高中数学,函数定义域值域求法总结

1、函数定义域、值域求法总结.求函数的定义域需要从这几个方面入手:(1) 分母不为零(2) 偶次根式的被开方数非负。(3) 对数中的真数局部大于 0(4) 指数、对数的底数大于0,且不等于1(5) y=tanx 中 x工 k n + n /2 ; y=cotx 中 x 工 kn 等等。 (6 ) x0 中 x 0常用的求值域的方法:二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。(2)图象法(数形结合)(4)配方法(6)反函数法(逆求法)(8)判别式法(10 )不等式法(I) 直接法(3)函数单调性法(5)换元法 (包括三角换元)(7)别离常数法(9)复合函数法(II) 平方法等等这些解题思想与方法贯穿

2、了高中数学的始终定义域的求法1、直接定义域问题例1求以下函数的定义域:f(x)2 ，x 2f(x)3x 2 : f(x).x 112 x解：x-2=0 ,即x=2时，分式1无意义，x2而x2时,1分式'有意义，这个函数的定义域是x | x 2 .x 2T 3x+2<0,即x<-时，根式.3x 2无意义,3Q而3x 2 0，即x-时，根式-3x 2才有意义,32 这个函数的定义域是x| x -.3当 x 10且2 x 0，即 x 1 且 x1和分式2-同时有x意义， 这个函数的定义域是x| X2另解：要使函数有意义，必须:例2求以下函数的定义域: f (x)f(x).x2 3

3、x 4 f (x)f(x)(x 1)013 3x 7解：要使函数有意义，必须:即:函数f(x) 八41的定义域为:3, 3要使函数有意义，必须:x23x 41 2x3或 3 x定义域为： x| x4要使函数有意义，必须:1丄x11函数的定义域为：x | x0,1,要使函数有意义，必须:定义域为：x|x 1或要使函数有意义，必须:x 23 03x 7即x< &或x> 3定义域为:x|x72定义域的逆向问题例3假设函数yax2 ax1的定义域是aR求实数a的取值范围(定义域的逆向问题)ax解：定义域是R,ax4a等价于练习：y log x2 mx 32定义域是一切实数，那么 m

4、的取值范围;3复合函数定义域的求法例4假设函数yf (x)的定义域为1，求函数f(x寸)f(x丄)的定义域+4解：要使函数有意义,-4-4必须:54343454函数f(xf(x4)的定义域为:x|例5f(x)分析：法那么1)的定义域。2x 1上必也要求 2x 1的定义域为1,1，求f(2xf要求自变量在1, 1内取值，那么法那么作用在在1, 1内取值，即 K 2x K 1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从 位置上思考f(2x 1)中2x 1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，一1 < 2x 1 < 1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。(注意：f(x)中的x与f

5、(2x 1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。) 解： f(x)的定义域为1，1， K 2x 1 < 1，解之 OW x< 1， f(2x 1)的定义域为0，1。例6f(x)的定义域为1,1，求f(x 2)的定义域。答案：K x2< 1 x2 w 1 K x w 1练习：设f (x)的定义域是3, ,2，求函数f(.、x 2)的定义域解：要使函数有意义，必须： 3'.X 22 得： 1'、兴22x > 00. x 2<20 x 64.2.函数f(.x 2)的定域义为：x|0 x 62例7f(2x 1)的定义域为0 , 1，求f(x)的定义域因为2

6、x 1是R上的单调递增函数，因此由 2x 1，x 0,1求得的值域1，1是 f(x)的定义域。练习：1f(3x 1)的定义域为1，2)，求f(2x+1)的定义域。-,2)2(提示：定义域是自变量 x的取值范围)2f(x 2)的定义域为1，1，求f(x)的定义域3假设y f x的定义域是0,2，那么函数fx 1f 2x 1的定义域是( )A.1,11 1B-2'2C.D.0,14函数1 x f x1 x的定义域为A，函数yff x的定义域为B，那么( )A.AUB BB. B AC.AIBBD. AB求值域问题利用常见函数的值域来求(直接法)一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值

