《抛物线》典型例题12例(含标准答案)

1、学习资料收集于网络，仅供参考抛物线典型例题12 例典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（ 1） x24 y（ 2） xay2 (a0)分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出 p，再写出焦点坐标和准线方程（ 2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求 p 及焦点坐标与准线方程解：（ 1）p2 ，焦点坐标是（ 0，1），准线方程是：y1（ ）原抛物线方程为： y21 x，2 p12aa当 a0 时， p1 ，抛物线开口向右，24a焦点坐标是 (1,0) ，准线方程是： x14a4a当 a0 时， p1 ，抛物线开口向左，24a焦点坐标是 (

2、 1,0) ，准线方程是： x14a4a综合上述，当 a0 时，抛物线 xay 2 的焦点坐标为 ( 1 ,0) ，准线方程是：4ax 1 4a典型例题二例 2 若直线 ykx2 与抛物线 y 28x 交于 A、B 两点，且 AB 中点的横坐标为2，求此直线方程分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出 k 的方程求解另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用 “作差法 ”求 k学习资料学习资料收集于网络，仅供参考解法一：设 (,y1)ykx2可得：2x2( 48)x4 0A x1、 B(x2 , y2 ) ，则由：28xkky直线与抛物线相交，k0 且0 ，则 k1 AB 中点横坐标为：

3、x1x24k8，2k 22解得： k2或 k1（舍去）故所求直线方程为： y 2x 2 解法二： 设 A(x,y) 、B( x , y) ，则有 y128x1y228x2 1122两式作差解： ( y1y2 )( y1y2 )8( x1x2 ) ，即 y1y2y18y2x1x2x1 x24 y1y2kx12 kx22 k( x1x2 ) 4 4k 4 ，8故 k2 或 k1 （舍去）k4k4则所求直线方程为：y2x2 典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切分析：可设抛物线方程为 y22px( p 0) 如图所示，只须证明ABMM1 ，2则以 AB 为直径的圆，必

4、与抛物线准线相切证明：作 AA1 l 于 A1, BB1l 于 B1 M 为 AB 中点，作MM 1l 于 M 1 ，则由抛物线的定义可知：AA1AF , BB1 BF在直角梯形 BB1 A1 A 中：MM 11( AA1BB1 )1(AFBF )1AB222MM 11AB ，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切2学习资料学习资料收集于网络，仅供参考说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交典型例题四例 4（1）设抛物线 y24 x 被直线 y2xk 截得的弦长为 3 5 ，求 k 值（ 2）以（1）中的弦为底边，以 x 轴上的点

5、P 为顶点作三角形，当三角形的面积为 9 时，求 P 点坐标分析：（1）题可利用弦长公式求 k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求 P 点坐标解：（ 1）由 y24x得：4x2(4k4)xk 20y2xk设直线与抛物线交于(,y)B( x , y )121k 2A x1 与2122两点则有： xx1 k, xx4AB(1 2 2 )( x1x2 ) 25 ( x1x2 ) 24x1x25 (1k ) 2k 25(1 2k)AB35,5(1 2k)3 5 ，即 k4（ 2）S9，底边长为 329655 ，三角形高 h553点 P 在 x 轴上，设 P 点坐标是 ( x0 ,0)则点P到直

6、线y 2x 4 的距离就等于，即2x00 46 5h22125x01 或 x05 ，即所求 P 点坐标是（ 1，0）或（ 5，0）典型例题五例 5 已知定直线 l 及定点 A（A 不在 l 上），n 为过 A 且垂直于 l 的直线，设 N 为 l 上任一点， AN 的垂直平分线交 n 于 B，点 B 关于 AN 的对称点为 P，求证 P 的轨迹为抛物线分析：要证 P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点， l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PAPN 且 PNl学习资料学习资料收集于

