连续时间信号与系统的时域分析课件

1、1第第2章章 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析n2.1 系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示n2.2 零输入响应零输入响应n2.3 零状态响应零状态响应n2.4 卷积积分卷积积分n2.5 LTI连续时间系统时域分析举例连续时间系统时域分析举例12 2nLTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为：建立并建立并求解线性微分方程求解线性微分方程。n由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为，故称为时域分析法时域分析法。这种方法比较直观。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法，物理

2、概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。的基础。 32.12.1系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示n.1系统方程的算子表示法系统方程的算子表示法n如上面所示，描写线性系统的激励函数和响应函数如上面所示，描写线性系统的激励函数和响应函数间关系的微分方程形式看起来很复杂，为了方便起见，间关系的微分方程形式看起来很复杂，为了方便起见，把微分算子用符号把微分算子用符号p来代表，如令来代表，如令 ，通过引入，通过引入算子符号，可以把微积分方程在形式上变成代数方程。算子符号，可以把微积分方程在形式上变成代数方程。它的优点一是简化方程的列写它的优点一是简化方程的列写(

3、(特别是联立方程消元特别是联立方程消元) )，一是通过引入系统转移算子一是通过引入系统转移算子H(p)的概念，便于形成系的概念，便于形成系统分析的统一的方法。统分析的统一的方法。n先引入算子的定义，再由定义导出其先引入算子的定义，再由定义导出其“运算运算”规则，规则，最后介绍如何用算子法列写微分方程。最后介绍如何用算子法列写微分方程。3积分算积分算子子微分算微分算子子算子符号算子符号dtdp nnnnnndtxdxpdtdpdtdxpx , dpt 1 dxxpt 1452.12.1系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示n例例 用算子法表示下面的微分方程。用算子法表示下面的微

4、分方程。n解解: :根据微分算子与积分算子的定义，上式根据微分算子与积分算子的定义，上式可表示为可表示为5n还可以将上式改写为还可以将上式改写为 62.12.1系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示n例例 利用广义微分算子与广义积分算子来表利用广义微分算子与广义积分算子来表示下面的微分方程。示下面的微分方程。解：由广义微分算子与广义积分算子可写微解：由广义微分算子与广义积分算子可写微分方程的算子方程如下分方程的算子方程如下 其中其中6微分方程的算子形式微分方程的算子形式 tfbtpfbtfpbtfpbtyatpyatypatypmmmmnnnn 1110111.算子方程算子方

5、程 tfbtfdtdbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdatydtdmmmmmmnnnnnn 111101111.7 tfpDpNty tfpHty tfbtpfbtfpbtfpbtyatpyatypatypmmmmnnnn 1110111. tfapapapbpbpbpbtynnnnmmmm 1111110.8 N p D p H p92.12.1系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示n例例2-3 2-3 求下面微分方程的转移算子求下面微分方程的转移算子H(p) 解：可将上述方程改写为解：可将上述方程改写为 根据转移算子的定义，上式可进一步表示为根据转移算

6、子的定义，上式可进一步表示为9也即102.12.1系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示2.2.算子的运算规则算子的运算规则 （1 1）由）由P的多项式所组成的运算符号可以的多项式所组成的运算符号可以像代数式那样相乘和因式分解。像代数式那样相乘和因式分解。特殊情况：特殊情况：10112.12.1系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示特殊一：特殊一： 这里也像代数式中一样，分子分母中的这里也像代数式中一样，分子分母中的p可以消去。但是可以消去。但是n这里除非这里除非x(-(-) = 0) = 0，否则分母和分子中的，否则分母和分子中的p就不能消去。这表明在一般

7、情况下，有就不能消去。这表明在一般情况下，有11122.12.1系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示n特殊二：特殊二：n若将式若将式n两边积分，可得两边积分，可得 （ c为积分常数）为积分常数）对于等式对于等式px =py，双方的算子，双方的算子p一般也不好消一般也不好消去。去。n以上讨论说明，代数量的运算规则对于算子以上讨论说明，代数量的运算规则对于算子符号一般也可以用，只是在分子分母中或在符号一般也可以用，只是在分子分母中或在等式两边中的算子符号不能随便消去。等式两边中的算子符号不能随便消去。12132.12.1系统微分方程的建立及算子表示系统微分方程的建立及算子表示n

