第四章复杂电力系统潮流分布的计算机算法(李庚银新教材)

1、补充补充 等值变压器模型等值变压器模型（变压器（变压器型等值电路）型等值电路）为什么使用等值变压器模型？为什么使用等值变压器模型？v在电力系统正常运行状态计算中，往往需要在电力系统正常运行状态计算中，往往需要改变某些变压器分接头的位置，调整有关母改变某些变压器分接头的位置，调整有关母线的电压，变压器分接头改变时，有关电压线的电压，变压器分接头改变时，有关电压级电力网中电压、电流和阻抗等的有名值或级电力网中电压、电流和阻抗等的有名值或标么值都要重新计算，对于大规模的电力网标么值都要重新计算，对于大规模的电力网，这需要很大的计算工作量，这需要很大的计算工作量.v而用等值变压器模型则不需要进行电压归

2、算而用等值变压器模型则不需要进行电压归算.无论有名值无论有名值,还是标幺值都适用，因为模型中还是标幺值都适用，因为模型中有变压器的变比有变压器的变比.环形网络环形网络1.等值变压器模型等值变压器模型1221212121221221102220/,/11111TTTTTTTTTTTUkUI ZIIkUUIZ kZ kUUIZ kZYyyZ kkkkyYZ kkkkyYZ kk根据双端口原理：IZIIZ:1kTZ1U2U1I2I/TYkIZIIZ2(1)TkYk(1)TkYky12y10y20等值变压器特点等值变压器特点v变压器的变压器的型等值电路中，三个支路的参型等值电路中，三个支路的参数均与变

3、压器变比数均与变压器变比K有关；有关；v 变压器的变压器的型等值电路中，两条接地支路型等值电路中，两条接地支路参数的符号相反，而且三条支路的参数之和参数的符号相反，而且三条支路的参数之和为零；为零；v 变压器的变压器的型等值电路中，各支路没有任型等值电路中，各支路没有任何物理意义；何物理意义；如何求等值变压器模型如何求等值变压器模型?IZ IIZ 1: kTZ1U2U1I2IIZIIZ1:kTZ1U2U1I2IIZIIZ:1kTZ1U2U1I2I两个变压器模型的对比两个变压器模型的对比型等值电路型等值电路 型等值电路型等值电路每个支路参数物理意义每个支路参数物理意义有有无无体现电压变换体现电压

4、变换不能不能能能要进行参数变比的归算要进行参数变比的归算吗？吗？ 要要不要不要适用于适用于手算手算计算机计算计算机计算第四章第四章 复杂电力系统潮流的计算复杂电力系统潮流的计算机算法机算法内容简介内容简介v潮流计算的数学模型潮流计算的数学模型v高斯高斯-赛德尔潮流计算赛德尔潮流计算v牛顿牛顿-拉夫逊潮流计算拉夫逊潮流计算vP-Q分解法潮流计算分解法潮流计算问题的提出问题的提出v如何计算：有如何计算：有57个节点，个节点，8台发电机的台发电机的电力电力系统系统潮流？（手算？）潮流？（手算？）v如何用计算机计算？如何用计算机计算？仍然用手算潮流的方法，把仍然用手算潮流的方法，把计算机计算机当当计算

5、器计算器用？用？辐射形网还可以，而环网则太复杂辐射形网还可以，而环网则太复杂寻找新的方法寻找新的方法潮流计算机算法潮流计算机算法潮流计算机算法的思路潮流计算机算法的思路v请计算机计算，就应该让计算机记住电网，请计算机计算，就应该让计算机记住电网，将电网的将电网的结构信息结构信息和和运行信息运行信息储存在计算机储存在计算机里。（也就是潮流计算的已知条件）里。（也就是潮流计算的已知条件）v根据已知条件根据已知条件列方程组列方程组，让计算机，让计算机解方程组解方程组v列方程组的方法不同，以及对方程组不同的列方程组的方法不同，以及对方程组不同的简化，就产生了不同的潮流计算机算法简化，就产生了不同的潮流

6、计算机算法v我们重点学习我们重点学习牛顿牛顿-拉夫逊和拉夫逊和PQ分解分解潮流计潮流计算方法算方法电网的结构信息有哪些呢？电网的结构信息有哪些呢？v（1）节点之间的）节点之间的连接连接用网络的用网络的拓扑结构拓扑结构表示表示v（2）元件）元件元件用元件用阻抗、导纳、变比等表示阻抗、导纳、变比等表示v电力网络结构信息用电力网络结构信息用电力网络方程电力网络方程来表示来表示电网的运行信息有哪些呢？电网的运行信息有哪些呢？v已知某些节点的电压，另一些节点的有功、已知某些节点的电压，另一些节点的有功、无功；无功；v节点电压运行的上下限；节点电压运行的上下限；v发电机的有功、无功的上下限；发电机的有功、

7、无功的上下限；v无功电源所发无功的上下限；无功电源所发无功的上下限；v允许变压器、线路流过潮流的最大值；允许变压器、线路流过潮流的最大值；三个主要内容三个主要内容v（1）电网结构信息）电网结构信息 电力网络方程电力网络方程v（2）电网运行信息）电网运行信息 节点类型及约束节点类型及约束v 牛顿拉夫逊法牛顿拉夫逊法v（3）潮流计算方程）潮流计算方程v PQ分解法分解法电力网络方程电力网络方程v电力网络：电力网络：元件元件及其及其连接连接v物理模型转物理模型转化为化为数学模型数学模型等值电路（物理模型）等值电路（物理模型）变压器和线路用变压器和线路用型型等值电路等值电路发电机（发电机（+）和负荷（

