高中数学通用模型解题方法

1、(对应函数)求反函数的步骤掌握了吗？(反解x;互换x、y;注明定义域)女口：求函数f(x)1 x x 02xx的反函数01x 1x 1(答:f1(X)V xx 014.反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的 x对应原函数中的y)2、反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y )和点(y, x)关于直线y=x对称 互为反函数的图象关于直线y= x对称； 保存了原来函数的单调性、奇函数性； 设y f(x)的定义域为A，值域为C, a A , b C,那么f(a) = b

2、 f 1(b) a1 1 1f f(a) f (b) a, f f (b) f (a) b由反函数的性质，可以快速的解出很多比拟麻烦的题目，女口41(04.上海春季高考)函数f (x) log3(2),那么方程f 1(x)4的解xx .1对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。反函数的y,不就是原函数的x吗？那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？ (也可能是告诉你反函数的 x值，那方法也一 样，呵呵。 自己想想，不懂再问我15 .如何用定义证明函数的单调性?(取值、作差、判正负)判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得 x1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关

3、系可以变形为求f(x1) f(x2)的正负号或者丄QQ与1的关系x1 x2f (x2)(2)参照图象： 假设函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；(特例：奇函数) 假设函数f(x)的图象关于直线x= a对称，贝V函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间 里具有相反的单调性。(特例：偶函数) 利用单调函数的性质： 函数f(x)与f(x) + c(c是常数)是同向变化的 函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c> 0时，它们是同向变化的；当cV 0时，它们是反向变化的。 如果函数f1(x) , f2(x)同向变化，贝V函数f1(

4、x) + f2(x)和它们同向变化；(函数 相加) 如果正值函数f1(x) , f2(x)同向变化，贝恼数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，贝恼数f1(x)f2(x)和它们反向变化；(函数相乘) 函数f(x)与丄在f(x)的同号区间里反向变化。f (x) 假设函数 u = 0 (x) , x a ,卩与函数 y = F(u) , u 0 ( a) ,0 (卩)或u 0 (卩)，0 ( a )同向变化，那么在a,卩上复合函数 y = F 0 (x)是递增的； 假设函数 u=0 (x),x a,卩与函数 y = F(u) , u 0 ( a ) ,0

5、(卩)或 u 0 (卩),0 ( a )反向变化，那么在a,卩上复合函数y = F 0 (x)是递减的。(同增异减) 假设函数y = f(x)是严格单调的，那么其反函数x = fT(y)也是严格单调的，而且，它 们的增减性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减如：求y log1 x2 2x的单调区间2(设 ux2 2x,由u0 那么 0 x 2且 log1 u , ux 121,如图:2当x (0, 1时，u ，又 log 1 u ，二 y2当 x 1, 2)时，u ，又 log2 u ，二 y2二)16.如何利用导数判

6、断函数的单调性?在区间a, b内，假设总有f'(x)0那么f(x)为增函数。(在个别点上导数等于那么x零，不影响函数的单调性)，反之也对，假设f'(x) 0呢?女口 ：a0，函数 f (x) x3ax在 1，上是单调增函数，那么a的最大值是()A. 0B. 1C. 2D. 3(令 f'(x)3x2 a 3 x a3x 30由f(x)在1，)上为增函数，那么 十|1,即a 3 a的最大值为3)17.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？(f(x)定义域关于原点对称)假设f( x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称假设f( x) f(x)总成立

7、f(x)为偶函数 函数图象关于y轴对称 注意如下结论：(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数; 个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。(2 )假设f(x)是奇函数且定义域中有原点，那么f(0)0。如：假设f(x) ?二 匚为奇函数，那么实数a2 1 ( f(x)为奇函数，x R，又 0 R， f(0)0200，二 a 1)2x4x 1又如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x (0，1)时，f(x)求f(x)在1，1上的解析式(令 x1, 0 ，贝V x0, 1 , f( x)又f(X)为奇函数，又f(0)0,二 f (x)判断函数奇偶性的方法一、定义域法f(

8、X)2x2x- x1144x2xx(1,0)4x1x0)2xx0,14x 1一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件假设函数的定义域不关于原点对称，那么函数为非奇非偶函数二、奇偶函数定义法f( x)，然后根据函数的奇偶性的定义在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算判断其奇偶性这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0f(x)-f(-x)=0f(x)f(-x)f(x)f(-x)奇函数偶函数偶函数奇函数三、复合函数奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18.你熟悉周

9、期函数的定义吗？(假设存在实数T(T 0)，在定义域内总有f x T f(x)，那么f(x)为周期函数，T是一个周期。)女口：假设 f x a f (x)，贝V(答：f(x)是周期函数，T 2a为f(x)的一个周期)我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反响过 来，这时说 这 个函 数周 期2t.推导:f (x)f (x t)0f (x)f (x2t)f (x t)f (x2t)0同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x), 或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相

