2高考本源探究之函数及其性质

1、高考本源探究函数及其性质高考本源课题组 刘 臻 函数是高中数学的主线，其不仅灵活而且抽象！学好函数要把握好函数中两种思维是直觉思维与抽象思维，这里分为如下五部分作介绍：一、初等函数，二、函数性质，三、函数图像，四、特殊函数，五、数学思维.1.1、初等函数之二次函数【17全国理21】已知函数（）讨论的单调性；（）若有两个零点，求的取值范围【示例分析】，因式分解：再对参数进行分类讨论，得到函数单调性【14全国理21】已知（）讨论的单调性；（）设，当时，求的取值范围【示例分析】整体思想：视为整体化简求导讨论：依据与大小关系分类1.2、初等函数之三次函数【高考1】（13全国新课标10）已知函数的图像与

2、轴恰有两个公共点，则A.或 B. 或 C. 或 D. 或【高考2】（13新课标理10/文11）已知函数，下列结论中错误的是A.，有 B. 函数的图像是中心对称函数C. 若是函数的极小值点，则在区间单调递减D. 若是函数的极值点，则【高考3】（14全国文12）已知函数，若函数存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【例题1】（武汉2月调研）函数的图像是中心对称函数，则其对称中心为_.【分析】巧用导数处理函数的对称中心如图所示：设是函数的对称中心，且点、是函数上关于对称中心对称两点，由对称性可知，函数在、处的切线斜率相等，设斜率为则，且、知、是的两根，则即，知为函数的对称中心

3、.【命题预期】（18武汉2月理12）已知直线与曲线相交，交点依次为，且，则直线的方程为 （ ）A. B. C. D. 【分析】,这是不容易直接想到的，但可以借助于导数，三次函数对称中心的横坐标是一阶导数的对称轴横坐标（或二阶导数的零点），待定系数便可很快的找到对称中心.即，知对称中心横坐标为，所以可得，此函数由向右平移单位，向上平移一单位得到，研究直线与交点依次为，且，图像关于中心对称，设方程：，则，消元得到，试根得 ，即得，也即方程：再平移回去：方程：，故选B.【反思】充分利用函数对称的特性：两点关于对称中心对称，则这两点处的切线平行，这样转化为研究导函数，将三次函数降为二次函数，利用函数与

4、方程思想，找到对称两点的中点横坐标（二次函数的对称轴），进而找到对称中心坐标.1.3、初等函数之指数与对数函数【高考1】（05大纲文6/理6）若，则A B C D【高考2】（13课标理8）设，则A B C D【高考3】（16课标文8）若，则A B C D【高考4】（17全国理11）设为正数，且，则A B C D【高考5】（18全国理8）设，则A B C D【高考6】（18全国12）设，则A B C D【例题1】（17全国理11）设为正数，且，则（ D ）A B C D【分析】思路一：架设桥梁，化归统一形式比较大小令，由为正数，知，可得、（既顺应了题设中“相等”，又将变量化归统一到相同变量，实现

5、了减元，自然之道）、，从而问题归结到比较、 的大小，化同底指数知，故选D思路二：特值检验法【题源探究2】（05大纲文6/理6）若，则（ C ）A B C D【分析】研究函数(必须掌握的熟悉函数)，在上递增，在上递减；即有，所以，故其真数满足（经典一直在默默地传承）【再分析】本题含有高等数学背景，即问题的实质可归结为讨论幂指函数在上的单调性，对函数两边先取常用对数得，再两边同时对求导，得到，知函数在上单调递增，在上单调递减，即当两对数的底数和真数不同，又不是明显的一正一负或可以选择中间常量对比的情况，如和，两对数符号相同，且难以通过中间常量进行判断比较大小，这时我们如何办呢?【例题2】（13新课

6、标理8） 设，则 （ C ）A B C D【命题预期】设，则的大小关系是_【分析】由，知、由，知；由知，所以（底数小的指数函数小于底数大的指数函数），根据指数函数图像，还是不能判断大小！仔细想想：要是底数大的指数式小于底数小的指数式，就能比较大小试着将两对数分离出同一个常数，再比较指数大小：，设，即，即（底数大的指数式小于底数小的指数式，就能比较大小）即，所以【例题3】（09辽宁理12）若满足方程，满足方程，则 （ C ）A B C D【分析】试题中含指数式、对数式的超越方程，直接求解比较困难；但可发现指数函数与对数函数图像具有关于对称这一特性，利用该特性可以应用数形结合思想解决思路一：利用指