8、）和负荷（-）用）用节点注入功率节点注入功率来表示来表示大地大地为为参考点参考点三节点系统的等值电路三节点系统的等值电路电力网络方程电力网络方程v一、节点电压方程一、节点电压方程（1）节点导纳矩阵）节点导纳矩阵（2）节点阻抗矩阵）节点阻抗矩阵v二、回路电流方程二、回路电流方程（1）回路导纳矩阵）回路导纳矩阵（2）回路阻抗矩阵）回路阻抗矩阵333232131332322212123132121111UYUYUYIUYUYUYIUYUYUYI131323233033233212122022133112211011)()()()()()(yUUyUUyUIyUUyUUyUIyUUyUUyUIKCL定

9、律根据321333231232221131211321UUUYYYYYYYYYIIIv已知量为节点注入电流，待求量为节点电压已知量为节点注入电流，待求量为节点电压节点电压方程节点电压方程BBBUYI 1111121212222212nnnnnnnnIUYYYYYYIUYYYIUBIBUn n：节点注入电流列向量，规定注入为正。（各节点电源电流与负荷电流之和）：节点注入电流列向量，规定注入为正。（各节点电源电流与负荷电流之和） ：节点电压列向量节点电压列向量 YB：节点导纳矩阵节点导纳矩阵节点电压方程节点电压方程1111121212222212nnnnnnnnIUYYYYYYIUYYYIU独立方

10、程的个数等于节点数，不包含参考节点独立方程的个数等于节点数，不包含参考节点BBB1UIZ,则定义节点阻抗矩阵BBYZ电网结构信息隐含在节点导纳（阻抗）矩阵电网结构信息隐含在节点导纳（阻抗）矩阵节点导纳（阻抗）矩阵反映节点电压与电流之间的关系节点导纳（阻抗）矩阵反映节点电压与电流之间的关系131323233033233212122022133112211011)()()()()()(yUUyUUyUIyUUyUUyUIyUUyUUyUIKCL定律根据333232131332322212123132121111UYUYUYIUYUYUYIUYUYUYI23133033233213312323231

11、2202212211313121213121011yyyYyYyYyYyyyYyYyYyYyyyY由上两式得到：表示电网中支路的参数小写的表示导纳矩阵中的元素大写的ijijyY,231330332332133123232312202212211313121213121011yyyYyYyYyYyyyYyYyYyYyyyY间支路导纳的负值数值上等于两个节点之等角元，如互导纳：导纳矩阵非对连的所有支路导纳之和数值上等于与该节点相元，自导纳：导纳矩阵对角312312332211,YYYYYY导纳矩阵元素的物理意义导纳矩阵元素的物理意义322212333231232221131211321333231

12、232221131211321010YYYYYYYYYYYYUUUYYYYYYYYYIII注入网络的电流就是经节点注入网络的电流就是经节点点全部接地时，施加单位电压，其他节在节点jYiYiijii导纳矩阵的修改导纳矩阵的修改v从原有网络中引出一支路、从原有网络中引出一支路、增加一节点增加一节点 ijijjjzyY1ijijiizyY1ijijjiijzyYY1在原有节点在原有节点i，j之间增加一条支路之间增加一条支路 ijijjiijijijjjiizyYYzyYY11在原有节点在原有节点i，j之间切除一条支路之间切除一条支路 ijijjiijijijjjiizyYYzyYY11原有节点原有节

13、点i，j之间支路阻抗由之间支路阻抗由zij变为变为zij ijijijijjiijijijijijjjiizzyyYYzzyyYY1111原有节点原有节点i，j之间变压器的变比由之间变压器的变比由K*变为变为K* 原有节点原有节点i，j之间变压器的变比由之间变压器的变比由K*变为变为K* TiijjTjiijyKKYYyKKYY2211011*功率方程及其迭代求解功率方程及其迭代求解BBBIY U*()BBBBSY UU电路原理、节点电压方程：电路原理、节点电压方程：电力系统计算中，用功率计算：电力系统计算中，用功率计算：*11()nniiiijjiijjjjPjQUY UUY Uv节点注入功

14、率：发电机功率减去负荷功率。节点注入功率：发电机功率减去负荷功率。v正方向的规定：以流入节点为正，流出节点为负正方向的规定：以流入节点为正，流出节点为负v如果节点没有电源，则如果节点没有电源，则v如果节点没有负荷，则如果节点没有负荷，则v如果节点上没有电源，也没有负荷，则如果节点上没有电源，也没有负荷，则v节点注入功率与节点注入电流的关系：节点注入功率与节点注入电流的关系：111GLSSS222GLSSS10GS1111GLLSSSS 10LS1111GLGSSSS10S 111SIUv功率正方向的规定：功率正方向的规定：计算机计算潮流：以流入节点为正，流出节点为负计算机计算潮流：以流入节点为

15、正，流出节点为负环网手算潮流：以流出节点为正，流入节点为负环网手算潮流：以流出节点为正，流入节点为负v一个节点上有四个变量：一个节点上有四个变量：节点注入的有功功率、无功功率节点注入的有功功率、无功功率节点电压的大小、角度节点电压的大小、角度或者节点电压的实部、虚部或者节点电压的实部、虚部111SPjQ11UU111Uejf变量的分类变量的分类v每个节点上有六个变量每个节点上有六个变量,从控制理论角度分类如从控制理论角度分类如下：下：v控制变量：控制变量：v扰动变量扰动变量:v状态变量状态变量:2211,GGGGQPQP2211,LLLLQPQP2121,UU对变量的约束对变量的约束v为保证发

