初中几何反证法专题(编辑)

1、初中几何反证法专题学习要求了解反证法的意义，懂得什么是反证法。理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。知识讲解对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法， 它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法， 对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。1反证法的概念：不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。2反证法的基本思路：首先假设所要证明

2、的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来， 并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。3反证法的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立；- 1 -(2) 从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；(3) 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确简而言之就是“反设归谬结论”三步曲。例题：例 1 已知： AB 、CD 是 O 内非直径的两弦（如图1 ），

3、求证 AB 与 CD 不能互相平分。证明：假设 AB 与 CD 互相平分于点M 、则由已知条件AB 、CD 均非 O 直径，可判定M 不是圆心 O，连结 OA 、OB 、OM 。OA OB ，M 是 AB 中点（ 1）OM AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）同理可得：OM CD，从而过点M 有两条直线AB 、 CD 都垂直于OM这与已知的定理相矛盾。故 AB 与 CD 不能互相平分。例 2 已知：在四边形的中点，且MN 求证： AD BCABCD中， M 、 N 分别是AB 、DC（ AD BC ）。- 2 -（ 2 ）证明：假设ADBC ，连结 ABD ，并设 P 是 BD 的中点，再

4、连结MP 、PN 。在ABD 中BM MA ，BPPDMPAD ，同理可证PNBC从而 MP PN （AD BC）这时， BD 的中点不在MN 上若不然，则由MN AD ， MN BC，得 AD BC 与假设 ADBC 矛盾，于是 M 、P、 N 三点不共线。从而 MP PN MN由、得（ AD BC ） MN ，这与已知条件MN （ AD BC）相矛盾，故假设 ADBC 不成立，所以AD BC。课堂练习1 求证：三角形中至少有一个角不大于60 °。2 求证：一直线的垂线与斜线必相交。已知：设m ， n 分别为直线l 的垂线和斜线（如图），垂足为 A ，斜足为 B。求证： m 和 n

5、 必相交。- 3 -3在ABC 中， AD BC 于 D，BEAC 于 E，AD 与 BE 相交于 H，求证： AD 与 BE 不能被点H 互相平分。4 求证：直线与圆最多只有两个交点。5 求证：等腰三角形的底角必为锐角。已知：ABC 中， AB AC ，求证： B、C 必为锐角。参考答案：1 证明：假设 ABC 中的A 、B、C 都大于 60 °则A BC 3 ×60 °180 °这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。故三角形中至少有一个角不大于60 °。2 证明：假设m 和 n 不相交则m nm l n l这与 n 是 l 的斜线相矛

6、盾，所以假设不能成立。故 m 和 n 必相交。- 4 -3 证明：假设AD 、 BE 被交点 H 互相平分，则ABDE 是平行四边形。AEBD ，即 AC BC这与 AC、 BC 相交于 C 点矛盾，故假设 AD 、 BE 被交点 H 平分不能成立。所以 AD 与 BE 不能被点H 互相平分。4 证明：假设一直线l 与 O 有三个不同的交点A 、 B、 C，M 、 N 分别是弦 AB 、 BC 的中点。OA OB OC在等腰OAB 和OBC 中OM AB ，ON BC从而过 O 点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。因此直线与圆最多只有两个交点。5 证明：假设 B、C 不是锐角

7、，则可能有两种情况：(1) BC90 °(2) BC90 °若BC 90 °，则ABC 180 °，这与三角形内角和定理矛盾。若BC 90 °，则 A BC 180 °，这与三角形内角和定理矛盾。所以假设不能成立。故B、C 必为锐角。- 5 -本讲小结对于一个几何命题，当用直接法证比较困难或甚至不能证明时，则可采用简接证法，反证法就是一种最常见的间接证明方法、掌握并运用好这种方法，对思维能力的提高大有裨益。所谓反证法， 就是先假设命题的结论不成立，从结论的反面入手，进行正确的逻辑推理，导致结果与已知学过的公理、定理，从而得出结论的反面

8、不成立，于是原结论成立。反证法证题的一般步骤是：(1) 反设：将结论的反面作为假设；(2) 归谬：由“反设”出发，利用已学过的公理、定理，推出与已知矛盾的结果；(3) 结论：由推出的矛盾判断“反设”错误，从而肯定命题的结论正确。运用“反证法”的关键：反证法的主要手段是从求证的结论的反面出发，导出矛盾的结果，因此，如何导出矛盾，就成了使用反证法的关键。“反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说 “正难则反” 凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。课后作业1 求证：在平面上，不存在这样的凸四边形ABCD ，使ABC 、BCD 、CDA 、DAB 都

9、是锐角三角形。- 6 -2 在ABC 中， AB AC ， P 是内部一点且 APB APC ，求证： PB PC。3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60 °。4 求证：在 ABC 的 BC 边上任取一点D 、 AC 边上任意取一点E，连结 AD 、 BE，则 AD和 BE 必定不能互相平分。5 已知ABC 为不等边三角形，AD BC 于 D 点，求证： D 点到 AB 、AC 边的距离必不相等。参考答案：1证明：假设存在凸四边形ABCD ，使ABC 、BCD 、CDA 、DAB 都是锐角三角形。则ABCD 360 °。- 7 -这与四边形 ABCD 中A

10、 BCD 360 °矛盾。故假设不能成立，所以原命题成立。2证明：假设 PBPC，即 PBPC 或 PBPC(1) 当 PB PC 时 （如图）在PBC 中，可得 PCBPBCAB ACABC ACB ，从而ABP ACP在BAP 与CAP 中ABAC，APAP，PBPCBAP CAP由和三角形内角和定理，可得APBAPC，这与已知APB APC 相矛盾。(2) 当 PB PC 时，在APB 与APC 中APAP，BPCP，ABACABP ACP，APBAPC这与已知APB APC 相矛盾，由 (1)(2) 可知假设 PBPC 不成立。故 PBPC。- 8 -3证明：不妨设三角形的三个内角为A、B、C 假设A 、B、C 中设有一个大于或等于60 °，则它们都小于 60 °。即A 60 °、B60 °、C 60 °ABC 180 °这与三角形内角和定理矛盾，这说明假设不成立。故A、B、C 中至少有一个大于或等于60 °。4证明：假设 AD 和 BE 互相平分于 P 点，则 ABDE 应是一个平行四边形。所以 AEEB，即 AC BC这与 AC 与 BC 相交于 C 点矛盾，故