t信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-232323页页页电子教案解：解：

22、根据根据h(t)的定义，当的定义，当f(t)=(t)，有，有yzs(t)=h(t)，则：，则： 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 例例1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 令：令： h”(t) = a(t) + r0(t) 积分，依次得：积分，依次得： h(t) = r1(t) ， h(t) = r2(t) 代入原方程中：代入原方程中： a(t) + r0(t) + 5r1(t) + 6r2(t) = (t) 所以：所以：a = 1 先求先求h h(0(0+ +) )和和h(0h(0+ +)

23、 ) h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t)h(0-) = h(0-) = 0信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-242424页页页电子教案2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应分别对分别对h(t) 、 h”(t)等式等式两端两端积分（从积分（从0-到到0+），有：），有：0 0( (t t) )d dt tr r) )h h( (0 0) )h h( (0 00 00 01 11 1( (t t) )d dt tr r( (t t) )d dt t) )( (0 0h h ) )( (0 0h h 0 00 00 00 00 0代入已知条件

24、，有：代入已知条件，有：0 0) )h h( (0 01 1) )( (0 0h h 再求冲激响应再求冲激响应h(t)h(t) 对对t0时，有时，有: h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响应为一齐次解。故系统的冲激响应为一齐次解。00信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-252525页页页电子教案微分方程的特征根为微分方程的特征根为-2，-3，故系统的冲激响应为，故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t) h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0代入初始值得代入初始值得:所以：所以： h(t)= (e

25、-2t - e-3t )(t) h(0+) = C1+ C2 = 0 h(0+) = -2C1 - 3C2 = 1C1 = 1C2 = -12.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-262626页页页电子教案2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应二、阶跃响应二、阶跃响应由单位阶跃函数由单位阶跃函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位单位阶跃响应阶跃响应，简称，简称阶跃响应阶跃响应，记为，记为g(t)。g(t) = T0,(t)def冲激响应与阶跃响应的关系为：冲激响应与阶跃响应的关系为：tttd)(d)

26、(ttd)()(thtgttgth d)()(,d)(d)(信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-272727页页页电子教案q 阶跃响应的求法阶跃响应的求法2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应u经典法；经典法； 令令f(t)=(t)，求解零状态响应求解零状态响应u利用冲激响应求解；利用冲激响应求解；thtg d)()( 已知已知h(t)，令，令信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-282828页页页电子教案解：解：根据根据g(t)的定义，当的定义，当f(t)=(t)，有，有yzs(t)=g(t)，则：，则： 例例2 描述某系统的微

27、分方程描述某系统的微分方程 y”(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t)求其阶跃响应求其阶跃响应g(t)。 令：令： g”(t) = a(t) + r0(t) 积分，依次得：积分，依次得： g(t) = r1(t) ， g(t) = r2(t) 代入原方程中：代入原方程中：a(t)+r0(t)+3r1(t)+2r2(t)= -(t)+2(t)先求先求g g(0(0+ +) )和和g(0g(0+ +) ) g”(t) + 3g(t) + 2g(t) = -(t)+2(t)，g(0-) = g(0-) = 02.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应所以，得：所以，得：a = -

28、1 信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-292929页页页电子教案2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应分别对分别对g(t) 、 g”(t)等式等式两端两端积分（从积分（从0-到到0+），有：），有：0 0( (t t) )d dt tr r) )g g( (0 0) )g g( (0 00 00 01 11 1( (t t) )d dt tr r( (t t) )d dt t) )( (0 0g g ) )( (0 0g g 0 00 00 00 00 0代入已知条件，有：代入已知条件，有：0 0) )g g( (0 01 1) )( (0 0g g g(

29、t) = r1(t)，g”(t) = -(t) + r0(t) 00信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-303030页页页电子教案再求阶跃响应再求阶跃响应g(t)g(t) 对对t0时，有时，有: g”(t) + 3g(t) + 2g(t) = 2齐次解齐次解： gh(t) = C1e-t + C2e-2t，特特 解解： gp = 1于是有于是有: g(t)=C1e-t + C2e-2t + 1代入初始值得代入初始值得: g(0+) = C1+ C2 + 1 = 0 g(0+) = -C1 -2 C2 = -1所以：所以： g(t)= 3e-t + 2e-2t +

30、1 ，t0 C1 = -3C2 = 22.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-313131页页页电子教案2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3 2.3 卷积积分卷积积分2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析q学习内容学习内容信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-323232页页页电子教案第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.3 2.3 卷积积分卷积积分