16、电机的安全稳定运行，发电机的为保证发电机的安全稳定运行，发电机的功率应在允许的范围内，即功率应在允许的范围内，即v PGiminPGiPGimax; v QGiminQGiQGimax (i=1,2,n) v当节点当节点i无发电机时，无发电机时，PGi=0，QGi=0。对变量的约束对变量的约束v 为保证合格的电压质量，母线或节点电压为保证合格的电压质量，母线或节点电压应在允许的范围内，即应在允许的范围内，即v UiminUiUimaxv为保证电力系统的稳定性，某些母线或节为保证电力系统的稳定性，某些母线或节点间的电压相位差应在允许的范围内，即点间的电压相位差应在允许的范围内，即v |i-j|i

17、-j|max 节点的分类节点的分类v根据节点上变量的已知条件和未知条件分类根据节点上变量的已知条件和未知条件分类v分三类分三类PQ节点节点PV节点节点平衡节点平衡节点第一类：第一类：PQ节点。节点。v对于这类节点，给定节点的是等值负荷功率对于这类节点，给定节点的是等值负荷功率PLi，QLi和等值电源功率和等值电源功率PGi，QGi，待求的是，待求的是母线或节点电压的幅值母线或节点电压的幅值Ui和相位角和相位角i（或电（或电压的实部和虚部）。压的实部和虚部）。v通常可以将给定有功、无功功率发电的发电通常可以将给定有功、无功功率发电的发电厂母线和没有电源的变电所母线看作厂母线和没有电源的变电所母线

18、看作PQ节点。节点。 第二类：第二类：PV节点。节点。v对于这类节点，给定节点的是等值负荷功率对于这类节点，给定节点的是等值负荷功率PLi，QLi和等值电源有功功率和等值电源有功功率PGi 及母线或节及母线或节点电压的幅值点电压的幅值Ui，待求的是等值电源无功功，待求的是等值电源无功功率率QGi和节点电压相位角和节点电压相位角i。 （或电压的实部（或电压的实部和虚部）。和虚部）。v通常可以将有一定无功储备的发电厂母线和通常可以将有一定无功储备的发电厂母线和有一定无功电源的变电所母线看作有一定无功电源的变电所母线看作PV节点。节点。第三类：平衡节点第三类：平衡节点v进行潮流计算时通常只设一个平衡

19、节点，假进行潮流计算时通常只设一个平衡节点，假设平衡节点的编号为设平衡节点的编号为s。对于平衡节点，给定。对于平衡节点，给定节点的是等值负荷功率节点的是等值负荷功率PLs，QLs和节点电压和节点电压的幅值的幅值Us和相位角和相位角s。待求的是等值电源功。待求的是等值电源功率率PGs，QGs。v通常可以将担负系统调频任务的发电厂母线通常可以将担负系统调频任务的发电厂母线看作平衡节点。看作平衡节点。 v进行潮流计算时，平衡节点必不可少，是计进行潮流计算时，平衡节点必不可少，是计算的需要，一般仅设一个，也叫松弛节点；算的需要，一般仅设一个，也叫松弛节点；vPQ节点是大量的；节点是大量的；vPV节点较

20、少，有时可以没有节点较少，有时可以没有PV节点，节点， PV 节节点是系统实际情况的需要。点是系统实际情况的需要。计算机潮流计算的发展史计算机潮流计算的发展史v从从20世纪世纪50年代中期开始用计算机进行电力年代中期开始用计算机进行电力系统潮流计算。对潮流计算的要求归结为：系统潮流计算。对潮流计算的要求归结为：v（1）计算机方法的可靠性或收敛性）计算机方法的可靠性或收敛性v（2）计算机速度和内存量的要求）计算机速度和内存量的要求v（3）计算的方便性和灵活性）计算的方便性和灵活性v电力系统潮流计算问题在数学上是电力系统潮流计算问题在数学上是一组多元非线性一组多元非线性方程式方程式的求解问题。其解

21、法离不开的求解问题。其解法离不开迭代迭代。一、一、1965年以年以节点导纳矩阵节点导纳矩阵为基础的高斯为基础的高斯-塞德尔迭代法塞德尔迭代法二、二、1960年以年以节点阻抗矩阵节点阻抗矩阵为基础的高斯为基础的高斯-塞德尔迭代法塞德尔迭代法三、三、60年代出现牛顿法，年代出现牛顿法，60年代中后期引入稀疏技术年代中后期引入稀疏技术四、四、1974年出现年出现P-Q分解法分解法五、其他的方法五、其他的方法计算机潮流计算的发展史计算机潮流计算的发展史以节点导纳矩阵为基础的高斯以节点导纳矩阵为基础的高斯-塞德尔塞德尔迭代法（迭代法（ Gauss-Seidel ）v这个方法的原理比较简单，要求的数字计算

22、这个方法的原理比较简单，要求的数字计算机的机的内存量也比较小内存量也比较小，适应当时的电子数字，适应当时的电子数字计算机制造水平和电力系统理论水平计算机制造水平和电力系统理论水平 ，但，但收收敛性差敛性差，当系统规模变大时，迭代次数急剧，当系统规模变大时，迭代次数急剧上升，往往出现迭代不收敛的情况。人们转上升，往往出现迭代不收敛的情况。人们转向以阻抗矩阵为基础的迭代法。向以阻抗矩阵为基础的迭代法。以节点阻抗矩阵为基础的以节点阻抗矩阵为基础的Gauss-Seidel迭代法迭代法v20世纪世纪60年代初，数字计算机已经发展到第年代初，数字计算机已经发展到第二代，计算机的内存和计算速度发生了很大二代