8、3.3.算子方程组的消元算子方程组的消元n为了要从一个为了要从一个n阶电路的阶电路的n元一次算子方程组元一次算子方程组得到一个形式为得到一个形式为的一元的一元n阶算子方程，必须将原方程组中除响阶算子方程，必须将原方程组中除响应变量应变量. .y(t)以外的其他未知量系统消去。在掌以外的其他未知量系统消去。在掌握了算子的运算规则之后，就可以较为方便握了算子的运算规则之后，就可以较为方便地做到这一点。地做到这一点。13电感和电容的算子表示电感和电容的算子表示 tLpitidtdLtLLL tiCpdiCtCCtC11 Lp电感算子符号，理解为电感的感抗值 Cp1电容算子符号，理解为电容的容抗值 1

9、4电电 感感电电 容容 teRLi 5H1F61 ti tetipp 65 tpetitpitip 652 tedtdtitidtdtidtd 6522CLpLp pCp61 15例题例题如下图所示电路， 为激励信号，响应为 ， 用算子法求其算子方程、传输算子以及微分方程。 te ti2 te 1 1 2H2H1 ti1 ti2 te 1 1 2p2p ti1 ti2 16 03132121tiptpitetpitip利用克莱姆法则， 解出: teppppptpeppppptepti2/35213102313013222 系统函数为： 2/3522 ppppH tpetipp2123522 微

10、分方程为： tedtdtitidtdtidtd2123522222 te 1 1 2p2p ti1 ti2 17182.2 零输入响应零输入响应yx(t)n2.2.1 yx(t)的定义的定义n2.2.2 yx(t)的求法的求法n2.2.3 系统的自然模式系统的自然模式返回首页1819n系统在无外加激励作用下，仅由系统的初始系统在无外加激励作用下，仅由系统的初始状态所引起的响应称为系统的零输入响应，状态所引起的响应称为系统的零输入响应，记为记为yx(t)。系统的零输入响应完全由系统的结。系统的零输入响应完全由系统的结构与状态决定，而与激励信号无关。构与状态决定，而与激励信号无关。n在式在式(2-

11、8)(2-8)中令中令f (t) = 0，得到齐次方程，得到齐次方程 yx(t)就是齐次方程就是齐次方程(2-11)(2-11)的解。的解。2.2.1 yx(t)的定义1920n其中，其中，D(p)称为系统的特征多项式，方程称为系统的特征多项式，方程D(p) =0叫做系统的特征方程，特征方程的根称系统叫做系统的特征方程，特征方程的根称系统的特征根。的特征根。n先来讨论比较简单的一阶、二阶齐次方程的先来讨论比较简单的一阶、二阶齐次方程的情况，然后推广至情况，然后推广至n阶方程。阶方程。2021n一阶与二阶齐次方程的解一阶与二阶齐次方程的解n一阶齐次方程的一般形式为一阶齐次方程的一般形式为n即即n

12、通过分离变量，上式可改写为通过分离变量，上式可改写为2122n对两边积分得对两边积分得n其中，其中，k是积分常数。从而可得是积分常数。从而可得n其中，其中，C=C=e ek k是待定系数，由系统的初始条件是待定系数，由系统的初始条件决定。例如，将初始状态决定。例如，将初始状态yx(o)代入式代入式(2-14)(2-14)即即可得可得2223n从而得到一阶齐次方程的解为从而得到一阶齐次方程的解为n二阶齐次方程的一般形式为二阶齐次方程的一般形式为其中，其中，a,ba,b是常数。其算子方程为是常数。其算子方程为2324n将上式中的将上式中的D(p)作因式分解作因式分解n从而将式从而将式(2-16)(

13、2-16)改写为改写为n不难看出，不难看出，1与与2是特征方程是特征方程D(p)=0的两个特的两个特征根征根由此可以得到满足上述方程的两个一阶方程由此可以得到满足上述方程的两个一阶方程2425n它们的解分别为它们的解分别为n其中，其中，C1,C2为待定系数。显然，为待定系数。显然，yx1(t)与与yx2(t)都是解，且彼此线性无关，因此零输入响应都是解，且彼此线性无关，因此零输入响应的计算通式为的计算通式为n如果给定初始状态为如果给定初始状态为2526n将这些条件代入式将这些条件代入式(2-19)(2-19)及其微分式可得及其微分式可得n解之，可得解之，可得Cl与与C2的具体数值，从而最后确的

14、具体数值，从而最后确定定yx(t)。n例例2-5 某系统输入某系统输入/输出微分算子方程为输出微分算子方程为 己知初始条件己知初始条件yx(0)= 3，yx(0)= 6，求系统的，求系统的零输入响应零输入响应yx(t)。2627n解：由题意知解：由题意知n因为因为n所以所以n把把yx(0)= 3，yx(0)= 6，代入上式可得代入上式可得n所以系统的零输入响应为所以系统的零输入响应为2728nn阶齐次方程的解阶齐次方程的解n上述二阶方程的解，可以推广至上述二阶方程的解，可以推广至n阶方程阶方程 即即首先求出特征方程首先求出特征方程的的n个根个根1，2 ，n 。然后将式。然后将式(2-20)(2

