高中数学平面向量知识点总结(20210908150426)

1、高 中 数 学 知识点归纳一. 向量的根本概念与根本运算1向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量 向量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的uuuuuu起点与终点的大写字母表示，如:AB几何表示法 AB， a ;坐标表示法、uuua xi yj x, y.向量的大小即向量的模长度，记作| AB |即向量的大小,记作丨a | ,向量不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小. 零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行 零向量a = 0| a 1= 0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在注有关向量平行共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量这个条件.意与0的区别 单

2、位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量| a0 | = 1-平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以 移到同一直线上 方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a / b由于向量可 以进行任意的平移即自由向量，平行向量总可以平移到同一直线上， 故平行向 量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选 取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线与几何中的“共线、的含义，要“平行是不一样的.相等向量经过平移后总可以重合，记理解好平行向量中的“平行与几何中的 相等向量：长度相等且方向相同的向量为a b大小相等，方向相同x-yjX2,y2%

3、x2yiy22向量加法r uuu uuur UULT，贝q a+b =AB BC =AC求两个向量和的运算叫做向量的加法uuu r uuu 设 AB a,BC10 a a 0 a ； 2向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法那么与“平行四边形法那么：1用平行四边形法那么时，两个向量是要共始点的，和向量是始点与 向量的始点重合的那条对角线， 而差向量是另一条对角线，方向是从减向量 指向被减向量(2) 三角形法那么的特点是“首尾相接，由第一个向量的起点指向最后一 个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被 减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法那么

4、；当两向量是首尾连接时， 用三角形法那么向量加法的三角形法那么可推广至多个向量相加：uu uur uur uuu uuu uuuAB BC CD L PQ QR AR，但这时必须“首尾相连.3向量的减法 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 记作a ,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：(i ) ( a) =a ; (ii) a+( a)=( a)+ a=0 ;(iii) 假设a、b是互为相反向量，那么a= b , b = a, a + b =0 向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a b a ( b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 作图法：a

5、b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起 点)4实数与向量的积： 实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：(I) a a ；(U)当 0时，入a的方向与a的方向相同；当 0时，入a的方向与a 的方向相反；当0时，a 0,方向是任意的 数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b = a6平面向量的根本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1, 2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意：(1)

6、向量的加法与减法是互逆运算(2) 相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件(3) 向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行 那么包括共线(重合)的情况(4) 向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的 运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面 向量的根本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂 直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结 合起来进行综合考查，是知识的交汇点例i给出

7、以下命题： 假设I aI = I bI，那么 a = b ；uur uuur 假设A, B, C, D是不共线的四点，贝U AB DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；假设a=b，rc- ra 那么 rc- r brrr a = b的充要条件是I a|=| b|且a/ b ；r r 假设a b，b c，那么 a c，其中正确的序号是解：不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. uuuuuiruuuuuur UUU UULT 正确. ABDC，二 I AB I|DC I 且 AB / DC，又A, B, C, D是不共线的四点，二 四边形ABCD为平行四边形；反之，假设 uuu

8、 uuurUU uuur四边形ABCD为平行四边形，贝U, AB / DC且I ABI I DC I，uuu ujit因此，AB DC .rr 正确. a=b ,. a, b的长度相等且方向相同；,c的长度相等且方向相同， a, c的长度相等且方向相同，故a=c.rrr 不正确.当a b且方向相反时，即使| ai=i b |，也不能得到a=b，故rrrI a 1=1 b |且a b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件.不正确.考虑b=0这种特殊情况.综上所述，正确命题的序号是.点评：本例主要复习向量的根本概念.向量的根本概念较多，因而容易遗 忘.为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方

9、面要善于与物理中、生活 中的模型进行类比和联想.例2设A B C D、0是平面上的任意五点，试化简：uuuABuuu 1BC (uuuCD，uuuD DBuuurACuuuBDuuiu OAuuur OCuuurOBuuur COuuuruuuuuuumrACuuuruuur解：原式=(ABBC)CDCDADuuuuuuuuurruuuruuur原式:=(DBBD)AC0ACACuuu uuu uuur原式=(OB OA) ( OCuuuCO)UULrcorr r rr例3设非零向量5、b不共线，C=k5+b , d =a+kb ( k R),假设c / d，试 求k解： c / d由向量共线