23、，计算机的内存和计算速度发生了很大的飞跃，从而为阻抗法的采用创造了条件。的飞跃，从而为阻抗法的采用创造了条件。阻抗矩阵是满矩阵。这就需要较大的内存量。阻抗矩阵是满矩阵。这就需要较大的内存量。而且阻抗法每迭代一次都要求顺次取阻抗矩而且阻抗法每迭代一次都要求顺次取阻抗矩阵中的每一个元素进行计算，因此，每次迭阵中的每一个元素进行计算，因此，每次迭代的计算量很大代的计算量很大 。以节点阻抗矩阵为基础的以节点阻抗矩阵为基础的Gauss-Seidel迭代法迭代法v阻抗法阻抗法改善改善了电力系统潮流计算导纳法的了电力系统潮流计算导纳法的收收敛性敛性问题，在当时获得了广泛的应用，曾为问题，在当时获得了广泛的应

24、用，曾为我国电力系统设计、运行和研究作出了很大我国电力系统设计、运行和研究作出了很大的贡献。但是，阻抗法的主要缺点就是占用的贡献。但是，阻抗法的主要缺点就是占用计算机的计算机的内存很大内存很大，每次迭代的，每次迭代的计算量很大计算量很大。当系统不断扩大时，这些缺点就更加突出。当系统不断扩大时，这些缺点就更加突出。 克服阻抗法的缺点克服阻抗法的缺点v为了克服阻抗法在内存和速度方面的缺点，为了克服阻抗法在内存和速度方面的缺点，后来发展了以阻抗矩阵为基础的后来发展了以阻抗矩阵为基础的分块阻抗法分块阻抗法。这个方法把一个大系统分割为几个小的地区这个方法把一个大系统分割为几个小的地区系统，在计算机内只需

25、存储各个地区系统的系统，在计算机内只需存储各个地区系统的阻抗矩阵及它们之间的联络线的阻抗，这样阻抗矩阵及它们之间的联络线的阻抗，这样不仅大幅度的节省了内存容量，同时也提高不仅大幅度的节省了内存容量，同时也提高了计算速度。了计算速度。牛顿牛顿-拉夫逊法（拉夫逊法（N-R）v克服阻抗法缺点的另一途径是采用牛顿克服阻抗法缺点的另一途径是采用牛顿-拉夫逊法拉夫逊法（以下简称牛顿法）。（以下简称牛顿法）。v牛顿法是数学中求解非线性方程式的典型方法，牛顿法是数学中求解非线性方程式的典型方法，有有较好的收敛性较好的收敛性。解决电力系统潮流计算问题是以。解决电力系统潮流计算问题是以导导纳矩阵纳矩阵为基础的，因

26、此，只要在迭代过程中尽可能为基础的，因此，只要在迭代过程中尽可能保持方程式系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛保持方程式系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿潮流程序的计算效率，牛顿法在收敛性、内存要顿潮流程序的计算效率，牛顿法在收敛性、内存要求、计算速度方面都超过了阻抗法，成为直到目前求、计算速度方面都超过了阻抗法，成为直到目前仍被广泛采用的方法。仍被广泛采用的方法。 P-Q分解法分解法v在牛顿法的基础上，根据电力系统的特点，在牛顿法的基础上，根据电力系统的特点，抓住主要矛盾，对纯数学的牛顿法进行了改抓住主要矛盾，对纯数学的牛顿法进行了改造，得到了造，得到了P-Q分解法。分解法。P-Q分解法在计

27、算速分解法在计算速度方面有显著的提高，迅速得到了推广。度方面有显著的提高，迅速得到了推广。v牛顿法的特点是将非线性方程线性化。牛顿法的特点是将非线性方程线性化。20世世纪纪70年代后期，有人提出采用更精确的模型，年代后期，有人提出采用更精确的模型，即将即将泰勒级数的高阶项泰勒级数的高阶项也包括进来，希望以也包括进来，希望以此提高算法的性能，这便产生了保留非线性此提高算法的性能，这便产生了保留非线性的潮流算法。另外，为了解决病态潮流计算，的潮流算法。另外，为了解决病态潮流计算，出现了将潮流计算表示为一个无约束非线性出现了将潮流计算表示为一个无约束非线性规划问题的模型，即非线性规划潮流算法。规划问

28、题的模型，即非线性规划潮流算法。其他方法其他方法v近近20多年来，潮流算法的研究仍然非常活跃，多年来，潮流算法的研究仍然非常活跃，但是大多数研究都是围绕改进牛顿法和但是大多数研究都是围绕改进牛顿法和P-Q分解法进行的。此外，随着人工智能理论的分解法进行的。此外，随着人工智能理论的发展，遗传算法、人工神经网络、模糊算法发展，遗传算法、人工神经网络、模糊算法也逐渐被引入潮流计算。但是，也逐渐被引入潮流计算。但是，到目前为止到目前为止这些新的模型和算法还不能取代牛顿法和这些新的模型和算法还不能取代牛顿法和P-Q分解法的地位。分解法的地位。其他方法其他方法v4.2高斯高斯-塞德尔法潮流计算塞德尔法潮流

29、计算解线性方程组的方法解线性方程组的方法v直接法直接法: 经过有限次运算后可求得方程组经过有限次运算后可求得方程组精确精确解解的方法。的方法。v迭代法：从一个迭代法：从一个初始近似值初始近似值出发出发,重复某种计重复某种计算过程来不断改进近似解，构造一个无穷序算过程来不断改进近似解，构造一个无穷序列去逼近精确解，经过有限次改进后列去逼近精确解，经过有限次改进后,计算出计算出一个满足误差要求的一个满足误差要求的近似解近似解。 解线性方程组的方法解线性方程组的方法v直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方直接法比较适用于中小型方程组。对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中程组，既使系数矩阵是