15、-20)改改写为写为2.2.2 yx(t)的求法28290)(pDtpntptpxneAeAeAty2121)(1.当 的根(特征根)为n个单根(不论实根、虚根、复数根)p1， p2， ， pn时，则yx(t)的通解表达式为29302.1是一个是一个k重根，即重根，即其中，待定系数可由初始状态其中，待定系数可由初始状态0)()(,)()()()(112111111tecetctcctyppppDnjtjtxnnj 则：均为单根。重根，是其中设3031n例例2-6 2-6 己知系统的方程为己知系统的方程为n初始状态为，初始状态为， ，求系统的零输入响应求系统的零输入响应yx(t)。3132n解解

16、: :令令f (t) = 0，得齐次方程，得齐次方程n将将D(p)作因式分解得作因式分解得3233n可见，系统的特征根可见，系统的特征根1=-1是单根，而是单根，而2=-3是是一个二重根，据此可写出一个二重根，据此可写出yx(t)为为n将初始状态代入上式得将初始状态代入上式得n解之得解之得n因此，系统的零输入响应为因此，系统的零输入响应为3334n.3由转移算子由转移算子H(p)求系统的零输入响应求系统的零输入响应n从以上的讨论可以看出，只要己知系统的特从以上的讨论可以看出，只要己知系统的特征多项式征多项式D(p)及初始状态，就可以求出系统的及初始状态，就可以求出系统的零输入响

17、应。因此，知道系统的转移算子零输入响应。因此，知道系统的转移算子H(p)和初始状态，也就可以直接求出和初始状态，也就可以直接求出yx(t)n前面己指出，转移算子前面己指出，转移算子是一种把输入与响应联系起来的系统数学模是一种把输入与响应联系起来的系统数学模型的简洁表示，即型的简洁表示，即3435n因此，只要知道因此，只要知道H(p)，就可以从它的分母，就可以从它的分母D(p)求出系统的特征根，亦即求出系统的特征根，亦即H(p)的极点的极点1，n ，从而写出系统的零输入响应的一般式，从而写出系统的零输入响应的一般式n再根据初始状态，求出待定系数再根据初始状态，求出待定系数C Cj j,j,j=1

18、=1n，最后确定最后确定yx(t).3536n例例2-72-7 己知系统微分方程为己知系统微分方程为初始状态初始状态 , ,计算零输入响应。计算零输入响应。n解解: :用算子表示原微分方程，得转移算子用算子表示原微分方程，得转移算子容易看出，转移算子的极点为容易看出，转移算子的极点为1=-2, 2=-3。从。从而可以直接写出而可以直接写出y(t)的零输入响应为的零输入响应为3637n将初始状态将初始状态 代入上式代入上式得得n解之得解之得n将将C C1 1与与C C2 2代入代入yx(t)得得3738n2.2.4 2.2.4 算子法求解算子法求解yx(t)的步骤的步骤n第一步，将第一步，将D(

19、p)进行因式分解，即进行因式分解，即 其中，其中， i和和ri分别是系统特征方程的第分别是系统特征方程的第i个个根及其相应的重根阶数。根及其相应的重根阶数。n第二步，求出第第二步，求出第i i个根个根i对应的零输入响应对应的零输入响应yxi(t) ，即，即3839n第四步，根据给定的零输入响应初始条件第四步，根据给定的零输入响应初始条件 确定常数确定常数 （i=1,2，.l)n第三步，将所有第三步，将所有yxi(t) （i=1,2，.l)相相加，得到系统的零输入响应，即加，得到系统的零输入响应，即39402.3 系统的自然模式系统的自然模式n1.系统零输入响应是由指数函数项组成i

20、 是系统特征方程D(P)=0的特征根。每一个特征根i在响应中对应的指数项称为响应的一个模式或自然模式。n2.系统零输入响应中各项的模式，定义为系统的自然模式。系统的自然模式由系统唯一确定。n3.如果H(P)有n个特征根，零输入响应yx(t)中就有n个模式。对于同一个系统，不同的响应信号与激励f(t)之间的转移算子一般具有相同的分母，即D(P)。因此，同一系统中不同响应变量的零输入响应具有相同的模式，不同的只是各指数项的系统。titiiete1或40412.2.3 3 零状态响应零状态响应yf(t)n2.3.1 零状态响应的定义n2.3.2 系统的单位冲激响应n2.3.3 系统的单位阶跃响应n2