7、网络，仅供参考即可证明：如图所示，连结PA、PN、NB由已知条件可知： PB 垂直平分 NA，且 B 关于 AN 的对称点为 P AN 也垂直平分 PB则四边形 PABN 为菱形即有 PA PN AB l. PN l .则 P 点符合抛物线上点的条件： 到定点 A 的距离与到定直线的距离相等， 所以 P 点的轨迹为抛物线典型例题六例 6 若线段 P1P2 为抛物线 C : y22 px( p0) 的一条焦点弦， F 为 C 的焦点，求证：112 P1FP2 Fp分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的

8、定义与平面几何知识，把结论证明出来证法一：F (p ,0) ，若过F的直线即线段 P P所在21 2直线斜率不存在时，则有 P1F P2F p ,11112PFP Fppp12若线段 P1P2 所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为： y k( xp )(k 0) ，且2设 P (x, y ), P (x, y)111222p由 yk( x2 ) 得： k 2 x2p(k 22) xk2 p20yk( xp)42x1x2p( k22)k 2学习资料学习资料收集于网络，仅供参考p2x1 x24根据抛物线定义有：P1 Fx1px1pP1 P2x1x2p, P2F,22则 11P FP Fx1 x2

9、px1x2p122P1F P2 FP1F P2 Fppp ( x1p( x1x1 x2x2 )( x2)2224请将代入并化简得：112P1FP2 Fp证法二：如图所示，设 P、 P 、F 点在 C 的准线 l 上的射影分别是 P 、 P 、F，1212且不妨设P2 P2nm P1P1，又设 P2 点在FF 、P P上的射影分别是 A、B 点，1 1由抛物线定义知，P2 Fn, P1 Fm, FFp又PAFP BP，AFP2 F221BP1P2 P1即pnnmnmnp( mn)2mn112mnp故原命题成立典型例题七例 7设抛物线方程为 y22 px( p 0) ，过焦点 F 的弦 AB 的倾

10、斜角为，求证：焦点弦长为 AB2 psin2分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题证法一： 抛物线 y 22 px( p0) 的焦点为 ( p ,0) ，2学习资料学习资料收集于网络，仅供参考过焦点的弦 AB 所在的直线方程为： y tan(xp)2由方程组ytan( xp )2消去 y 得：y22 px4x 2 tan24 p(tan2)p2 tan 20x1x2p(tan22)p(1 2 cot 2 )设 A( x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，则tan2p2x1x24又 y1 y2tan( x1x2 )AB(1tan2)( x1x2 ) 2(1tan2

11、) ( x1x2 ) 24x1x2(12) p2(1cot2)4p2tan4sec24 p2 cot 2(1cot2)2 14 psin 42 p sin22 p 即 AB sin2证法二： 如图所示，分别作AA1 、 BB1 垂直于准线 l 由抛物线定义有：AFAA1AFcospBFBB1pBFcos于是可得出：ppAFBF1 cos1 cos学习资料学习资料收集于网络，仅供参考ABAFBFpp1cos1cos2 p1 cos22 p sin 2故原命题成立典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点 P(3,2 3) ，它的一个焦点为 F（1，0），对应于该焦点的准线为 x 1 ，过焦点

12、F 任意作曲线 C 的弦 AB，若弦 AB 的长度不超过 8，且直线 AB 与椭圆 3x2 2y2 2 相交于不同的两点，求（ 1） AB 的倾斜角 的取值范围（ 2）设直线 AB 与椭圆相交于 C、D 两点，求 CD 中点 M 的轨迹方程分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线， AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为 k，弦 AB 与椭圆相交于不同的两点， 可求出 k 的取值范围，从而可得的取值范围，求 CD 中点 M 的轨迹方程时，可设出 M 的坐标，利用韦达定理化简即可解：（ 1）由已知得 PF 4 故 P 到 x1的距离 d4，从而 PF d曲线 C 是抛物线，其方程为 y 24x