10、的充要条件得：c =入d (入R)即 ka + b =X(a+kb)/. (k 入)a + (1 入 k) b = 0又 a、b不共线由平面向量的根本定理二. 平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与 x轴、y轴方向相同的两个 单位向量ir,r作为基底由平面向量的根本定理知，该平面内的任一向量a可表示rr成a xi yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a =(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量C向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无

11、关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：卄 rrrr(1)假设 a冷 ,bx?, y2，那么 ab为 x?,% y?卄uuu假设 A x1, y1 ,B x?, y?，那么 ABx?%xi 讨2x?yi0x, y)，那么 a/ba=(X2, y2艸 r,by1ray2%r brayyyyVra假设5)o2yyy2 X1 X 那么ra假设运几何方法坐标方法运算性质算类型向1 平行四边形法那么r ry)b b量2 三角形法那么a b (x 約aa的 加(a b) c a(b c)法uuuuuuruuurABBCAC向三角形法那么r rb a(b)量a b(x約yy)a的uuuuur减ABBA法

12、uuuuuuuuuOBOAABa是一个向量,(x, y)(a)()a满足：a>0时,a与a同()aaa向；<0时，a与a 向；日 异(ab)ab=0时，a=0a /bab向a?b是一个数a?ba?b b ?a量的 数a 0或b 0时，(a)?b a?( b)(a?b)量 积a?b=0(ab)?ca ?cb?ca 0且b 0时，2 a|a|2,厂 |a| vx2 2ya?b |a|b|cos a,b|a ?b | |a|b|3,向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量内积及其各运算 的坐标表示和性质rrrrrrrrr_r例 1 向量 a(1,2),b(x,1),u a 2b

13、，v2ab，且 u/v，求实数x 的值rrrr r rrr解：因为a(1,2), b(x,1),ua2b，v2ab所以 U (1,2)2(x,1)(2x 1,4)，V 2(1,2)(x,1)(2x,3)又因为U/V所以 3(2x 1) 4(2 x) 0，即 10x5解得x例2点A(4,0), B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线 AC和OB( O为坐标原 点)交点P的坐标uuuuuu解：设 P(x, y)，那么 OP (x, y), AP (x 4, y)因为P是AC与OB的交点所以P在直线AC上，也在直线0B上uuu uuu uuu ULUT即得 OP/OB, AP/ACuuuru

14、uu由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC ( 2,6), OB (4, 4)得方程组6(X 4) 2y 04x 4y 0解之得 故直线AC与OB的交点P的坐标为3,3三. 平面向量的数量积1两个向量的数量积：两个非零向量a与b，它们的夹角为，那么a b = | a丨丨b丨cos叫做a与b的数量积或内积规定0 a 02向量的投影:s o cTa称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a-b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系:|a|2rr ,rr22r22aa baarr 2r2r r；2r2r rraa2a bba2a bb5

15、乘法公式成立:6平面向量数量积的运算律:2交换律成立：a b对实数的结合律成立: 分配律成立：a 特别注意：i结合律不成立：a2 消去律不成立abac不能得到b crr r r3a b =0不能得至U a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：rrr r两个向量 ax1,y1,bx2,y2，那么 a b=X|X2yy-r r uun r uuu r8向量的夹角：两个非零向量a与b，作OA = a , OB = b ,那么/ AOB=001800 叫做向量a与b的夹角cos =cos a,br b b b ? ?x2XIyyy22yy22X当且仅当两个非零向量a与b同方向时，9 =0

16、76;,当且仅当a与b反方向时B =180°, 同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r0r rr r9垂直：如果a与b的夹角为90那么称a与b垂直，记作a丄b10两个非零向量垂直的充要条件：a丄b a b = O x1x2 y1y20平面向量数量积的性质例1判断以下各命题正确与否：10 a 0 ；20 a 0 ；3假设 a 0, a b a c，那么 b c ；假设a £ a c，那么b c当且仅当a 0时成立；5a b c a b c对任意a,b,c向量都成立；6对任意向量a，有a2 a解：错；对；错；错；错；对r rn r r r r r rr例2两单位向量a与b的夹角为1200，假设c 2a b,d 3b a，试求c与 d的夹角解：由题意，a b 1，且a与b的夹角为1200，所a b cos1200Q C2C|仃，同理可得 d 辰rr r而 C d (2a b) (3b设为C与d的夹角