圆锥曲线联立及韦达定理

1、圆锥曲线联立及韦达定理1、圆锥曲线与直线的关系椭圆与双曲线与给定直线的关系通过联立方程所得解的情况来判定:椭圆：22221 (a b 0)a b2 2双曲线：爲打 1 （a、b>0） a bf直线：y kx m（PS:这里并没有讨论椭圆的焦点在y轴、双曲线的焦点在 y轴及直线斜率不存的情况，做题需要补充）（1）椭圆与双曲线联立:J £x22 kmb2 1（PS :联立时选择不通分，原因看完就知道了）类一元二次方程：Ax2 Bx C 01k2A （22），所以A>0，即方程为a b*兀二次方程。判别式:B2 4AC(2km、24(4a化解得:4(2a1)当0，方程无实根，直

2、线与椭圆没有交点;2)当0，方程有两个相同的根，直线与椭圆相切;（相切是因为重根，而不是只有一个根）3）当 0，方程有两个不同的实根，直线与椭圆相交（2）双曲线与直线联立:2 km 丁%类一元二次方程中,A2 kmb24(4ak22aV)当A0,B0时,方程为1 0，无解，直线与双曲线相离；（此时为渐近线）当A0,B0时，方程为兀一次方程，只有一个解，直线与双曲线只有一个交点（此时为渐近线1)2)的平行线） 3）当A 0,0时，一元二次方程无实数解，直线与双曲线相离;4）当A 0,0时，一元二次方程有两个相同实数解，直线与双曲线相切;5）当A 0,»0时，一元二次方程有两个不同实数解

3、，直线与双曲线相交PS:注意双曲线与直线联立和椭圆与直线联立的方程及最后判定的异同!2、联立方程与韦达定理(1)韦达定理:Ax2 Bx C 0运用韦达定理的前提：A 0,022xiX2NX2X2(N X2)2 4X1X2(2)椭圆与直线联立相关的韦达定理:2“ 1 k、 2 2km(22)X厂Xa bbXiX2%X22km歹；1 k2 'a2 b22m_ 1b2；1丄；XiX221 k2 m2 a2 b2a2b21 k2a2 b2kXm可得到关于y的韦达定理:y1y2(kX-! m) (kx2 m) k(X-ix2) 2m2k2mZbE2m(gab!1 k2 a2 b22m1 k222

4、y1 y2 (kx1 m)( kx2 m) k y1 y2 km(x1 x2) m22.2/m2km 2/1 k、k ( 1) km(盯)m (2)bba bk2b22m2aTayi12ak2b2(a m)(kx2 m) k x1 Xjyiy22k 1 k22W孑 b71 k2孑b"2m2a b；(3) 双曲线与直线联立相关的韦达定理:a22、 2 2km2)x 苗 xb2102kmb2k2，b22 a2 mXjX2b212&b2X1X22、Ik2b2k2m2a2b2a2b2由y kx m可得到关于y的韦达定理:y1y2(km m) (kx2 m) k(x.| x2)2m2k2m2mG1 k2b22myi y22a .1兰；n b2m)( kx2 m)k2y1 y2 km(x.| x2) m22km.1) km(p )b育b2m2(4 禺a b2k2m2aTayiy2(kx m)(kx2 m) k x1X21k22 m1 2 22 2*a b a b ；2 ；yiy2PS:1、所有韦达定理所得的结果分母都一样，之后的处理就不需要通分;2、记住部分结论（联立的一元二次方程和判别式必须记住）会事半功倍;3、双曲线相关的式子与椭圆相关式子的区别,所有带2b项变号。