13、 设直线 AB 的斜率为 k，若 k 不存在，则直线 AB 与3x22 y 22 无交点 k 存在设 AB 的方程为 yk(x1)由 y24x可得： ky24y4k0yk( x1)设 A、B 坐标分别为 (x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，则： y1 y24y1 y24k学习资料学习资料收集于网络，仅供参考AB(11y2 )2k2 )( y11 k 2( y1y2 ) 24 y1 y2k4(1k2 )k2弦AB的长度不超过，4(1k 2 )8即 k218k 2由 yk ( x 1)得： (2k23)x242x2(k21) 03x22 y 22k AB 与椭圆相交于不同的两点，k

14、 23由 k 21和 k 23 可得： 1 k3 或3k1故 1tan3或3tan1又 0，所求的取值范围是：4或 23334（ 2）设 CD 中点 M ( x, y) 、 C ( x3 , y3 ) 、 D ( x4 , y4 )由 y k ( x 1)得： (2k23)x242x2(k21) 03x22 y 22kx34k22(kx42, x3x12k32kxx3 x42k 222k 23221)3x13232k1k 2352k 239则 21132 即 2x2 52k 2353学习资料学习资料收集于网络，仅供参考ykx 12k 22y2x( x 1)22k 23y223( x1) 2化简

15、得：322y23x0x所求轨迹方程为：3x 22 y23x0( 2x2)53典型例题九例 9定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y2x 上移动，求 AB 的中点到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标分析：线段 AB 中点到 y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值这是中点坐标问题，因此只要研究 A 、 B 两点的横坐标之和取什么最小值即可解：如图，设 F 是 y2x 的焦点， A 、 B 两点到准线的垂线分别是AC 、 BD ，又 M 到准线的垂线为 MN ， C 、 D 和 N 是垂足，则MN1( ACBD )1(AF BF)1AB3 2222设 M 点的横坐

16、标为 x ，纵坐标为 y ， MNx1 ，则 x315 4244等式成立的条件是 AB 过点 F 当 x5 时， y1 y2P21 ，故44( y1y2 ) 2y1y22 y1 y22x 12 ，222学习资料学习资料收集于网络，仅供参考y1 y22 ， y2 2所以 M(5,2 ) ，此时 M 到 y 轴的距离的最小值为 5424说明：本题从分析图形性质出发， 把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简典型例题十例 10过抛物线 y2 px 的焦点 F 作倾斜角为的直线，交抛物线于 A 、B 两点，求 AB 的最小值分析：本题可分2和两种情况讨论当时，先写出 AB 的表达式，22再求范围解：

17、(1)若2，此时 AB2 p (2)若，因有两交点，所以02AB： ytan( xp) ，即 xyp 2tan2代入抛物线方程，有 y2 2 py p 20 tan故 ( y2 y1 )24 p24 p24 p2 csc2，tan 2( x2 x1 ) 2( y2y1 )24 p 2 csc2tan2tan2故222124AB4 p csc (1tan2)4 pcsc 所以AB2p2p 因，所以这里不能取 “ ”sin 22=综合 (1)(2)，当时， AB最小值 2 p 2学习资料学习资料收集于网络，仅供参考说明：(1)此题须对分和两种情况进行讨论；222p(2)从解题过程可知，抛物线点弦长

18、公式为lsin 2；(3)当时， AB 叫做抛物线的通径通径是最短的焦点弦2典型例题十一例 11过抛物线 y22 px ( p0) 的焦点 F 作弦 AB ， l 为准线，过 A 、 B 作 l 的垂线，垂足分别为A'、 B' ，则A'FB' 为（），AF 'B 为（）A大于等于 90B小于等于 90C等于 90D 不确定分析：本题考查抛物线的定义、 直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切解： 点 A 在抛物线上，由抛物线定义，则AA'AF12 ，又 AA'/ x 轴13 23，同理 46 ，而2364180，3690，学习资料学习资料收集于网络，仅供参考 A'FB' 90 选 C过 AB中点 M 作MM'l ，垂中为 M ' ，则MM' 1(AA'BB' )1(AF BF)1AB222以 AB 为直径的圆与直线l相切，切点为 M ' 又 F ' 在圆的外部，AF'B90 特别地，当 ABx 轴时， M '