正弦余弦定理应用举例课件

1、一、正弦定理一、正弦定理RCcBbAa2sinsinsin ABCabcABCBacAbcCabSsin21 sin21 sin21 正弦定理应用的两种类型正弦定理应用的两种类型：1）知两角和任一边，求其它的两边和一角）知两角和任一边，求其它的两边和一角2）知两边和其中一边的对角，求另一边和角）知两边和其中一边的对角，求另一边和角三角形的一些基本性质三角形的一些基本性质1）在）在ABC中，中，A+B+C=1802）大边对大角，即）大边对大角，即 ab ABABCabc二、余弦定理二、余弦定理 Ccosab2bacBcosac2cabAcosbc2cba222222222 ab2cbaCcosa

2、c2bcaBcosbc2acbAcos222222222 ABCabc利用余弦定理可解决两类解三角形问题利用余弦定理可解决两类解三角形问题（1）知三边求三角）知三边求三角（2）知两边和它们的夹角，求第三边，）知两边和它们的夹角，求第三边，进而可求其它的角进而可求其它的角ABC高度高度角度角度距离距离正弦定理和正弦定理和余弦定理余弦定理在实际问题中的应用在实际问题中的应用工具：经纬仪，钢卷尺工具：经纬仪，钢卷尺等测量角和距离等测量角和距离ABABC在B的同一侧选定一点C例例1、设、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同侧所在的河

3、岸边选定一点的同侧所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是55cm，BAC51o， ACB75o，求求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形BACCABsinsin解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得ABCACACBABsinsin)(7 .6554sin75sin55)7551180sin(75sin55sinsin55sinsinmABCACBABCACBACAB答：答：A、B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。ABCD例例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设

4、计一种两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。测量两点间的距离的方法。分析：用例分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一的方法，可以计算出河的这一岸的一点点C到对岸两点的距离，再测出到对岸两点的距离，再测出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以计算出借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。.AB45ACB60ACD30CDBADB23CDBA 两点的距离两点的距离，求，求，千米，千米，定定的距离，在河的这边测的距离，在河的这边测两点间两点间、如图，为了测量河对岸如图，为了测量河对岸课堂练习：课堂练习： ABCD30453060例例2解法：解法：1.

5、 在在BDC中求中求BC2. 在在ABC中求中求AB 在测量过程中在测量过程中, ,要根据实际需要选取合要根据实际需要选取合适的基线长度适的基线长度, ,使测量具有较高的精确度使测量具有较高的精确度. .注意：注意： 在例题中我们根据测量需要适当确定在例题中我们根据测量需要适当确定的线段叫做的线段叫做基线基线. .实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推理推理演算演算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明解应用题的基本思路解应用题的基本思路1.审题（分析题意，弄清已知和所求，根据题意，画出示意图；2.建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）3

6、.求模（正确运用正、余弦定理求解）4.还原。小结：求解三角形应用题的一般步骤：小结：求解三角形应用题的一般步骤： 例题例题3 3：在山顶铁塔上：在山顶铁塔上 处测得地面上一点处测得地面上一点 的俯的俯角角 ，在塔底，在塔底 处测得点处测得点 的俯角的俯角 ，已知铁塔已知铁塔 部分高部分高 米，求山高米，求山高 。BA60CA45BC32CD解解 : : 在 在 A B CA B C 中中 , , A B C = A B C = 30,ACB =135,ACB =135，CAB =180CAB =180(ACB+ABC)(ACB+ABC)=180=180(135(135+30+30)=15)=1

7、5又又BC=32,BC=32, 由正弦定理由正弦定理 , ,得得 sin BACsinABCBCACsinABC32sin3016sin BACsin15sin15BCAC 例题例题3 3：在山顶铁塔上：在山顶铁塔上 处测得地面上一点处测得地面上一点 的俯的俯角角 ，在塔底，在塔底 处测得点处测得点 的俯角的俯角 ，已知铁塔已知铁塔 部分高部分高 米，求山高米，求山高 。BA60CA45BC32CD在等腰在等腰RtRtACDACD中，故中，故 22168 216( 31)22sin15sin15CDAC山的高度为山的高度为 米。米。 16( 31)练习练习1自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计

8、时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算计算BC的长（精确到的长（精确到0.010.01m m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）练习题中涉及一个怎样的三角）练习题中涉及一个怎样的三角形？形？在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB练

9、习练习1自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算计算BC的长（精确到的长（精确到0.010.01m m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夹角夹角CAB6620，求求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得571. 3 0

10、266cos40. 195. 1240. 195. 1 cos2 22222AACABACABBC)(89. 1m BC答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。 CAB例例4、一艘船以、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北的速度向正北航行。在航行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的方的方向，向，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔在处看灯塔在船的北偏东船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？艘船可以继续沿正北方向航行吗

11、？北方向航行答：此船可以继续沿正向航行此船可以继续沿正北方则的距离为到直线设点，由正弦定理得，中，解：在milenhmilenSBhhABSmilenABSBSSBAASB5.6)(06.765sin,)(787.745sin20sin1.1645sin20sin45115练习：一艘船以练习：一艘船以30nmile/h的速度向正北航行。在的速度向正北航行。在A处看灯处看灯塔塔S在船的北偏东在船的北偏东30o，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东75o方向上。求灯塔方向上。求灯塔S和和B处的距离。处的距离。 练习练习4 国家计划在江汉平原国家计划在

12、江汉平原A，B，C三城市间修三城市间修建一个大型粮食储备库，要求粮库修在与三市等建一个大型粮食储备库，要求粮库修在与三市等距离的地方，与粮库相应的附属工程是从粮库修距离的地方，与粮库相应的附属工程是从粮库修三条通往三市的公路，已知三条通往三市的公路，已知A，B，C三市两两间三市两两间的最短距离分别为的最短距离分别为60公里，公里，50公里和公里和40公里，且公里，且公路造价为公路造价为50万元万元/公里，求出三条公路的最低造公里，求出三条公路的最低造价。（结果保留两位小数，价。（结果保留两位小数， ）6457. 27 ABCO605040O605040BAC解：如图，依题意设圆解：如图，依题意

13、设圆O为为的外接圆，则的外接圆，则O为粮库修建地，令为粮库修建地，令AB=60，BC=50，AC=40，要使公路，要使公路的总造价最低，则公路总长应为的总造价最低，则公路总长应为3OAABC R47sin43506024050602cos222222 BBCBAACBCBAB77160sin2 BACR即7780 R所以，公路的最低造价为所以，公路的最低造价为66.453536457.278050 （万元）（万元） 答：略答：略1、解决应用题的思想方法是什么？解决应用题的思想方法是什么？2、解决应用题的步骤是什么？、解决应用题的步骤是什么？小结：小结：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推理推理演算演算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明解应用题的基本步骤解应用题的基本步骤练习练习：（1）在某次测量中，在）在某次测量中，在A处测得同一方向的处测得同一方向的B点的仰角为点的仰角为60o，C点的俯角为点的俯角为70o，则，则BAC等于（等于（ ）（A）100（B）500（C）1200（D）1300（2）若）若P在在Q的北偏东的北偏东44o50，则，则