7、对函数的对称性，数形结合解决（过程略）；可变形为；则可变形为（向同结构转化）换元简化：令， 分别是方程，两根，即分别是与和交点的横坐标，如图：由图像对称特性可知，交点关于点对称，而易知，故，所以思路二：化异求同，函数思想解决：由，即，说明是函数的一个零点；由，即，则，说明也是函数的一个零点；而，即此函数单调递增，有唯一零点，故，即【命题预期】若实数、满足 ，则 _2.1、函数性质之奇偶性、对称性【高考14新课标文5理3】，是定义在上的函数，则“，均为偶函数”是“为偶函数的”A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件【高考15新课标文12】设函数，则使得成立的的取值

8、范围是A B C D【高考16新课标文16】已知函数为偶函数，当时，则曲线在处的切线方程_ 【高考16新课标理15】已知函数为偶函数，当时，则曲线在处的切线方程_【例题1】判断奇偶性【分析】，而函数是偶函数，函数是奇函数，故原函数为奇函数【知识拓展】符号函数，有，知其为奇函数，借此可速判断分段函数的奇偶性例如：为奇函数【例题2】（17全国文9）已知函数，则（ C ）A函数在上单调递增 B函数在上单调递减C函数图像关于对称 D函数图像关于点对称【分析】思路一：对称问题的代数形式入手：发现，即，即函数图像关于对称；对函数求导：，在上不单调思路二：化简变形，平移化归为偶函数，而，是偶函数，关于轴对称

9、，可知函数关于对称 破解轴对称问题微课程【引例】（07全国理14）若函数为偶函数，则实数 _.【分析】思路一：从代数性质上推导，对任意，恒有恒成立，即，此式与变量无关，得；思路二：从几何图像对称性质上推导，发现一个已知的零点，函数为偶函数，其图像关于轴对称，零点也必有一个对称零点，即得.（从中你有何感触）【例题3】（13全国理16）若函数的图像关于直线对称，则的最大值是_.【分析】思路一：运用一般到特殊思想，挖掘特殊的点对的对称性（对象函数是有两个已知零点的一元四次函数，类比二次函数轴对称知已知的对应零点必然对称）由，知，则-3，-5也为函数零点得 ，即. 又图象关于对称得出是函数的一个极值点

10、（三次函数发现一个因式，大大降低分解因式难度）列表可看出在或时取极大值，.【再分析】利用函数思想，转化类比二次函数求最值同法一：知（发现函数零点的等距，换元构造）思路二：得（类比二次函数处理最值手段）思路三：回归偶函数，左右平移不改变函数的值域将函数往右平移个单位可得【命题预期】设函数的定义域为，若对于、，且，恒有，则称点是函数的对称中心.若，求的值.【分析一】利用对称中心的充要条件，待定中心【分析二】利用函数平移，回归奇函数对称性【分析三】利用求导，从一阶导函数对称轴（二阶导函数零点）探寻函数对称中心【分析四】分解函数，探寻函数对称中心设，则，知，而，得函数的对称中心为；再设，知的一个对称中

11、心是，所以的对称中心为.（以下同解法一，过程略）【反思】1、对称性性质在教学中多以让学生记忆的方式学习为主，这样容易使得学生对这些性质的理解不到位，仅会生般硬套公式而不能灵活应用，陷入解题困境.如函数关于直线成轴对称图形，其充要条件是，学生首先想到的是代数形式，而系列点的对称才是对称性问题的本质，特殊的点对对称的图像特征是我们破解函数对称性问题优先的思考方向.2、理论依据：设函数，若的对称中心为，的对称中心为，则函数的对称中心为.简略证明：的对称中心为，知，的对称中心为，则，所以，即对称中心为，得证.但要注意，若两个函数图像对称中心的横坐标不相等，不能得出一般性结论.2.2、函数性质之周期性概

12、念及应用【例题1】若既是周期函数，又是奇函数，则其导函数 （ B ）A既是周期函数，又是奇函数 B既是周期函数，又是偶函数 C不是周期函数，但是奇函数 D不是周期函数，但是偶函数很多小伙伴做对了，也不敢确定答案，准确地说，只是“猜”对了！思路一：特殊化，一般这类问题学生都是通过特殊化思想去验证的，如可举例：，其导函数既是周期函数，又是奇函数思路二：一般化，由周期性知，对恒等式两边求导，；由奇函数知， 对恒等式两边求导，；所以，既是周期函数，又是偶函数（现在总放心了吧）对于定义在上的函数，若存在正数，对于任意的，均有，（， 两式作差得），知为函数的一个正周期对于具有两个对称性的抽象函数，其一定有