30、稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。杂等不足。v迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。333323213123232221211313212111yxaxaxayxaxaxayxaxaxa)(1)(1)(1232131333332312122223132121111xaxayaxxaxayaxxaxayax)(1)(1)(1)1(232)1

31、(131333)1(3)(323)1(121222)1(2)(313)(212111)1(1kkkkkkkkkxaxayaxxaxayaxxaxayax用迭代法解方程组，用迭代法解方程组，要要设设未知数的未知数的初值初值，给定计算给定计算收敛判据收敛判据。新值新值新值Gauss-Seidel法法高斯-赛德尔图解法yx该算法的优点是简单，但收敛速度慢，阶梯式逼近时台阶的高该算法的优点是简单，但收敛速度慢，阶梯式逼近时台阶的高度越来越小，以至于迭代次数过多度越来越小，以至于迭代次数过多123123123(0)1027210283542(0 ,0,0) , TxxxGaussSeidelxxxxxx

32、x例：用迭代法求解解：取代入迭代式，得1(0)(0)1231(1)(0)2131(1)(1)312(5)11 (272)727.2000101011 (283)(7.200083)9.0200101011 (42)7.20009.020042)11.644055(10.9989,11.9993,12.9996)(11,12,1xxxxxxxxxxx（ ）（ ）（ ）（如此继续下去，精确解为3) .T Gauss-Seidel潮流计算方法潮流计算方法v有导纳法和阻抗法有导纳法和阻抗法v导纳法，因为导纳矩阵是稀疏的，占用内存导纳法，因为导纳矩阵是稀疏的，占用内存小，计算机速度快，但收敛性差；小，计

33、算机速度快，但收敛性差；v阻抗法，因为导阻抗阵是满阵的，占用内存阻抗法，因为导阻抗阵是满阵的，占用内存大，计算机速度慢，但收敛性好；大，计算机速度慢，但收敛性好；Gauss-Seidel 用于求解功率方程用于求解功率方程njijjkjijkiiiiikiUYUjQPYU111)()(*)(),.,3 , 2(ni )()()()(*)(nijkjijijkjijikiiiiikiUYUYUYUjQPYU11211111n由于平衡节点电压已知，不需迭代；由于平衡节点电压已知，不需迭代；n对于第对于第2到第到第i-1号节点，第号节点，第k+1次迭代值已知，比次迭代值已知，比k次次的迭代值更为准确，

34、因此迭代公式改进为：的迭代值更为准确，因此迭代公式改进为： ),.,3 , 2(ni *()BBBBSY UUnjijjjijiiinjjjijiiiUYUYUYUjQP11Gauss-Seidel功率方程迭代格式功率方程迭代格式(1)()()()2222112332442()222(1)(1)()()3333113223443()333(1)(1)(1112233()111KKKKnnKKKKKnnKKKKnnnnnnKnnnjjYjPQUY UY UY UY UYUPQUY UUY UYYUPQUY UY UY UYUU)(1)11KnnnYUGauss-Seidel法法PV节点的处理节点

35、的处理v因为因为PV节点节点P的电压幅值的电压幅值UP已给定，因此在已给定，因此在计算节点电压迭代值时，节点计算节点电压迭代值时，节点P的电压幅值的电压幅值均取已给定均取已给定UP，而在第，而在第K次迭代求得节点次迭代求得节点P的的电压电压UP(K) 以后，进行下一个节点电压迭代之以后，进行下一个节点电压迭代之前，首先将求得的节点前，首先将求得的节点P的电压的电压UP(K) 置换成置换成已给定已给定UP，并调整节点注入的无功功率。，并调整节点注入的无功功率。111111jnjjjSUYUPQ00jjijijiiiijijijiijjijijjjjijijijjiSU IUU yUUyPQSU

36、IUU yUUyPQ平衡节点的功率平衡节点的功率支路功率支路功率jjiijjiijijSSSPQ 网损网损00jjijijiiiijijijiijjijijjjjijijijjiSU IUU yUUyPQSU IUU yUUyPQv求得所有求得所有PQ节点的电压大小及相位角。节点的电压大小及相位角。v求得所有求得所有PV节点的无功功率和电压相位角。节点的无功功率和电压相位角。v求得平衡节点的有功和无功功率。求得平衡节点的有功和无功功率。v求得各支路上的流通功率和功率损耗。求得各支路上的流通功率和功率损耗。PV节点向节点向PQ节点的转化节点的转化v如果节点无功注入功率越限，进行如果节点无功注入功

37、率越限，进行PV节点向节点向PQ节点的转化。节点的转化。v节点类型转化时，需注意节点类型转化时，需注意NL法的修正方程的法的修正方程的形式要发生变化：形式要发生变化：对于直角坐标形式，需要增加一个对应于该节点对于直角坐标形式，需要增加一个对应于该节点的无功功率不平衡量的表达式，同时减少一个对的无功功率不平衡量的表达式，同时减少一个对应该节点的电压偏差的关系式；应该节点的电压偏差的关系式；对于极坐标形式，只需增加一个对应于该节点的对于极坐标形式，只需增加一个对应于该节点的无功功率不平衡量的表达式。无功功率不平衡量的表达式。v4.3牛顿牛顿-拉夫逊法潮流计算拉夫逊法潮流计算非线性方程的非线性方程的

