初三数学二次函数的解析式的确定

1、初三数学二次函数的解析式的确定一 .本周教学内容：二次函数的解析式的确定知识要点1.若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式yax 2bxc（a 0）求解析式。2.若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式ya(xh) 2k，其中（ h， k）为顶点坐标。3.若已知二次函数图象与x 轴的两交点坐标，则应用交点式ya( xx1 )( xx2 ) ，其中x1 ， x2 为抛物线与x 轴交点的横坐标二 . 重点、难点：重点：求二次函数的函数关系式难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。三 . 教学建议：求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择

2、恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。【典型例题】例 1. 已知某二次函数的图象经过点 A（ 1， 6）， B（ 2， 3）， C（ 0， 5）三点，求其函数关系式。分析： 设 yax2bx c ，其图象经过点C（ 0， 5），可得 c5 ，再由另外两点建立关于 a、 b 的二元一次方程组，解方程组求出a、 b 的值即可。解：设所求二次函数的解析式为yax 2bx c因为图象过点C（ 0， 5）， c5又因为图象经过点A（ 1， 6）， B（ 2， 3），故可得到：a b56ab1a14a2b 53即b4解得：22ab所求二次函数的解析式为yx 22x5说明：当

3、已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为 y ax 2bx c ，然后确定 a、b、 c 的值即得，本题由C（ 0， 5）可先求出 c 的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。例 2.已知二次函数yax2bxc 的图象的顶点为（1，9 ），且经过点（ 2， 0），求2该二次函数的函数关系式。分析： 由已知顶点为（1，9 ），故可设 y a( x 1) 2 9 ，再由点（ 2， 0）确定 a 的22值即可解： 设ya( x1) 29 ，则2图象过点（ 2， 0），02129a()2 a1 ， y1 (x)29 ，2212即： y1 x 2x42说明： 如果题目已知二次函数图

4、象的顶点坐标（h， k），一般设 y a( x h)2k ，再根据其他条件确定a 的值。本题虽然已知条件中已设yax 2bxc ，但我们可以不用这种形式而另设 ya( xh) 2k 这种形式。 因为在 yax2bxc 这种形式中， 我们必须求 a、b、c 的值，而在 ya(xh) 2k 这种形式中， 在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a 的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。例 3.已知二次函数图象的对称轴是x3 ，且函数有最大值为2，图象与 x 轴的一个交点是（ 1， 0），求这个二次函数的解析式。分析： 依题意，可知顶点坐标为（3， 2），因此，可设解析式为顶点式解：设这个二

5、次函数的解析式为ya(x 3) 22图象经过（ 1， 0）， 0a(1322) a12所求这个二次函数的解析式为y1 ( x3) 222即：y1x2x5232说明： 在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。例4.已知二次函数yax 2bxc 的图象如图1 所示，则这个二次函数的关系式是_ 。图 1分析： 可根据题中图中的信息转化为一般式（或顶点式）（或交点式）。方法一： 由图象可知：该二次函数过（0，0），（ 2， 0），（ 1， 1）三点设解析式为 yax 2bxc0ca1根据题意得：04a2bc解得 b21abcc0所求二次函数的解析式为yx

6、22x方法二： 由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为（1， 1）设解析式为 ya( x1) 21图象过（ 0， 0）， 0a(01 21， a1)所求二次函数的解析式为y(x1)21即 yx22x方法三： 由图象可知，该二次函数图象与x 轴交于点（ 0， 0），（ 2， 0）设解析式为ya( x0)( x2)图象过（ 1， 1）1a(12) ， a1所求二次函数解析式为：yx( x2)即： y x 22 x说明： 依题意后两种方法比较简便。例 5.已知：抛物线在x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（2， 4），求这个函数的关系式分析： 由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x 轴的两个交点为（x ，

7、 0），（ x ， 0），则有12对称轴 x1 ( x1 x2 ) ，利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式2解： 顶点坐标为（2， 4）对称轴是直线x2抛物线与x 轴两交点之间距离为4两交点坐标为（0， 0），（ 4， 0）设所求函数的解析式为ya( x2) 24图象过（ 0， 0）点 0 4a 4 ， a1所求函数的解析式为yx 24 x例 6.已知二次函数y(m1) x 22mx(3m2) (m 1)的最大值是零，求此函数的解析式。分析：依题意， 此函数图象的开口应向下，则有 am 10 ，且顶点的纵坐标的值为零，则有： 4· ()(2)() 20 。以上两个条件都应满足，可

