求函数解析式的方法函数解析式的方法

1、函数解析式的方法在高中数学学习中，会遇到求函数解析式的一类题， 这里是指已知fg(x)或gf(x)，求f(x)或g(x)，或已知f (x)或g(x)，求f g(x)或g f (x)等复合函数的解析式，这些问题是学生在学习中感到棘手的问题。解决这些问题是否有一套有效的方法可循呢？回答是肯定的。这类题在现行的高中数 学教科书中几乎没有，但在一些二类教材如目标测试等书中有很多类似题，它与课本上的函数这一内 容关系密切，并且具有一定的规律性，故就有一些有效的解题方法，根据本人的教学心得整理如下：一、定义法：f (sin x)fcos( x) cos17( x)cos(82 17x)cos(?17x)s

2、in 17x.例 1：设 f (x 1) x2 3x 2，求 f (x).解：f (x1)2 x3x2(x1) 12 3(x 1) 1 2=(x 1)2 5(x 1) 62f (x) x 5x6例 2 :设 ff(x)x 1，求x 2< f (x)解：设ff (x)x 1x 11f(x)-1x 2x 11 11x1x1例3:设f (x)x2 1x 2 x,g(x丄)x3 x1 -3 x，求 fg(x).1解：f(x -)x2 1x 2 x(x丄)2x2f(x) x22又 g(x I) x3x113(x)xx3 3(x丄)xg(x)x3 3x故 fg(x) (x33x)2 2x66x49x

3、2 2例 4 :设 f (cos x)cos17x,求f (sin x).解、待定系数法:例 5:已知 f (x 2) 2x2 9x 13，求 f(x).解：显然，f(x)是一个一元二次函数。设 f(x) ax2 bx c (a 0)则 f(x 2)又 f(x 2)1 f (x)3a(x 2)22x22x2三、换元（或代换）法:1 x例6 :已知f( )x1 x解：设 xt,则x1Tt 1cosxf(t)例8 :若9xb(x 2) c13(t比较系数1,求 f (X).xf(t)1)21f (xx-)(t1)t2f (cos x1)2cos x，求 f (x).1,(tf(x)在（1）式中以又

4、以(1)cosxf(x)ax24a(b4a2b4a)x (4a132b c)1)2, ( 2 t 0)即 f(x)x 1彳f( ) 1 xxf(x(1)x212- xf(x)cosx1,cosx t1)2,2,0x 1代替x得f ()xf(丿1-)2x 1(2)代替（1）式中的1(2) 得 : 2f(x)12x(x 1)x 得:f()f(x)x 2 2x 13xx(x 1)x21例9:设f (x)满足af (x)bf(-)xcx (其中a,b,c均不为0,且ab)，求f (x)。解:af(x) bf)cxx(1)用1来代替x，得af(-)xbf(x)(2)a (1)b (2)得:(a2b2)f

5、(x)acx2 bca四、反函数法:f(x)2 acxbc(a2 b2)x1，对于任意正整数x,y，均有f(x)解：由f(1)1，f(x)f(y)f(xy) xy 设 y即：f (x 1)f(x) x1在一上式中，x分别用1,2,3,可得：f (t)1丄丄2(t 2)(t1)1 b221-t f(x)六、累差法：例 12:若 f (1)lg 1，且当x2时,满足f(x 1)f (y) f (x y) xy，求 f (x).f(x)a1 2 x21 得：f(x),t 1代替,解:f(x)f(x 1) lgaxf(x2)x 3f (x 3) lga1 f(x 1)然后各式相加(x N )lgax1

6、,(a0,x1 (a 0,x N )递推得：f (x 1)f(xf(3)2)f (2)iX 2lg alg a2解:设tax 10，则 x 1loga t 即 xlog at1代入已知等式中，得f(t)(log；J 1)22 log2t2 log a t 3f(x)2log a x 2 log a x 32,求 f(x).2 x1)例10：已知f (ax五、特殊值法:例11 :设f (x)是定义在n上的函数，满足f (1)f(2)f(1) lga以上(x1)个等式两边分别相加，得:f(x)f (1) lga lga2x 2x 11 2lg a lg a f(1) lga(x 2)(x 1)x(x 1)X(x 1)1<八,1221x(x 1)lg lg a 2 lg a 21 lgaa2七、归纳法:例13:已知f(x 1)2f (x), (xN )且 f (1)a，求 f (x).解:f(1) a, f(2)f(3)1訂f(4) 2f(3) 22(212012?af(5)12f(4)41 1-(3-2 2类推，得f(x)2? x12x 1解:八、微积分法:例 14：设 f (sin 2x)f(x)f(1)(s