13、周期性【命题预期】已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为（ D ）A 4 B6 C8 D10【分析】从题源可以发现：（1） 分段函数中含有形如性质神似函数的周期性，但外面有一个倍数关系，依然可以考虑利用周期性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可进一步推广还有一种形如性质，也可类比周期性，仍以一个“周期”图像为基础，只是下一个区间长度发生变化而已（2） 周期性函数或类周期性函数作图时，若函数图像不连续，则要注意每个“周期”的边界值是属于哪一段周期，在图像中要准确标出，这是利用数形结合解题的一个易错点2.3、函数性质之单调性概念及应用【高考13大

14、纲理9】若函数在是增函数，则的取值范围是A B C D 【高考14课标理11】若函数在区间单调递增，则的取值范围是A B C D 【高考16全国文12】若函数在单调递增，则的取值范围是A B C D 【高考17课标文8】函数的单调递增区间是A B C D 【例题1】（18全国文12）设函数，则满足的的取值范围是 （ D ）A B C D 【分析】问题看似简单，却深刻地考察函数单调性概念，很多学生认为函数是单调递减的，不等式可转化为得出错解，问题出在哪?单调性一定是要指明区间的，这个被忽略【例题2】（07天津文10改）设函数，且对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【分析】回归符号函数模型：

15、，显然函数为奇函数，且函数在上单调递增，根据符号函数性质： ，化归转化抽象不等式：恒成立，可转化为恒成立，利用单调性转化：对恒成立，即对恒成立，恒成立问题转化：，解得【反思】解题的核心关键在于将抽象不等式的变形为函数两应变量的大小关系，再根据具体函数抽象化方法，利用其性质解题，否则就需要要讨论、再代入具体函数的繁琐的计算3.1、函数图像之图像变换【例题1】已知函数的图像的一部分如图，则图的函数图像所对应的函数解析式可以为A B C D【分析】函数先整体往右平移个单位，变换本质是，得到；重新赋予变换后的函数一个新的抽象函数名称，令，将所有点的横坐标压缩为原来的倍，变换实质是，得到，故选B【例题2

16、】函数为奇函数，则下列推断正确的是（ A ）A BC D【分析】抽象函数具体模型验证是快速可行方法，但原理学生还是不懂，面对抽象复合函数，根据整体代换思想重新赋予其一个新的抽象函数，可发现问题本源令，然后隐去，回到最简函数，由于是奇函数，有，而，所以，即【命题预期】函数关于点中心对称，则下列推断正确的是（ D ）A BC D【分析】令，然后隐去，回到最简函数，由于关于点中心对称，有，而，所以，也即【反思】函数图像变换的实质是“替换”，我们要清楚每一步的确切“替换”，在每一步变换前赋予一个新的抽象函数名称，准确找到变换过程中的“替换”，依此类推，一步变换赋予一个新抽象函数名称（即函数每到一个新地

17、方改名换姓以新面孔出现），这样每一步变换就尽在我们掌控之中3.2、利用函数性质画图像【例题】（10山东理11）函数的图像大致是【分析】思路一：直接研究函数设，则，（）显然二阶导函数是上单调递增函数，即二阶导函数在上有一零点，不妨设为（形式上虚设，运算上代换），有，即，知在时，即递减；知在时，即递增；且、，发现有且只有两个零点，不妨设为（形式上虚设，运算上代换），且、，知在时，即递增；在时，即递减；在时，即递增；且，即在只有一个零点，结合正负处极限值，知在只有一个零点，在只有一个零点，在上有且只有三个零点，一个在，一个为、一个为思路二：转化与化归研究函数转化与化归：研究方程的根，其中不是方程的根

18、，两边同时取对数后，也即，也即研究，即研究与的图像公共点个数，而是奇函数，只需要研究时图像，结合对称性画出另一侧图像：（）（大熟悉了，导数中基本型函数），知其先增后减，如图（复杂函数作趋势图像）：观察图像（心中有图胜千言万语），显然是三个交点函数的“难题”是由“原味”的初等函数“灵动”组合而成的，通过函数组合教学，实现解一题通一类【命题预期】函数（）恰有三个不同零点，求实数的取值范围【分析】转化与化归：研究方程的根，也即研究与图像三个公共点问题（此处对函数图像的准确性要求很高，几何直观难办到）按例题思路二的方法，分离变量，向熟悉函数转化：其中不是方程的根，两边同取对数，也即，也即研究，即研究与