21、.3.4 yf(t)的求法返回首页4143.1 零状态响应的定义零状态响应的定义n系统在输入信号的单独作用下（初始状态为系统在输入信号的单独作用下（初始状态为零）产生的响应分量，称为系统的零状态响应零）产生的响应分量，称为系统的零状态响应分量，记为分量，记为yf(t)。是方程是方程yf(t)=H(p)f(t)在初始状在初始状态为零时的解。态为零时的解。4243.2 系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应n1、定义：输入为单位冲激信号、定义：输入为单位冲激信号(t)的零状态的零状态响应分量，称为系统的单位冲激响应，简称冲响应分量，称为系统的单位冲激响应，简称冲激响应

22、，记为：激响应，记为：h(t)。是方程是方程h(t)=H(p) (t)在在初始状态为零时的解。初始状态为零时的解。nh(t)由系统唯一确定由系统唯一确定43440t)(t(1)0t)(thLTI系统)(t)(th图2-1 冲激响应示意图4445l冲激响应的求法冲激响应的求法v转移算子法转移算子法v直接求解法直接求解法 4546n2、一些简单系统的、一些简单系统的h(t)(21123ttp)()()()(tpHthpH)(!111ttnpnnkpket(t)k(p)2ktet(t)()(为正整数ntpnn)(1tp)(12ttp46冲激响应冲激响应 转移算子求解法转移算子求解法47简单系统简单系

23、统1 H(p)y(t)f(t)Kp)()()( tKftyty)()()(tKftytyff)()()( tKthth( )( )th tKet47( )( )( )( )( )tttttdeh teh tketeh tketdt两边从0- 到t 取定积分：0( )(0 )( )( )tteh thkedkt ( )( )th tket冲激响应冲激响应 转移算子求解法转移算子求解法48简单系统简单系统 2 H(p)y(t)f(t)K(p)2系统冲激响应h(t)满足的算子方程为 ()()(phpKtt1( )() ( )( )th tph tKet( )( )( )th th tKet( )(

24、)th tKtet两边同乘以 并取积分 得 te()tdx( )( )th tKtet1( ) (h tpKt48冲激响应冲激响应 转移算子求解法转移算子求解法49将上面的结果推广到特征方程A(p)=0在p=处有r 重根的情况简单系统简单系统3 491( )( )( )()(1)!rtrKKH ph ttetpr( )nH pKp( )( )ny tKp f t( )( )( )nh tKt冲激响应冲激响应 转移算子求解法转移算子求解法50n3、已知系统计算、已知系统计算h(t)当当H(p)为有理真分式时，将为有理真分式时，将H(p)部分分式展开部分分式展开H(p)= H1(p)+ H2(p)

25、+ 则：则： h(t)= H(p)(t) = H1(p) (t) + H2(p) (t)+ = h1(t)+ h2(t) 若若H(p)为假分式，先长除再将真分式部分部分分为假分式，先长除再将真分式部分部分分式展开。式展开。21212233432)(222342xxxxxxxxxxxxF50冲激响应冲激响应 转移算子求解法转移算子求解法51综上所述，可以得到计算系统冲激响应h(t)的一般步骤是： 第一步，确定系统得传输算子H(p)第三步，求各分式对应的冲激响应分量hi(t)1( )( )ljjh th t第四步，各部分求和第二步，将H(p)进行部分分式展开11( )()jqljiirijjKH

26、pK pp51冲激响应冲激响应 转移算子求解法转移算子求解法5252例：已知系统的微分方程为( ) 3 ( )2 ( )( )4 ( ) 5 ( )y ty ty tftftf t试求其冲激响应h(t)。解：先求出方程的特征根：2, 121转移算子为23121)2)(1(7512354)(223ppppppppppppH故，系统的冲激响应为)(3)(2)()()(2tetettthtt冲激响应冲激响应 转移算子求解法转移算子求解法53例例 描述系统的微分方程为 (3)(2)(1)(3)(2)(1)( )5( )8( )4 ( )( )6( ) 10( )6 ( )ytytyty tftftft

27、f t求其冲激响应h(t)。 53冲激响应冲激响应 转移算子求解法转移算子求解法5454解：解： 由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为 其H(p)可表示为 32322610612( )15841(2)pppH pppppp 3232584( )6106( )pppy tpppf t例题例题已知系统的传输函数 ，求冲激响应 。 652 ppppH th 332232652 pppppppppH tueethtt2323 55 teptrpp2342 3211211323422 pppppppppH例题例题已知系统的微分方程为求冲激响应 。 tedttdetrdttdrdttrd23422

