矿大高数隐函数的求导公式PPT学习教案

1、会计学1矿大高数隐函数的求导公式矿大高数隐函数的求导公式2:公式推导公式推导0),(yxF)(xyy 0)(,(xyxFFxyx:求导求导0dxdyyFxFyxFFdxdy第1页/共23页3例例验验证证方方程程0122 yx在在点点)1 , 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的隐隐函函数数)(xfy ，并并求求这这函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数在在0 x的的值值.解解令令1),(22 yxyxF则则,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF依依定定理理知知方方程程0122 yx在在点点)1 ,

2、 0(的的某某邻邻域域内内能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值可可导导、且且0 x时时1 y的的函函数数)(xfy 第2页/共23页4函函数数的的一一阶阶和和二二阶阶导导数数为为yxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy22dxyd2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2yyxy第3页/共23页5解解 令令则则,arctan)ln(21),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 第4页/共23页6:另解另解求导求导两边对两边对x222221yxyyx2211xyxyxy)(dxdy.xyyx第5页/共23页7隐

3、隐函函数数存存在在定定理理 2 2 设设函函数数),(zyxF在在点点,(0 xP ),00zy的的某某一一邻邻域域内内有有连连续续的的偏偏导导数数，且且,(0 xF 0),00 zy，0),(000 zyxFz，则则方方程程,(yxF 0) z在在点点),(000zyxP的的某某一一邻邻域域内内恒恒能能唯唯一一确确定定一一个个单单值值连连续续且且具具有有连连续续偏偏导导数数的的函函数数),(yxfz ，它它满满足足条条件件),(000yxfz ， 并并有有 zxFFxz ， zyFFyz . . 0),(. 2 zyxF),(yxzz ?,yzxz如何求如何求第6页/共23页8:公式推导公式

4、推导,),(0zyxF),(yxzz ,),(,(0yxzyxFFxyzxy求求导导将将上上式式分分别别对对yx,0 xzFFzxzxFFxz0yzFFzyzyFFyz第7页/共23页9解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx :另解另解求偏导求偏导对对x0422xzxzzx,zxxz2第8页/共23页10.)2()2(322zxz 2)2(2)2(zzxxz 2)2()2(zxzxz )(xzxxz22)(zxx2第9页/共23页11思路：思路：解解令令, zyxu ,xyzv 则则),(vufz 第10页/共23页12xz )1(xzf

5、u ),(xzxyyzfv 整理得整理得xz ,1vuvuxyffyzff )1(0 yxfu),(yxyzxzfv ),(vufz , zyxu ,xyzv 第11页/共23页13整理得整理得,vuvuyzffxzff yx )1(1 zyfu),(zyxzxyfv 整理得整理得zy .1vuvuxzffxyff ),(vufz , zyxu ,xyzv 第12页/共23页14例例5解：解：记记)(),(zyzxzyxF , 则则zFx1 ，,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zyyxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于是于是zyzyxzx .第13

6、页/共23页15 xz例例6. 设具有连续偏导数 , 已知方程 ),(vuF, 0),(zyzxF. zd解法一解法一 . 设是由方程 ),(yxfz 0),(zyzxFzxFFxz yz212FyFxFz211FyFxFzydyzxdxzzd求1F 1F)(2zx 2F)(2zy2F确定)(2121ydFxdFFyFxz的隐函数 , 则z1z1 1F)(2zx 2F)(2zy第14页/共23页16解法二解法二. .对方程两边微分 1F)(2121ydFxdFFyFxzzd)(2zzdxxdzzdzFyFx221zydFxdF21例例6. .设 具有连续偏导数 , 已知方程 ),(vuF, 0

7、),(zyzxF. zd求)(2zzdyydz)(zxd 2F0)(zyd 1F 2F0第15页/共23页17 0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu?,yvxvyuxu如何求如何求第16页/共23页1800),(),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu00),(),(,(),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF求偏导求偏导方程组对方程组对x00 xvGxuGGxvFxuFFvuxvuxxvxu,求偏导求偏导方程组对方程组对yyvyu,第17页/共23页19解解 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导求导x,00 xvxvxuyxvyxuxu解得解得,22yxyvxuxu 22,vyuxvxxy第18页/共23页20将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv 第19页/共23页218例例.,sindzduzyxzyxxyu求求且且10222:解解求导求导方程组对方程组对z022201zdzdyydzdxxdzdydzdx,yxzyd