38、Newton迭代法迭代法f(x)=0是非线性方程，是非线性方程，将将f(x)在初值在初值x0处作处作Taylor展开展开200000)(! 2)( )( )()(xxxfxxxfxfxf取线性部分作为取线性部分作为f(x)的近似，有：的近似，有：0)( )(000 xxxfxf若0)( 0 xf，则有)( )(000 xfxfxx记为1x类似，我们可以得到)( )(1112xfxfxxxyx*x0略去高次项这样一直下去，我们可以得到迭代序列这样一直下去，我们可以得到迭代序列)( )(1kkkkxfxfxxNewton迭代的等价方程为：迭代的等价方程为：)( )()(0)(xfxfxxxxf所以

39、2)( )( )()( )()( xfxfxfxfxfxx若若f(x)在在a处为单根，则处为单根，则0)( , 0)( , 0)(aafaf所以，迭代格式收敛所以，迭代格式收敛收敛速度收敛速度)( 2)()( )()()(21nnnnnaxaaxaxax)( 2)()( 2)(22aaxaxnnn函数在a处作Taylor展开若若a为为p重根，取迭代格式为：重根，取迭代格式为：)( )(1kkkkxfxfpxx即即Meenn21Newton具有平方收敛特性，迭代收具有平方收敛特性，迭代收敛速度快，格式简单，应用广泛敛速度快，格式简单，应用广泛 例例 用用NewtonNewton迭代法求方程迭代法

40、求方程xexex x-1=0-1=0在在0.50.5附近的根附近的根, ,精度要求精度要求 =10=10-5-5. . 解解 NewtonNewton迭代格式为迭代格式为, 2 , 1 , 0,111kxexxexeexxxkxkkxkxxkkkkkkkkxk(xk)|xk-xk-1|012340.50.571020440.567155570.567143290.56714329-0.175639360.010747510.000033930.00000000030.00000000030.071020440.003864870.000012280.00000000Newtons Method

41、 收敛性依赖于收敛性依赖于x0 的选取。的选取。x*x0 x0 x0 非线性非线性方程组方程组的的Newton迭代法迭代法v一个非线性方程组一个非线性方程组nnnnnyyyxxxfxxxfxxxf,2122121211近似解（初值）：近似解（初值）：x1（0）、x2（0）、xn（0），则，则真值与近似解之差为：真值与近似解之差为：*(0)111*(0)222*(0);nnnxxxxxxxxx。 (0)(0)(0)111221(0)(0)(0)211222(0)(0)(0)1122(,)(,)(,)nnnnnnnnf xx xxxxyfxx xxxxyfxx xxxxy1n0n120211011

42、) 0(n) 0(2) 0(11n) 0(n2(0)21(0)11yxxfxxfxxf)x,x,x(f)xx,xx,xx(fnn0nn202n101n) 0(n) 0(2) 0(1nn) 0(n2(0)21(0)1nyxxfxxfxxf)x,x,x (f)xx,xx,xx (f在初值处按泰勒级数展开，并略去高阶项，得到：在初值处按泰勒级数展开，并略去高阶项，得到：2n0n220221012) 0 (n) 0 (2) 0 (12n) 0 (n2(0)21(0)12yxxfxxfxxf)x ,x ,x (f)xx ,xx ,xx (f牛顿牛顿-拉夫逊法修正方程式拉夫逊法修正方程式11100012(

43、0)(0)(0)11112222(0)(0)(0)0002221212(0)(0)(0)1200012|(,)|(,)(,)|nnnnnnnnnnnnfffxxxxyf xxxfffxyfxxxxxxxyfxxxfffxxxJ xf 记做记做不平衡量雅可比矩阵雅可比矩阵牛顿牛顿-拉夫逊法计算过程拉夫逊法计算过程v（1）设初值；）设初值；v（2）将初值带入上述修正方程式，可以得到）将初值带入上述修正方程式，可以得到第第K+1次迭代后的偏差量次迭代后的偏差量xi(K)，进而得到第，进而得到第K+1次迭代后次迭代后xi的新值为的新值为xi(K+1)=xi(K)+xi(K)（i=1,2,n)。v（3）

44、由）由xi(K+1)又可求得新的又可求得新的J和和F，从而可以，从而可以解出解出xi(K+1)及及xi(K+2)=xi(K+1)-xi(K+1)，如此循，如此循环不已，最后可获得非线性方程的解。环不已，最后可获得非线性方程的解。 用牛顿法解方程用牛顿法解方程 初值都取为初值都取为0v解：解： 112112212212,210,210fx xxx xfx xxx x 21112122(0)0(0)(0)1(0)2(0)(1)(0)(1)1111111222122121201 0021 02010.:21:2150210.50.5xxxfXfxxxffxXxxxxfxx xfxx xx JJ(0)

45、(1)(0)(1)22220.5xxxx 算例迭代结果算例迭代结果v迭代结果：迭代结果：k kx1 kx200010.5-0.520.75-0.7530.875-0.875电压直角坐标系下的功率方程电压直角坐标系下的功率方程*()BBBBSY UU*11()1nniiiijjiijjjjPjQUY UUY U（）式ijijijYGjBiiijjjUejfUejf 将代入（代入（1）式得）式得11222 ()() ()()()niiijjijjiijjijjjniiijjijjiijjijjjiiiPe G eB ff G fB eQf G eB fe G fB eUefPV节点 )()(1nj