19、的图像公共点个数，而是奇函数，只需要研究时图像，结合对称性画出另一侧图像：（）（大熟悉了，导数中基本型函数），知其先增后减，如例题中图（复杂函数作趋势图像）：得，即【反思】动态函数直接利用几何直观无法达到目的，转化为常数函数与静态函数，想到分离变量，两边同时取对数就并非“无源之水”，这就是数学思维碰撞！3.3、函数图像之穿针引线绘图如在近年高考试题中多次出现“乘积结构”类型的有难度的函数试题，从这些试题“乘积结构”的特征出发，巧用“穿针引线”绘函数图像，可快速解决 穿针引线绘图像微课程【例题1】（12浙江理17）设，若时，均有，则实数 _【分析】思路一、代数法解不等式分析设，当时，开口向上，知

20、，由条件时，均有，知当时，得知是的根，得（舍去）或思路二、图像法解不等式分析设，当时，开口向上，知，由条件时，均有，知当时，得由，知有两个一正一负零点，不妨设为，的零点为若，由“穿针引线”，画出的图像如图3，知在上（不合）；若，由“穿针引线”，画出的图像如图4，知在上（不合）；要满足题设条件，由穿针引线法（图5）知，只有，即 把代入，求得【命题预期】（13浙江理8）已知为自然对数的底数，设函数，则（ ）A当时，在处取得极小值 B当时，在处取得极大值C当时，在处取得极小值 D当时，在处取得极大值【反思】1、试题编制过程应该是将两个简单的函数与拼接在一起，两函数含有同一参数，且都过同一定点，画出两

21、函数图像，要使在恒成立，必须有且只有直线零点经过二次函数另一零点！根据试题源头分析，解决这个问题策略是将两函数重新拆开，根据图像直观分析2、在平面直角坐标中，利用穿针引线法可画出解析式为乘积式（已因式分解找到了零点）的函数的大体图像，仍同用“穿针引线”法解高次不等式类似，保证函数最高次幂系数为正，“ 遇奇直穿，遇偶折回”的原则，用直观的图像可突破代数的抽象，解题效率得到大大提高4.1、特殊函数之抽象函数【例题1】已知函数对任意的实数均有，且当时，则在上的值域为_.【分析】用变量替换，得，即（这还是个恒等式，用运动眼光看到是自变量成倍数关系时，应变量也是倍数关系，好象是个正比例函数，又这时很多同

22、学会以作原型函数）猜测，又，得，检验满足时，所以在上的值域为.【知识拓展】用变量替换，得，即设，即，得， 对任意，有，即所以，说明函数图像上任意两点的中点也在此两点连线上所以图像是直线，又取得，即直线还过原点所以得证.【例题2】设函数是实数集上的单调递增函数，若，且，求证：【分析】先判断函数的单调性：（抽象函数的单调性判定一般只能用单调性定义）设任意，且，（预设自变量大小关系，判断应变量大小关系是否一致）是实数集上的单调递增函数，（方向明确，判断应变量大小关系），即为实数上的单调递增函数；又（验证猜想是否成立）而，得，由，得，即，且为实数上的单调递增函数，得，即得证 【例题3】（14天津）已知

23、函数（）（）求函数的单调区间和极值；（递增；递减；极大值）（）若，且，求证：【分析】求导知：在递增，在递减；有极大值，画函数大致图像： 结合条件，知，要证明结论 ，逆用单调性 ，由条件变量化一 ，即证（注意定义变化）等价变形 ，构造函数，（发现函数零点）研究新构造函数：分析导函数知：在上有，正用函数单调性：在上有，原命题得证4.2、特殊函数之分段函数【例题1】（15湖南15）已知函数，若存在实数，使得有两个零点，则实数的取值范围是_【分析】图像直观发现分段函数性质：试题难点是分类界点的确定，由，得到界点为 （1）当 （2）当 （3）当显然只有在或时，函数不单调，有可能有两个零点【命题预期】已知

24、函数（）， 求最大值表达式【分析】由函数自变量定义区间有限定，可对参数进行分类讨论，依据是去绝对值符号：（1）当时，在上递增，则；（2）当时，在上递减，则；在上递增，则；继续比较与的大小，分界点为：（二级讨论）当时，；当时，；（3）当时，在上递减，则；综上所述：【反思】绝对值函数是高中数学重要内容，如果绝对值函数中带有参变量，那这类问题比较复杂其方法是先把绝对值函数先写成分段函数形式，通过研究分段函数的“整体”图像，找到分类讨论的“界点”（依据），画龙贵于点睛，分类讨论难于找界点4.3、特殊函数之复合函数【例题1】设函数，若，则实数的取值范围是_【分析】问题的内层与外层函数是同一个函数，其核心是要把转化为关于不等式，由已知函数的表达式思路一：借助