10、加再除以2得到。比方，f(x)=f(2a-x), 或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。又如：假设f (x)图象有两条对称轴x a, x b即f (a x) f (a x)，f (b x)f(b x)f (x) f (2a x)f (x) f (2b x)f(2a x) f (2b x)令 t 2a x,那么 2b xt 2b 2a, f(t)f (t 2b 2a)即f(x) f (x 2b 2a)=乩口器7T-2所以，函数f(x)以2|b a|为周期(因不知道a,b的大小关系 为保守起见，我加了一个绝对值如:19. 你掌握常用的图象变换了吗？f (x)与f ( x)

11、的图象关于y轴 对称 联想点(x,y),(-x,y)f(x)与f(x)的图象关于x轴 对称 联想点(x,y),(x,-y)f(x)与f( x)的图象关于 原点 对称 联想点(x,y),(-x,-y)f(x)与f 1(x)的图象关于 直线y x对称 联想点(x,y),(y,x)f (x)与f(2a x)的图象关于 直线x a对称 联想点(x,y),(2a-x,y)f(x)与 f(2a x)的图象关于 点(a，0)对称 联想点(x,y),(2a-x,0)将 y f(x)图象左移a(a°)个单位yf(x a)右移a(a 0)个单位y f(x a)上移b(b0)个单位yf(xa)b下移b(b

12、0)个单位yf(xa)b(这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨 迹了。)注意如下“翻折变换：f (x)| f(x) |把X轴下方的图像翻到上面f (x) f (|x|)把y轴右方的图像翻到上面如：f(x) log 2 x 1作出y log2x 1及y log 2 x 1的图象y=log 2x19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?xx=a(1) 一次函数：y kx b k 0

13、(k为斜率，b为直线与y轴的交点)4ac b24a4ac b24a(2)反比例函数：y k kx0推广为ybkx ak 0是中心O'(a，b)的双曲线。(3)二次函数yax2 bxc a 0 a2bxa4ac b图象为抛物线4a顶点坐标为b ,2a4ac b2，对称轴xb4aa开口方向：a 0，向上，函数ymin根的关系：b ,Vx2ax-ix2b,xi ac .X2Xiaa o，向下，ymaxX2 |二次函数的几种表达形式：f(x) ax2 bx c(一般式)f (x) a(x m)2 n(顶点式，(m，n)为顶点f (x) a(x xj(x x2)(x-i, x2是方程的 2个根)

14、f (x) a(x xj(x x2) h(函数经过点(x1, h)(x2, h)应用：“三个二次(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系一一二次方程ax bx c 0，0时，两根x1、x2为二次函数y ax bx c的图象与x轴的两个交点，也是二次不等式ax2 bx c 0( 0)解集的端点值求闭区间m n上的最值。区间在对称轴左边(nb )2af maxf (m), f minf(n)区间在对称轴右边(mb )2af maxf (n), f minf(m)区间在对称轴2边(nbm)2a上4ac b2上f min, f maxmax( f (m), f (n)4a也可以比拟m,n和对称轴的关系

15、，距离越远，值越大 (只讨论a 0的情况) 求区间定动，对称轴动定的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。如：二次方程ax2 bx c 0的两根都大于k0f(k)0在区间m,n)内有2根0b2a00在区间m.n)内有1根f (m) f(n) f(m)f( n)4指数函数：ya 0， a5对数函数y由图象记性质!loga x a 0, a 1k6“对勾函数 y x k 0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么? 意等号成立的条件均值不等式一定要注一根大于k，一根小于k20. 你在根本运算上常出现错误吗？指数运算：a01(a 0), a p 丄(a 0)amn am (a 0),

16、 a n1i(a 0) n ma对数运算:loga(M N) loga M logaN M0, N 0logaM loga M logaN, 叽 nM 丄 g M Nn对数恒等式：alogax x对数换底公式：logab logc b log m bn log a b logc a a m. 1loga xlogxa21. 如何解抽象函数问题？(赋值法、结构变换法)女如：( 1)xR，f(x)满足 f(x y)f(x)f (y)，证明f(x)为奇函数。(先令 xy0f(0) 0再令yx,)(2) xR,f(x)满足f(xy) f(x)f (y)，证明f (x)是偶函数。(先令 xytf ( t

17、)( t) f (t t) f( t) f( t) f(t) f(t)-f( t) f(t)(3)证明单调性：f(x2) f x2 x1 x2(对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、代 y=x，2、令x=0或1来求出f(0)或f(1)3、求奇偶性，令y=x;求单调性：令 x+y=x i几类常见的抽象函数1.f2.正比例函数型的抽象函数(x) = kx (k*0)幕函数型的抽象函数f (x ± y) = f (x)± f (y)3.4.f (x)= xa指数函数型的抽象函数f (x)= ax对数函数型的抽象函数f (x)= Io gax (a>0 且