28、th tueethtt 32121565757冲激响应与零输入响应的比较冲激响应与零输入响应的比较冲激响应与零输入响应的形式相似，只不过零输入响应中没有冲激函数项，另外零输入响应的系数 c 由初始条件求得，而冲激响应的系数 k 是转移函数展开为部分分式时的各系数。相似原因相似原因: 零状态的系统输入是冲激函数时，该输入信号只在t =0时存在。那时，系统在一瞬间输入了若干能量，储存在系统的储能元件里，这就相当于系统在 t =0+ 时具有某种初始状态。等到 t 0 时，系统已不再有输入信号，所以响应就由上述储能的状态惟一地确定。53.3 系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应n输入为

29、单位阶跃信号输入为单位阶跃信号(t) 的零状态响应分量，称的零状态响应分量，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。记为为单位阶跃响应，简称阶跃响应。记为g(t)。n阶跃响应与冲激响应的关系为：阶跃响应与冲激响应的关系为：)()(),()1(tgththtg或（5859证明：)()()(thttg( )( )( )( )( )( )tttdg tthddtthdhddhtgt)()(d ( )( )dtg th t 5960)(t 0t0t1LTI系统)(t )(tg)(tg图2-2 阶跃响应示意图6063.4 系统的零状态响应系统的零状态响应yf(t)的求法的求法n系统的零状态响应等

30、于输入信号与系统的单系统的零状态响应等于输入信号与系统的单位冲击响应之间的卷积积分位冲击响应之间的卷积积分nyf(t)=f(t) * h(t)LTI系统h(t)yf(t)f (t)61n卷积法分析思路卷积法分析思路（1 1）将激励信号分解为单位冲激信号的线性组合）将激励信号分解为单位冲激信号的线性组合 ；（2 2）求出单位冲激信号作用在系统上的响应）求出单位冲激信号作用在系统上的响应 冲激响应冲激响应 ；（3 3）利用线性时不变系统的特性，即可求出激励信号作用下系统的）利用线性时不变系统的特性，即可求出激励信号作用下系统的零状态响应零状态响应 。62 为了叙述方便，我们采用如下简化符号：为了叙

31、述方便，我们采用如下简化符号： )()(tytf62632.2.4 4 卷积积分卷积积分n 4.1 卷积积分的定义卷积积分的定义n 4.2 卷积的图解法卷积的图解法n 4.3 卷积的性质卷积的性质n 4.4 卷积计算小结卷积计算小结636 4.1 卷积积分的定义卷积积分的定义n具相同自变量的二函数具相同自变量的二函数f1(t)， f2(t)的积分：的积分：dtff)()(21称为该二函数的卷积积分，简称卷积，记为：称为该二函数的卷积积分，简称卷积，记为：)()()()()(2121tydtfftftf64例求卷积：)()(

32、 tutuetdtuuetutuet)()()()( - )0( 10tet)( 11 tuet解：det 0 66 )(2 )( 16)()(*)()(dtueedthfthtftytf 例例 ：解：)(),() 16()(),( ,)(2tytuethtetfftt求ttfdeety )(2 16)(ttttteeee3226667卷积过程可分解为四步：（1）换元： t换为得f1 （） ， f2（）（2）反转平移：由f2（）反转 f2（）平移t f2（t-）（3）乘积： f1（） f2（t-）（4）积分： 从到对乘积项积分。 4.2 卷积的图解法卷积的图解法676868卷积积

33、分的图解计算卷积积分的图解计算 步骤步骤 dtfftftftf)()()()()(2121计算计算021)(2f132021)(2tft1t3)()(22ff反折得将图形向右移动图形向左移动, 0;, 0tt01)(1f101)(1f1t021)(2f1326969t1t3 例例 dtfftftftf)()()()()(2121计算计算t1t3 和 没有公共的重叠部分，故卷积01t1t)(2tf)(1f0)()()(21tftftf01)(1f1)(2tf01)(1f1)(2tft021)(tf1324当当 即即 时：时：110t21t) 1(21211)()()(101021tddtfftf

34、tt即为重叠部分的面积。即为重叠部分的面积。当当 且且 即即 时：时：t 1132t21211)()()(101021ddtfftf即为重叠部分的面积。即为重叠部分的面积。03tt1t301)(1f1)(2tf7070t1t3 例例 dtfftftftf)()()()()(2121计算计算当当 即即 时：时： 和和 没有公共的重叠部分，没有公共的重叠部分，故卷积故卷积13t4t)(2tf)(1f0)()()(21tftftf01)(1f1)(2tf当当 即即 时：时：130t43t)4(21211)()()(131321tddtfftftt即为重叠部分的面积。即为重叠部分的面积。t021)(t