7、域为R;k y (k 0)反比例函数 x的定义域为x|x0，值域为y|y 0;2二次函数f(x) ax bx c(a 0)的定义域为R，2 2I (4ac b )i (4ac b )y| y y |y 当a>0时，值域为4a ；当a<0时，值域为4a . y=3x+2(-1X 1) f (X)2二(1 x 3)3xy1X 一记住图像X解：) -1X 1 , -33x 3, -13x+25，即-1 y5 ,值域是-1 , 5略当 x>0 ,1y X XL1=ZxX)2 2 2,例1求以下函数的值域当X<0时，y1 一)=C. XXX2 2值域是22 , +.此法也称为配方

8、法1函数y x 的图像为:x二次函数在区间上的值域最值：例2 求以下函数的最大值、最小值与值域:yx2 4x1;；2y x 4x 1,x 3,4yx2 4x1, X0,1；yx 4x 1, x0,5；解：- 2-y x4x1 (x2)23,顶点为2,-3，顶点横坐标为2 t抛物线的开口向上，函数的定义域R,y11J|-2 -1 o12 34 5 6x-1/ f-2-3xj x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是y|y -3 . 顶点横坐标2 3,4,当 x=3 时，y= -2 ; x=4 时，y=1 ;在3,4上，ymin =-2 , ymax = 1 ；值域为卜2 , 1.在0,

9、1上，ymin =-2 , ymax = 1 ；值域为-2 , 1.t顶点横坐标 20,5，当 x=0 时，y=1; x=2 时，y=-3, x=5 时，y=6,在0,1上，ymin =-3 , ymax=6；值域为_3 , 6.注：对于二次函数 f (x)2 axbxc(a0),假设定义域为R时，当a>0时，那么当xb时,其最小值y .min(4ac b2).;2a4a当a<0时，那么当xb2a时,其最大值ymax(4ac b2) 4a假设定义域为x a,b,那么应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b. 假设x0 a,b,贝U f(x0)是函数的最小值(a>0)时或最

10、大值(a<0)时，再比拟f(a), f(b)的大小决定函数的最大(小)值 假设x° a,b,那么a,b是在f (x)的单调区间内，只需比拟f(a), f(b)的大小即可决定函数的最大(小)值注：假设给定区间不是闭区间，那么可能得不到最大(小)值；当顶点横坐标是字母时，那么应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论练习：1、求函数y=3+ . 2 3x的值域解：由算术平方根的性质，知 2 3x >0，故3+. 2 3x >3。二函数的值域为3,2、求函数y x2 2x 5 , x 0,5的值域x 1 时，ymin 4解： 对称轴x 10,5X 5时，ymax

11、20值域为 4,201单调性法例3 求函数y=4x .1 3x (x < 1 的值域。设f(x)=4x,g(x)= .1 3x ,(x W 1，易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x-1 3x在定义域为x < 1/3上也为增函数，而且y < f1+g1=4/3,因此，所求的函数值域为y|y w 4/3 。小结：禾U用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+、4x的值域。答案：y|y > 32换元法例4 求函数y2,1 x的值域t2 2t

12、 1(t0)对称轴t值域为点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确 定出原函数的值域。这种解题的方法表达换元、化归的思想方法。它的应用十分 广泛。0,，且开口向下 当t1时，ymax 2,2练习：求函数y= . x 1 x的值域。答案：y|y <- 3/4 求1 sin xcosx的值域;sin x cosx例5 三角换元法求函数 y.1 x2的值域解:x cos0,y cossincossin2s(；)原函数的值域为1,、2小结：1假设题目中含有1，那么可设asin , 2邪或设*迹°(2)假设题目中含有a2 b21那么可设a cos ,

13、bsin，其中0(3)假设题目中含有1 x2，那么可设xcos ，其中(4)假设题目中含有1 x2，那么可设xtan ，其中rsin 其中(5)假设题目中含有x y r (x Qy Qr 0),那么可设x Ur cos , y3平方法例5选求函数y.x3. 5 x的值域解：函数定义域为：x3,5y2 (x 3) (5x)2x28x 15由 x3,5 ,得 x2 8x 150,1y22,4 原函数值域为.2,24别离常数法例6 求函数yx 2r_2小结:练习求函数求函数x 1的值域23_2ax1 ，可得值域yy 1分式函数CX7(c0，如果在其自然定义域代数式自身对变量的要求内，值域为采用局部分