46、jjijijiiiijfejBGjfejQP实部虚部分开得实部虚部分开得1 4.3牛顿牛顿-拉夫逊潮流计算拉夫逊潮流计算v节点编号的规定：网络中共有节点编号的规定：网络中共有n个节点。其中个节点。其中一个平衡节点，编号为一个平衡节点，编号为s（本教材中（本教材中s=1）；）；（m-1）个）个PQ节点；节点；（n-m）个）个PV节点（如果节点（如果m=n，则没有，则没有PV节点）节点）23nsm+1(m-1)个个PQ节点节点平衡节点(n-m)个个PV节点节点m11222 ()()()()()niiijjijjiijjijjjniiijjijjiijjijjjiiiPe G eB ff G fB

47、eQf G eB fe G fB eUefPV有功方程(n-1)个无功方程(m-1)个节点电压方程(n-m)个根据上述节点编号的规定，这个方程组中，根据上述节点编号的规定，这个方程组中，共有共有2(n-1)个独立方程个独立方程;其中有功方程其中有功方程(n-1)个个;无功方程无功方程(m-1)个个;电压方程电压方程(n-m)个。个。注意：注意：不为平衡节点列方程不为平衡节点列方程等号左边为已知数，等号右边是关于节点电压实等号左边为已知数，等号右边是关于节点电压实部和虚部的函数部和虚部的函数牛顿牛顿-拉夫逊潮流计算修正方程式拉夫逊潮流计算修正方程式22iiijijjjiiijijjjiiijij

48、jjHPPNfeQQJLfeUUSfeRnnppnnnnnpnpnnnnnnnnnpnpnnnnpnpnpppppppppnpnppppppppnnppnnppnnppnnppnnppefefefefSRSRSRSRNHNHNHNHSRSRSRSRNHNNHNHLJLJLJLJNHNHNHNHLJLJLJLJNHNHNHNHUPUQPQP22112211221122112211222222222121222222222121111112121111111112121111222211HPPQ节点节点PV节点节点222211, 2 , 1iiiinjjijjijijijjijiiinjjijji

49、jijijjijiiinifeUUeBfGefBeGfQQeBfGffBeGePP不平衡量不平衡量222211,2, 1iiiinjjijjijijijjijiiinjjijjijijijjijiiinifeUUeBfGefBeGfQQeBfGffBeGePP已知节点注入有功已知节点注入无功已知节点电压雅可比矩阵中的元素雅可比矩阵中的元素22iiijijjjiiijijjjiiijijjjHPPNfeQQJLfeUUSfeR注意注意v初值选择的问题：初值选择的问题：一般选一般选ei=1, fi=0 （标幺值的好处），（标幺值的好处），平衡节点电压已知，不用设。平衡节点电压已知，不用设。v收敛精

50、度收敛精度：一般取一般取10-310-5潮流计算基本步骤潮流计算基本步骤v(1)形成节点导纳矩阵形成节点导纳矩阵YB；v(2)设电压初始值设电压初始值ei(0)、fi(0)；v(3)求不平衡量：求不平衡量：P(0)、Q(0) 、Ui(0) ；v(4)求雅可比矩阵：求雅可比矩阵：v(5)解修正方程，求出电压修正量解修正方程，求出电压修正量ei(0) 、fi(0)；v(6)修正各节点的电压修正各节点的电压v e(1)=e(0)+e(0)v f(1)=f(0)+f(0)潮流计算基本步骤潮流计算基本步骤v(7)将修正后的各节点的电压将修正后的各节点的电压e(1) 、f(1) 计算功计算功率不平衡量率不

51、平衡量P(1)、Q(1)和节点电压幅值平和节点电压幅值平方不平衡量方不平衡量U(1) ；v(8)判断是否收敛，条件是不平衡量判断是否收敛，条件是不平衡量P(1)、Q(1) 向量中最大分量的绝对值小于允许值向量中最大分量的绝对值小于允许值：如果满足收敛条件，则进一步计算各段电力线路如果满足收敛条件，则进一步计算各段电力线路潮流和平衡节点功率。潮流和平衡节点功率。如果不满足收敛条件，则返回如果不满足收敛条件，则返回(3)进行下一次迭代，进行下一次迭代，直到收敛为止。直到收敛为止。PV节点向节点向PQ节点的转化节点的转化v如果节点无功注入功率越限，进行如果节点无功注入功率越限，进行PV节点向节点向P

52、Q节点的转化。节点的转化。v节点类型转化时，需注意节点类型转化时，需注意NL法的修正方程的法的修正方程的形式要发生变化：形式要发生变化：对于直角坐标形式，需要增加一个对应于该节点对于直角坐标形式，需要增加一个对应于该节点的无功功率不平衡量的表达式，同时减少一个对的无功功率不平衡量的表达式，同时减少一个对应该节点的电压偏差的关系式；应该节点的电压偏差的关系式；对于极坐标形式，只需增加一个对应于该节点的对于极坐标形式，只需增加一个对应于该节点的无功功率不平衡量的表达式。无功功率不平衡量的表达式。计算平衡节点及计算平衡节点及PV节点的功率节点的功率1nsssiissiSUY UPjQ当求出各个节点电

53、压向量后，就可以求出平衡节点的功率当求出各个节点电压向量后，就可以求出平衡节点的功率也可以求出也可以求出PV节点的节点注入无功功率节点的节点注入无功功率1()()niiijjijjiijjijjjQf G eB fe G fB e潮流算法的配合潮流算法的配合v采用牛顿采用牛顿-拉夫逊法求解非线性方程时，对于拉夫逊法求解非线性方程时，对于初始值选择要求比较严格，如果初始值选择初始值选择要求比较严格，如果初始值选择的比较合适，则迭代过程迅速收敛，否则将的比较合适，则迭代过程迅速收敛，否则将不收敛，这是牛顿不收敛，这是牛顿-拉夫逊法的不足之处。拉夫逊法的不足之处。v因此，在运用牛顿因此，在运用牛顿-