31、一、卷积积分定义一、卷积积分定义h(t)的定义：的定义：时不变性：时不变性：(t - -)h(t - -)齐次性：齐次性：f ()(t - -)f () h(t - -)可加性：可加性： dtf)()( d)()(thff (t)f(t)*h(t)(t) h(t) L LT TI I系系统统零零状状态态yzs(t)f (t)LTILTI系统系统h(t)h(t)LTI系统框图：系统框图：信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-333333页页页电子教案q 定定 义义2.3 2.3 卷积积分卷积积分已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)

32、和和f2(t)，则定义积分，则定义积分dtfftf)()()(21为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 注注 意意：为积分变量，结果为为积分变量，结果为t t的函数。的函数。 )()()(21tftftf即：即： dtfftftftf)()()()()(2121信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-343434页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分例例：f1(t) = e t,（- -t)，f2(t) = (6e- -2t 1)(t)，求卷积。求卷积。解解：d)( 1e6e)(2tttt d 1e6e)(2ttt

33、ded)e6(e32 dtfftftf)()()()(2121tt d)eee6(32 tttt ee2e32tettteee232信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-353535页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分二、卷积的图解法二、卷积的图解法dtfftftf)()()(*)(2121 换换 元：元： t换为换为得得 f1()， f2() 反转平移：反转平移：f2()反转反转 f2()，平移，平移t f2(t-) 乘乘 积：积： f1() f2(t-)q 卷积的图解过程卷积的图解过程注注 意意：t t为参变量。为参变量。 积积 分：分： dtff)(

34、)(21信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-363636页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分例f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用图形卷积 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -) t 0时时 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 时时, f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf 1t 2时时4121d21)(1ttyttf 3t 时时f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0f

35、( t )t0211th ( t )22h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。 f (t)换元换元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 时时432141d21)(221tttytf0h( )f (t - )2013平移平移t信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-373737页页页电子教案q 卷积的图解过程卷积的图解过程一般比较繁琐，但若只一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。求某一时刻卷积值时还是比较方便的。q 图解过程的关键：图解过程的关键

36、：确定积分的上下限确定积分的上下限。2.3 2.3 卷积积分卷积积分信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-383838页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分例例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已如图所示，已知知 f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2)。tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解解：d)2()()2(12fff（1）换元）换元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）积分，得

37、）积分，得f(2) = 0（面积为（面积为0） d)()()(12tfftf信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-393939页页页电子教案2.3 2.3 卷积积分卷积积分q 练练 习习1. 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 4y(t) + 4y(t) = f(t) + 3f(t)已知已知y(0-) = 1，y(0-) = 2，f(t)= e-t(t)。求该系统的零。求该系统的零输入响应、零状态响应。输入响应、零状态响应。 2. f1(t)、 f2(t)如图所示，已知如图所示，已知 f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(1)。

38、tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-404040页页页电子教案第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 一、卷积代数一、卷积代数满足乘法的三律：满足乘法的三律：1. 交换律交换律： f1(t)*

39、f2(t) =f2(t)* f1(t)2. 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)3. 结合律结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-414141页页页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质二、普通函数与冲激函数的卷积二、普通函数与冲激函数的卷积1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 证：证：)(d)()()(*)(tftftft2. f(t)*(t t0) = f(t t0)

40、 3. f1(t-t1)*f2(t-t2) = f1(t-t2) *f2(t-t1) = f(t-t1-t2) 证：证： )()()()()(*)(22112211tttftttfttfttf )()()()(1221tttftttf )()(1221ttfttf(t t1)*(t t2) =(t t1 t2) 时移性质时移性质信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-424242页页页电子教案第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析q复复 习习卷积的定义卷积的定义图解法求解卷积图解法求解卷积卷积积分代数性质卷积积分代数性质普通函数与冲激函数的卷积普通函数与冲激函数的卷积（时移性质）（时移性质）信号与系统信号与系统青岛科技大学信息科学技术学院第第第1-1-1-434343页页页电子教案2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质三、卷积的微分与积分三、卷积的微分与积分)()()(21tftftf若：若：则：则：(t)(t)f f(t)(t)f f(t)(t)f f(t)(t)f f(t)(t)f f(1)(1)2 21 12 2(1)(1)1 1(1)(1)(t)(t)f f(t)(t)f f(t)(t)f f(t)(t)f f(t)(t)f f1)1)( (2 21 12 21)1)(