14、式法将原函数化为求值域。2x 1的值域4x 6如果是条件定义域对自变量有附加条件，ad beex d(adbe ，用复合函数法来求函数2x 1y=2x 1的值域；y -1 , 1例7求yx 3x 1的值域4,x 1解法一：图象法可化为y 22x ,1 x 34,x 3观察得值域y 4 y 4解法二：不等式法x 3 x 1 |(x 3) (x 1)x 3 x 1 (x 1) 4 x 1 x 1 4 x 1同样可得值域练习：y xx 1的值域1,例8 求函数y9x 3x 2 (x0,1 的值域解：换元法设3x t ，那么13原函数可化为例9求函数y解：换元法y t2 t值域为2 , 对称轴2,81

15、,3时，ymin 2 ； t时，ymax 8x2 2x的值域令t x22x(x1)21)由指数函数的单调性知,例10 求函数解：图象法换元法原函数的值域为的值域0)值域为如图,0,1那么yy 2x (x33x 1t原函数的值域为0,1例13函数y2x2x的值域解法一:逆求法x2原函数的值域为1,1解法二：换元法设x21 t ，那么t 10-21 y 1原函数值域即得ty解法三：判别式法原函数可化为(y 1)x20 x y 101) y 1时不成立2) y 1 时， 00 4( y 1)( y 1)01 y 11 y 1综合1)、2)值域 y | 1 y 1解法四：三角换元法x R设 x tan

16、2, 2，那么1 tan21 tan2cos2 2cos2 1, 1原函数的值域为y | 1 y 1例14求函数y2的值域2x4x 3解法一一：判别式法2化为2yx 4yx(3y1) y0时，不成立2) y0时，0得(4y)8y(3y5)00 y50 y 5综合1 )、2)值域y |0 y 5解法二：复合函数法令 2x2 4x 3 t，那么 yt 2(x 1)2110 y 5所以，值域y |0 y 51例15函数y x 1的值域x2解法一：判别式法原式可化为x 1 yx 1 00(1 y)2 40y3或y1原函数值域为,13,解法二:不等式法1当x0时，x-2y3x11X ( x)2y12)

17、x 0 时，x(x)综合12知，原函数值域为,13,例16 (选)求函数y X? 2x 2(x1的值域x1解法一:判别式法原式可化为 x2(2y)x2y 00 (2y)24(2y)0y2或y 2x1 y2舍去原函数值域为2例17选求函数x2 2x 2( 2x 1x 2的值域解：换元法令x 1，那么原函数可化为小结：分式函数y£bxc(a2dx ex fd20，如果在其自然定义域内可采用解法二：(x 1)2 1 1(不等式法)原函数可化为 yx 12 ( x1)x 1x 1当且仅当0时取等号，故值域为2 ,判别式法求值域; 以化为適y 一次式如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意

18、取舍，或者可y 一次式的形式，采用局部分式法，进而用根本不等式法求 二次式出函数的最大最小值；如果不满足用根本不等式的条件，转化为利用函数 y x旦x 0的单调性去解。x练习：1、y x2 2 9x 0；x2 i解：T x 0, y x 29 (xx1)2x11，二 y11.9 2911 (或利用对勾函数图像法)2、5y2x2 4x 30<y5.3、求函数的值域yx 2 x ； y 2 4x解:令u2 x0,那么 x 2 u2,原式可化为y 2 u2(1、29u(u -)-,另外，此题利用根本不等式解更简捷:2 x,1x29 u 0 , y ,函数的值域是(42解：令t=4x x 0得0x4在此区间内(4X x2) max=4，(4x x2) min =0函数y 2. 4x x2的值域是 y| 0 y 24、求函数y=|x+1|+|x-2| 的值域.2x 1(x1)画出它的图象(以下图)，解法1:将函数化为分段函数形式：y 3( 1 x 2)2x 1(x2)由图象可知，函数的值域是y|y 3.1 , 2的距离之和，易见解法2：t函数y=|x+1|+|x-2| 表示数轴上的动点 x到两定点y的最小值是3,二函数的值域是3 , +. 如图_d:di-x -1 O 12-1 Ox 12-1 O5、求函数y 2x 4 1 x的值域解：设 t . 1