35、f1324t1t301)(1f1)(2tf7171tt2tt2 例例 dtfftftftf)()()()()(2121计算计算t0B)(2tf120)(2f12tB2tt2t02)(tf1344AB) 12(4)(2)(10tABdtBAtf02t21 tt110t200214)(2)()()(tABdtBAdtfftftt120t32t) 1(44)(2)(212tABdtBAtft)()()(21tftftf024tAB) 12(2tAB) 1(442 tAB00t10t21t32t3t0A)(1f10A)(1f10A)(1f17272t已知线性非时变系统的冲激响应已知线性非时变系统的冲激

36、响应 ，激励信号，激励信号为为 试求系统的零状态响应。试求系统的零状态响应。)()(tetht)()(ttf解：系统零状态响应为：解：系统零状态响应为：)()()()()(ttetfthtytf)()1 ()(00teedetytttf0)(h0)(e17373卷积积分的解析法求解卷积积分的解析法求解)2()( 2)() 1() 1()(21tttftttf例：12122111( )( )( )( )() (1)(1) 2 ()(2)2(1) ()(1) (2)(1) ()(1) (2)2(1)(1)ttf tf tf tff tdttdtdtdtdtddtdtd 21(1)(3)2 (1)

37、(1)(1) (1)(1) (1)(3) (3)2 (1) (1)2(1) (1)(3) (3)tttdttttttttttttttt 74n1、卷积的代数运算性质、卷积的代数运算性质（1）交换律）交换律f1(t)* f2(t)= f2(t) * f1(t) （2）分配律）分配律f1(t)* f2(t) +f3(t) = f1(t) * f2(t)+ f1(t) * f3(t)（3）结合律）结合律 f1(t)* f2(t) *f3(t) = f1(t)* f2(t) *f3(t) 4.3 卷积的性质卷积的性质7475n2、(n)(t)与任意信号的卷积与任意信号的卷积)(),()(

38、)()()(为正、负整数或零ntfttfnn )()()(tfttf例如，例如，n=0时时n=1时，微分器时，微分器)( )( )(tfttf)()()(0)(0)(ttftttfnnn=1时，积分器时，积分器)()()()1()1(tfttf)()()1(tttdfdtfttf)()()()()(7576n3、卷积的时移特性、卷积的时移特性若若f1(t)* f2(t)= y(t)，则：则： f1(t-t1)* f2(t-t2)=y(t- t1-t2 ) 7677n4、卷积的微分与积分、卷积的微分与积分jinjintftftytftfy(t)jin为整数或零，且则有若已知,)()()(),()

39、()(2)(1)(217778n5、时限信号间的卷积积分仍为时限信号。若、时限信号间的卷积积分仍为时限信号。若f1(t)， f2(t)占有的时间范围分别为占有的时间范围分别为l1， l2 ，则，则y(t)= f1(t)* f2(t)占有的时间范围占有的时间范围l=l1 +l2 n结论：时限信号与任意信号的卷积，必定存结论：时限信号与任意信号的卷积，必定存在。在。7879n6.用算子法计算卷积用算子法计算卷积 n条件：参与卷积的函数必须是因果信号。条件：参与卷积的函数必须是因果信号。若因果信号若因果信号 因果信号因果信号则：则：)()()()()()()()()()()()()()()()()(

40、)()()(212121222111tpFpFtpFtpFtftftytpFttftftpFttftf7980n一些简单系统的一些简单系统的h(t)(21123ttp)()()()(tpHthpH)(!111ttnpnnkpket(t)k(p)2ktet(t)()(为正整数ntpnn)(1tp)(12ttp80冲激响应冲激响应 转移算子求解法转移算子求解法81 (t)(t)11(t)(t)( )( )11/1/ ( ) ( )()()1 (1) (t)ttteettppttp pppe例求卷积1/p1/(p-)818212 (t)(t)ttee例求卷积8212121212121212(t)(t

41、)11( )( )1( )()()111 ( )()()1() (t)tttteettpptpptppee解：解：8383例例 与冲激函数的卷积与冲激函数的卷积t0)(1tt1t1t)(1ttt0TT2Tt0)(tft0)(t*=t0)(tft0)(tf*t0)(1tt1t=t0)()(1tttf1tt0)(tf*=t01t1tt0)(tf*=t0)(tTTTT28484)()2()(2teethtt冲激响应为冲激响应为解：将转移算子按部分分式展开有：解：将转移算子按部分分式展开有：2112)2)(1(3)(ppppppH系统的转移算子为系统的转移算子为 , 已知已知 ，试求全响应。试求全响应