18、a* 1)(xy) f (x) f (y), f (?)帀f "x + y)f "X)f(八 f *八帀(x y) = f (x)x+ f (y); f ()=yf (x)f (y)5.三角函数型的抽象函数f (x)= tgxf (x + y)f(x) f(y)1 f(x)f(y)f (x )= cot xf (x+y)f(x)f(y) 1f(x) f(y)例1函数f (x)对任意实数x、y均有f (x + y)= f (x) + f (y)，且当x>0时， f(x)>0 , f( 1) = 2 求 f(x)在区间2,1上的值域.分析：先证明函数 f (x)在R

19、上是增函数(注意到 f (X2)= f (X2 X1)+ X1 = f (X2 X1)+ f (X1)；再根据区间求其值域例2函数f (x)对任意实数 x、y均有f (x + y) + 2= f (x) + f (y)，且当x>0 时，f(x)>2 , f (3) = 5，求不等式 f (a2 2a 2) <3 的解.分析：先证明函数f (x)在R上是增函数(仿例1);再求出f (1 )= 3;最后脱去函 数符号.例3函数f (x)对任意实数x、y都有f (xy) = f (x) f (y),且f ( 1)= 1, f (27)= 9,当 OW xv 1 时，f (x) 0

20、, 1.(1) 判断f (x)的奇偶性；(2) 判断f (x)在0，+m 上的单调性，并给出证明;(3) 假设a>0且f (a+ 1)w 3 9，求a的取值范围.分析：(1)令y= 1;(2) 利用 f (xi)= f (生 X2)= f (殂)f (X2);x2x2(3) Ow aw 2.例4设函数f ( x)的定义域是( 8,+)，满足条件：存在 xi丰X2，使得f (xi) 丰 f (X2);对任何 x 和 y, f (x + y)= f (x) f (y)成立求：(1) f ( 0)；(2) 对任意值x,判断f (x)值的符号分析：(1)令 x= y = 0; (2)令 y= x

21、 丰 0.例5是否存在函数f (x)，使以下三个条件：f (x) >0,x N;f (a+ b)= f ( a) f ( b), a、b N;f (2 )= 4.同时成立？假设存在，求出f (x )的解析式，假设不存在，说明理由.分析：先猜出f (x)= 2x;再用数学归纳法证明.例6设f (x)是定义在(0 ,+8)上的单调增函数，满足 f (x y) = f (x) + f (y), f (3) = 1,求:(1)(2 ) 分析：f (1);假设f (x) + f (x 8) w 2,求x的取值范围. (1)利用 3 = 1X 3;(2)禾U用函数的单调性和关系式.例7设函数y= f

22、 (x)的反函数是y= g (x).如果f (ab) = f (a) + f (b )，那么g (a+ b) = g (a) g (b)是否正确，试说明理由.分析：设 f (a) = m f (b) = n,贝U g (m = a, g ( n) = b, 进而 n+ n= f (a) + f ( b) = f (ab ) = f g (n) g (n ) .例8函数f ( x)的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件:X1、X2是定义域中的数时，有f(Xjf(X2)1f(X2) f(X1) f (a) = 1 (a> 0, a是定义域中的一个数); 当 0 v x v 2a 时，f (

23、x) v 0.试问：(1) f (x)的奇偶性如何？说明理由；(2) 在(0, 4a)上，f (x )的单调性如何？说明理由 .分析：(1)利用 f ( X1 X2) = f (X1 X2)，判定 f (x)是奇函数；(3) 先证明f (x)在(0, 2a )上是增函数，再证明其在(2a, 4a)上也 是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的根本初等函数因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题例 9 函数 f (x) ( xm 0)满足 f (xy) = f (x)+

24、f (y),(1) 求证：f (1)= f (- 1)= 0;(2) 求证：f (x)为偶函数；1(3) 假设f ( x)在(0 ,+s)上是增函数，解不等式f ( x) + f ( x ) < 0.2分析：函数模型为：f (x) = loga|x| (a>0)(1) 先令 x = y = 1,再令 x = y= 1;(2) 令 y = 1;(3) 由 f ( x)为偶函数，贝U f ( x)= f (| x| ).例 10 函数 f ( x)对一切实数 x、y 满足 f ( 0)m 0, f (x + y)= f ( x) f (y), 且当xv 0时，f ( x)> 1，求证：(1)(2) 分析：当 x > 0 时，0 v f ( x )v 1; f (X)在x R上是减函数.(1)先令 X = y= 0 得 f (0)= 1，再令 y= X；(3)受指数函数单调