8、求m的值。m 1 3m2m4(m1)m10解：依题意：4( m1)(3m2)(2m)24(m1)0由得m1由得： m11 ， m22（舍去）2所求函数式为y( 1) x22× 1 x( × 12)21232即： y1 x 2x122例 7.已知某抛物线是由抛物线y2x2 经过平移而得到的，且该抛物线经过点A（1，1），B（ 2， 4），求其函数关系式。分析： 设所求抛物线的函数关系式为yax2bxc ，则由于它是抛物线y 2 x2 经过平移而得到的，故a 2，再由已知条件列出b、 c 的二元一次方程组可解本题。解：设所求抛物线的函数关系式为yax 2bxc ，则由已知可得a

9、2，又它经过点 A（ 1， 1）， B（ 2， 4）故：2bc1即 bcc1解得：b382bc42b4c2所求抛物线的函数表达式为：y2 x 23x2说明： 本题的关键是由所求抛物线与抛物线y2x2 的平移关系，得到a2例 8.如图 2，已知点A（ 4， 0）和点 B（ 6， 0），第三象限内有一点P，它的横坐标为2，并且满足条件tan PAB· tan PBA1图 2（ 1）求证： PAB是直角三角形。（ 2）求过 P、 A、 B三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。分析：（ 1）中须证 PA2PB2AB2 ，由已知条件：tan PAB· tan PBA1，应过 P 作 P

10、C x 轴（2）中已知 P、A、B 三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式解：（ 1）过 P作 PCx 轴于点 C，由已知易知AC 2，BC 8从而 tanPABPC ， tan PBAPC28 PC· PC1，解得： PC428P 点的坐标为（2， 4）由勾股定理可求得：PA2AC2PC220PB 2BC 2PC280 ，又 AB2100 AB2PA 2PB 2 ， APB90°故 APB是直角三角形（2）解法 1，可设过 P、 A、B 三点的抛物线的解析式为：yax 2bxc ，1a4a2bc441则有16a4bc0b36a6bc02c6 y1

11、x21 x61 (x 1) 2254244顶点坐标（ 1，25 ）4解法 2：由抛物线与x 轴交于 A（ 4， 0）， B（ 6， 0），可设 ya( x4)( x6) ，又抛物线过点P（ 2， 4）可求 a 值解法 3：由 A（ 4，0）， B（6， 0）可知抛物线的对称轴为x1可设 ya( x1)2k ，将 A、 B 点的坐标代入解析式可求a， k 的值例 9.如图 3 所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点A和 A1，点 B 和 B1 分别关于 y 轴对称，隧道拱部分 BCB1 为一段抛物线，最高点 C离路面 AA1 的距离为 8 米，点 B离地面 AA1 的

12、距离为 6 米，隧道宽 AA1 为 16 米图 3（1）求隧道拱抛物线BCB1 的函数表达式；（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4 米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7 米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。分析：（ 1）由已知可得顶点C 的坐标为（ 0， 8）， B 点坐标为（8， 6），从而可求其函数关系式。（2）假设汽车从正中行驶，则其最右边到y 轴的距离是2，于是求出抛物线上横坐标为的点的坐标，再看它到地面AA1 的距离是否大于7 米，由此可判断运货汽车能否安全通过隧道。解：（ 1）如图所示，由已知得OA OA1 8， OC 8，故 C 点坐标（ 0， 8），

13、B 点坐标为（8， 6）2设隧道拱抛物线BCB1 的函数表达式为yax28 ，则 ( 8) 2 ·a8 6，得 a132隧道拱抛物线BCB的函数关系式为1x28y132（2）设货运汽车从正中行驶，则其最右边正上方抛物线上的点的横坐标为 2，设这个点为D，过 D 作 DEx 轴于 E当 x 2 时， y1 ×22818 7 73288D 点坐标为（2， 77）， DE7 788DE 77 78该运货汽车能安全通过这个隧道。说明： 要求抛物线的函数关系式，关键是确定其上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式。本题第（ 2）小题中，还可以求出抛物线上纵坐标为 7 的点的坐标（有两