54、拉夫逊法计算潮流时，经拉夫逊法计算潮流时，经常与高斯常与高斯-塞德尔法配合使用，即在第一、第塞德尔法配合使用，即在第一、第二次迭代时采用高斯二次迭代时采用高斯-塞德尔法，随后再采用塞德尔法，随后再采用牛顿牛顿-拉夫逊法，这样配合使用的方案，可以拉夫逊法，这样配合使用的方案，可以得到令人满意的结果得到令人满意的结果 电压极坐标系下的功率方程电压极坐标系下的功率方程*()BBBBSY UU*11()1nniiiijjiijjjjPjQUY UUY U（）式ijijijYGjB(cossin)ijiiiiiUU eUj 将代入（代入（1）式得）式得11cossinsincosniijijijijij

55、jniijijijijijjPQUUGBUUGB)(1njjjjijijjiiijieUjBGeUjQP实部虚部分开得实部虚部分开得修正方程式修正方程式1 -m1 -m22111n211 -mm12-m11-m1 -n , 1m12-m11-m1 -2m22211 -n2,22211 -1m12111 -n1,12111 -m1,-n1,2-n1,1-n1 -n1,-n1,2-n1,1-n1 -m222211 -n2,22211 -m112111 -n1,12111 -m211n21/LLLJJJLLLJJJLLLJJJNNNHHHNNNHHHNNNHHHQQQPPPUUUUUU不平衡量不平衡

56、量njijijijijjiiinjijijijijjiiiQP11cossinsincosBGUUQBGUUP已知节点注入有功已知节点注入无功有关于有关于PV节点的电压方程吗？节点的电压方程吗？iiUU 列电压方程为：雅可比矩阵中的元素雅可比矩阵中的元素iijjiijjiijjjiijjjPHQJPNUUQLUU极坐标方程个数讨论极坐标方程个数讨论v由于用极坐标表示时，由于用极坐标表示时，PV节点的电压幅值已节点的电压幅值已给定，待求的是给定，待求的是PV节点电压相角节点电压相角i和节点注和节点注入无功功率入无功功率Qi两个未知量，而用直角坐标表两个未知量，而用直角坐标表示时，待求的是示时，待

57、求的是PV节点电压的实部节点电压的实部ei和虚部和虚部fi及节点注入无功功率及节点注入无功功率Qi三个未知量。三个未知量。v所以与用直角坐标表示时不同的是每个所以与用直角坐标表示时不同的是每个PV节节点只有有功功率不平衡方程一个方程，也就点只有有功功率不平衡方程一个方程，也就是说比用直角坐标表示时每个是说比用直角坐标表示时每个PV节点少一个节点少一个方程。方程。极坐标方程个数讨论极坐标方程个数讨论v所以对于一个具有所以对于一个具有n个节点的电力网络，假设个节点的电力网络，假设有有m-1个个PQ节点，一个平衡节点节点，一个平衡节点s和和n-m个个PV节点，则各类不平衡方程式的个数分别为节点，则各

58、类不平衡方程式的个数分别为v有功功率不平衡方程式有功功率不平衡方程式Pi有有n-1个；个；v无功功率不平衡方程式无功功率不平衡方程式Qi有有m-1个。个。v用极坐标表示时不平衡程式总数为用极坐标表示时不平衡程式总数为n+m-2个，个，所以用极坐标表示时比用直角坐标表示时不所以用极坐标表示时比用直角坐标表示时不平衡程式总数少平衡程式总数少n-m个。个。v4.4 PQ分解法潮流计算分解法潮流计算N-R法的不足法的不足v 1.N-R修正方程的雅可比矩阵阶数随电力系统节点修正方程的雅可比矩阵阶数随电力系统节点数的增加而迅速以两倍速度增长，阶数太大时，一数的增加而迅速以两倍速度增长，阶数太大时，一方面对

59、计算机的贮存容量的要求也迅速成倍增长，方面对计算机的贮存容量的要求也迅速成倍增长，另一方面计算的速度则迅速降低，使计算时间变长；另一方面计算的速度则迅速降低，使计算时间变长；v2.采用采用N-R法迭代计算复杂系统潮流时，每迭代求法迭代计算复杂系统潮流时，每迭代求解一次，修正方程的雅可比矩阵中的各元素都要重解一次，修正方程的雅可比矩阵中的各元素都要重新计算一次；新计算一次；v3.N-R法修正方程的雅可比矩阵是非对称矩阵，其法修正方程的雅可比矩阵是非对称矩阵，其求逆过程要花费的时间长得多，同时对计算机贮存求逆过程要花费的时间长得多，同时对计算机贮存容量的要求大得多；容量的要求大得多；思路思路v针对

60、针对N-R法的不足，前人提出了对法的不足，前人提出了对N-R法极坐法极坐标方程的简化标方程的简化v简化的思路是简化的思路是降阶降阶、常数化常数化修正方程式修正方程式1 -m1 -m22111n211 -mm12-m11-m1 -n , 1m12-m11-m1 -2m22211 -n2,22211 -1m12111 -n1,12111 -m1,-n1,2-n1,1-n1 -n1,-n1,2-n1,1-n1 -m222211 -n2,22211 -m112111 -n1,12111 -m211n21/LLLJJJLLLJJJLLLJJJNNNHHHNNNHHHNNNHHHQQQPPPUUUUUU简