42、。( )( ), (0 ) 1, (0 ) 2f ttyy233)(2ppppH零输入响应：零输入响应：212( )0ttxy tC eC et2( )430ttxy teet零状态响应：零状态响应：220011( )( )( )22 2022ttttfy th tf te dedeet 235( )( )( )2( )22ttxfy tytyteet代入初始条件得到代入初始条件得到C1=4，C2=-38585已知某线性系统单位阶跃响应为已知某线性系统单位阶跃响应为 ,试利用卷试利用卷积的性质求如图信号激励下的零状态响应。积的性质求如图信号激励下的零状态响应。2( )(21) ( )ts te

43、tt0( )f t12311解一：利用时不变特性：解一：利用时不变特性：( )( )2 (2)(3)f tttt22(2)2(3)( )( )2(2)(3)(21) ( )221 (2)21 (3)fffftttytytytytetetet解二：利用卷积性质：解二：利用卷积性质：( )( )( )( )( )( )*( )fyth tf ts tf ts tft( )( )2 (2)(3)ftttt22(2)2(3)( )( )( )2 ( )(2)( )(3)( )2 (2)(3)(21) ( )221 (2)21 (3)ftttyts tts tts tts ts ts tetetet86

44、86系统的方框图表示系统的方框图表示 ( )f t( )y tH(p)( )( )( )fyth tf t( )f t( )y th(t)( )f t( )y th1(t)h2(t)子系统串联：子系统串联：12( )( )( )( )fyth th tf t( )f t( )y th1(t) h2(t)等效于：等效于：)()()(21ththth子系统并联：子系统并联：( )f t( )y th1(t)h2(t)12( )( )( )( )( )fyth tf th tf t等效于：等效于：( )f t( )y th1(t)+ h2(t)()()(21ththth8787如图所示系统，它由几个

45、子系统组成。各子系统的冲激响应如图所示系统，它由几个子系统组成。各子系统的冲激响应分别为：分别为： ，) 1()(ttha) 3()()(ttthb试求系统的冲激响应。试求系统的冲激响应。( )f t( )y t)(tha)(tha)(tha)(thb解：冲激响应为解：冲激响应为( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )baaay th th th ttth th tt)()()()()(ththtththaaab)2() 1()()(tttthb)5()2()4() 1()3()(tttttt88 例例 某某LTI连续系统连续系统N有有A、B、C三部分组成。已知三部分组成。已知

46、 ，gB(t)=(1-e-t)(t)，gC(t)=2e-3t(t)，f(t)=(t)-(t-2)，求系统，求系统N的冲激响应、阶跃响应和零状态响应。的冲激响应、阶跃响应和零状态响应。 )(21)(4tethtAABCNy(t)f(t)8889解解 (1) (1) 系统系统N N的冲激响应。的冲激响应。8990 (2) (2) 系统系统N N的阶跃响应。设系统的阶跃响应。设系统N N的阶跃响应为的阶跃响应为gN(t)444( )( )(4) ( )(4)() ( )ttNNtttgthdeedeedeet 方法一方法一 因为已经求得系统的阶跃响应因为已经求得系统的阶跃响应 )()()(4teet

47、gttN它是输入为它是输入为(t)时对应的零状态响应。时对应的零状态响应。f(t)=(t)-(t-2)2()()()2()()()2(4)2(4teeteetgtgtyttttNNf(3) (3) 系统的零状态响应。系统的零状态响应。9091方法二方法二91922.4.4 卷积计算小结卷积计算小结n1、定义、图解；、定义、图解；n2、性质和已知卷积结果；、性质和已知卷积结果；n3、因果信号之间的卷积、因果信号之间的卷积算子法算子法若因果信号若因果信号 因果信号因果信号则：则：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(212121222111tpFpFtpF

48、tpFtftftytpFttftftpFttftf929393卷积表卷积表)()()(tfttf)()()(00ttftttf)()()(tfttfdfttft)()()()()()(tttt2121),()(1)()(1221teetetetttt)()()(ttetetettt942.2.5 5 无时限指数信号通过系统无时限指数信号通过系统n 5.1 系统响应的分类系统响应的分类n 5.2 系统的时域分析法举例系统的时域分析法举例n 5.3 无时限指数信号通过系统无时限指数信号通过系统949 5.1 系统响应的分类系统响应的分类n1

49、全响应分解为零输入响应与零状态响应全响应分解为零输入响应与零状态响应n2全响应分解为自由响应与强迫响应全响应分解为自由响应与强迫响应n3全响应分解为暂态响应与稳态响应全响应分解为暂态响应与稳态响应95961全响应分解为零输入响应与零状态响应全响应分解为零输入响应与零状态响应n全响应可以分解为零输入响应全响应可以分解为零输入响应yx(t)与零状态响与零状态响应应 yf(t)之和，即：之和，即： y(t)= yx(t)+ yf(t) 96972全响应分解为自由响应与强迫响应全响应分解为自由响应与强迫响应n由系统自然模式组成的响应分量，称为自由响由系统自然模式组成的响应分量，称为自由响应又称固有响应