14、个） ，再比较这两点间的水平距离是否大于 4。例10.有这样一个问题：已知：二次函数yax2bxc的图象经过A（0， a）， B（ 1， 2），求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x2 ，题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法辨认的文字。（ 1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？若能，写出求解过程，若不能，说明理由。（ 2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整。分析： 仅由 A、B 两点无法求其关系式，但如果把待证的结论也看成已知条件，则可求出其关系式解：（ 1）能yx24 x 1，过程如下由图象经过点A（ 0， a），得 c a将图象对称

15、轴为直线x2 看成已知条件，则抛物线 yax 2bxc 的对称轴是直线 xb2ab4a2得b2a yax 24axa抛物线经过点 B（1， 2） a4a a2， a1所求二次函数的关系式为yx24x12b4a（或 a1或 b 4或其他条件）（ ）可补充条件：说明：二次函数 yax 2bx c 配方后可变形为ya( xb ) 24ac b2，故其图象2a4a的对称轴是直线 xb ，顶点坐标是（b ， 4acb2）2a2a4a第（ 2）题的答案不唯一，补充的条件只要能求出其关系式为yx 24 x1 即可。例 11. 已知四点 A（ 1，2），B（ 0，6）， C（ 2，20），D（ 1，12），试

16、问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。分析： 先求出经过 A、 B、 C的抛物线的关系式，再验证点 D 是否在所求抛物线上，若在，则存在这样的二次函数；若不在，则不存在这样的二次函数。解：设图象经过A、 B、 C 的二次函数为 yax 2bx c则由图象经过点B（0， 6），可得 c 6又图象经过点A（1， 2）， C（ 2， 20） ab62即： ab44a2b 6202ab7解得：a1b5经过 A、B、 C 三点的二次函数为yx 25x6当 x1时， y (1) 25× (1)612点 D（ 1， 12）在函数 yx

17、 25x 6 的图象上即存在二次函数 y x 25x6 ，其图象同时经过四个点。说明： 探索同时经过四点的抛物线的问题，可先求出经过其中三个点的抛物线的关系式，再判断第四个点是否在所求抛物线上。【模拟试题】一、填空题1.抛物线 y3x 28 向右平移 5 个单位的抛物线的函数关系式是 _ 。2.二 次 函 数 ynx 22x n 4n2 的 图 象 经 过 原 点 ， 则 其 函 数 关 系 式 是_ 。3. 若抛物线4. 对称轴是yx 2mxn 的顶点是（ 1， 3），则 m_ 。x 1 的抛物线过点 M（ 1， 4）， N（ 2， 1），这条抛物线的函数关系式为_ 。5. 已知二次函数 y

18、 x 2 bx c 的图象过点 A（ 1 ， 0 ）， B（ 0 ， 4 ），则其顶点坐标是_ 。6. 已知二次函数，当 x 0 时， y 3；当 x 1 时，它有最大值 1，则其函数关系式为_ 。二、选择题：7.已知：抛物线yx26xc 的最小值为1，那么 c 的值是（）A. 10B. 9C. 8D. 78.已知二次函数yax 2bxc 的图象过点（ 1， 1），（ 2， 4），（0， 4）三点，那么它的对称轴是直线（）A.x3B.x1C.x1D.x 39. 一个二次函数的图象过（ 1， 5），（ 1， 1）和（ 3， 5）三个点，则这个二次函数的关系式为（）A.yx22x2B.yx 22x2C.yx 22 x1D.yx 22x210.已知函数 yax 2bx c 的图象如图1，则此函数的关系式为（）图 1A.yx22 x3B.yx 22 x3C.yx22x3D.yx22x3三、解答题：根据下列条件，求二次函数的解析式（ 1）图象经过点（ 1， 3），（1， 3），（2， 6）（ 2）抛物线顶点坐标为（ 1， 9），并且与 y 轴交于（ 0， 8）（3）抛物线的对称轴是直线x1 ，与 x 轴的一个交点为（2，