50、，自由响应的模式取决于系统应又称固有响应，自由响应的模式取决于系统的特征根；强迫响应又称强制响应，是与激励的特征根；强迫响应又称强制响应，是与激励相关的响应。相关的响应。97983全响应分解为暂态响应与稳态响应全响应分解为暂态响应与稳态响应n全响应全响应y(t)还可以分解为还可以分解为暂态响应暂态响应 yT(t)与稳态与稳态响应响应 yS(t)之和，即：之和，即： y(t)= yT(t)+ yS (t)之和，之和，其中：其中：t , yT(t) 0 而而yS (t)不趋于零。不趋于零。98暂态响应分量：系统响应中随着时间增长而趋于零的部分。暂态响应分量：系统响应中随着时间增长而趋于零的部分。稳

51、态响应分量：随着时间增长而趋于稳定的部分。稳态响应分量：随着时间增长而趋于稳定的部分。992.5.3 无时限指数信号通过系统n若若LTI系统转移算子系统转移算子有特征根有特征根输入输入当满足主导条件当满足主导条件否则否则1( ) ( )( )njjjKN pH pD pp。), 2 , 1( ,njj),( :,0tetstsspfepHtyty00)()()()(ty时max00)()(jeeRsR991002.6 LTI 连续时间系统时域分析举例连续时间系统时域分析举例n零输入响应零输入响应n零状态响应零状态响应n全响应全响应以阶跃函数和冲击函数作为基本信号，将任意以阶跃函数和冲击函数作为

52、基本信号，将任意输入信号表示为冲击分量的连续和（积分），输入信号表示为冲击分量的连续和（积分），并用卷积方法求取系统的响应并用卷积方法求取系统的响应100101求解零输入响应就是解齐次方程求解零输入响应就是解齐次方程 D(p)y(t)=0 ，可根据，可根据特征方程特征方程D(p)=0根的两种不同情况写出解的一般形式。根的两种不同情况写出解的一般形式。tnttnneCeCeCtrn212121)(,1个异实根、特征根为tkketCtCtCCtrk)()(312321阶重根、特征根为1.零输入响应零输入响应101102n例例1 如图如图RLC串联谐振电路，已知串联谐振电路，已知 L=1H , C=

53、1F , R=2.5 初始条件为：初始条件为：n1、i(0)=0 A , i(0)=1 A/sn2、i(0)=0 A, uc(0)=10 Vn分别求上述两种情况下回路电流的零输入响应。分别求上述两种情况下回路电流的零输入响应。102103n解：前面我们已经列出了它的微分方程解：前面我们已经列出了它的微分方程 写成算子形式： 211() ( )( )Rppi tpe tLLCL22121( )2.51(0.5)(2)0.5,2RD pppppLLCpp 22( )( )11( )( )d i tR di tde ti tdtLdtLCLdt103104tteCeCti225 . 01)(1、初始

54、条件为i(0)=0 A , i(0)=1 A/s时32,32125 . 00212121CCCCCC0)(32)(25 . 0teetitt1041052、初始条件为i(0)=0 A , uc(0)=10 V时初始条件uc(0)=10 V不能直接用于确定常数C1, C2 所以必须转化为i(0)。105( )( )( )( )( )2.5 ( )( )0ccdi tLRi tu te ti ti tu tdt(0)10/iA s 所以0.5212( )tti tC eC e106代入零输入响应的一般形式得：320,3201025 . 00212121CCCCCC0)(320)(25 . 0tee

55、titt1061071、初始条件为i(0)=0 A , i(0)=1 A/s时0)(32)(25 . 0teetitt1071082、初始条件为i(0)=0 A , uc(0)=10 V时0)(320)(25 . 0teetitt1081091、由于电容、由于电容C上的初始电压上的初始电压为为10V(i(0)=-10A/s)方向为左方向为左正右负，所以电容放电，方正右负，所以电容放电，方向与参考方向相反，曲线在向与参考方向相反，曲线在横轴下方，由于电路中存在横轴下方，由于电路中存在电阻将损耗能量，最终电流电阻将损耗能量，最终电流变为零。变为零。2、第一种情况、第一种情况i(0)=1 A/s相相当于电容当于电容C上的初始电压为上的初始电压为-1V方向为右正左负，所以电方向为右正左负，所以电容放电方向与参考容放电方向与参考方向相同，方向相同，曲线在横轴上方。电路的