高中数学双曲线抛物线知识点总结

1、肅双曲线蒄 平面内到两个定点Fi, J的距离之差的绝对值是常数2a2ahFJ的点的轨迹。莁方程蒀简图羈Ly蚆!_y肇薄 _x蚃蚀_薄范围肇顶点虿焦点袃渐近线螁离心率袀对称轴蒈关于x轴、y轴及原点对称袃关于x轴、y轴及原点对称膂准线方程薂a、b、c的关系膇考点2 2笃0，与双曲线m n羃 题型一 求双曲线的标准方程薃1、给出渐近线方程y x的双曲线方程可设为m2 2 2 27y?i共渐近线的方程可设为220。a ba b罿2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。羅【例1】求适合以下条件的双曲线标准方程。152 肃虚轴长为12，离心率为；434羃焦距为26,且经过点 M0，12；52 26螁

2、与双曲线 J 1有公共渐进线，且经过点 A 3,2,3。9162羈解：1设双曲线的标准方程为x22 2 2y亠yx2 1 或出 2 1 (a 0,b 0)。baba膃由题意知，2b=12, ec 5=。a 4肀 b=6, c=10, a=8。22 2腿.标准方程为一 361或1。646436螇2双曲线经过点M( 0, 12),芃 M 0, 12为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12。2蒁又 2c=26，c=13° b2 2c a 144。2 2袁.标准方程为x 1。144252xb2薆3设双曲线的方程为2a薆Q A3,2.3在双曲线上32袂 92、3 211得164荿所以双曲

3、线方程为也92y- 14蕿题型二 双曲线的几何性质蚆方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是C 2和ca者的关系，构造出e2 2a b的关系式。e、a、b、c 四2芃【例2】双曲线务a0,b0的焦距为2c,直线l过点a,0)和(0, b),且点1，0到直线的距离与点-1 , 0到直线4I的距离之和s> -c。5求双曲线的离心率e的取值范围。x y肁解：直线I的方程为1，级bx+ay-ab=0。a b由点到直线的距离公式，且a> 1，得到点(1,0到直线I的距离d1b(a_1).口 ,同理得到点(-1 , 0)到直线I的距离d2b(a .a2 b1)-?2d1

4、 d22ab. a2 b22ab蕿由s> 4c,54c，即55a c2 a22c2 。肇于是得5. e22422e，即 4e 25e25祎解不等式，得e2 5。由于e> 1> 0,所以e的取值范围是 二5 e2.5。袁【例3】设R、2F2分别是双曲线务a2b 1的左、右焦点，假设双曲线上存在点A,使F1AF2 90°，且丨AFi | =3 | AF2丨，求双曲线的离心率。芁解：F1AF2 90°2 2祎二AF24c2羆又 | AFi | =3 | AFz |,节二 AF1 AF2 2 AF2 2a 即 AF2 a,22222袈 c蚈 AF1AF29 AF2

5、AF210 AF210a2 4c2,.102肆题型三 直线与双曲线的位置关系蚂方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方Ax By C 0程组，即 。对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公b x a y a b共点和相切不是等价的。莀 2、直线与双曲线相交所截得的弦长：蚇【例4】如图，两定点uuinF1 V2,0, F2J2,0，满足条件 PF2uuirPF12的点P的轨6、3，且曲线E上存在点C,迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，如果ABuuu uuuuuur使 OA OB mOC，求薀 1曲线E的方程；芅2直线AB的方程；芅

6、3m的值和 ABC的面积S。薁解：由双曲线的定义可知,肇曲线e是以Fi .2,0, F2C，2,o为焦点的双曲线的左支,芈且 c 、. 2 , a=1，易知 bc2 a21。莅故直线E的方程为X2y2 1x0),羂设 A(X1y), B(X2$2),y=kx-1螀由题意建立方程组消去x2-y2=1y,得(1 k2)x22kx 20。肇又直线与双曲线左支交于两点A、B,有1 k20,V (2k)2 8(1 k2)0,蒅X|X22k 0 解得 1 k2,NX?J 0.1 k莃又AB .1 k2?x1X2、rv 厂X224x2膈依题意得2(1 k2)(2 k2)(1 k2)26 3，整理后得 28k

7、455k2250,252螆二k 一或k7薅但.2 k 1,羀故直线AB的方程为Xmu衿3设Cxc,yc，由OAuuu uuurOB mOC ,得化,yj化，y2(mxc,myc),蚅二(xc,yc)(xi X2myimy2)(m0)。羁又x1x2kk2 14、5,yi y2 k(xi X2) 22k2k2 1蚁.点 c¥8)m m薇将点c的坐标代入曲线E的方程，的卑m色1 , m2蚅得m 4，但当m4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。莁二m 4, C点的坐标为,5, 2,聿C至U AB的距离为莆 ABC的面积S螅抛物线螂高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题

8、皆有，要求对抛物线定 义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。一二螁知识归纳膅方程袅图形膃顶点艿(0,0)膈对称羄x轴芀y轴轴羁焦点羇离丿心 率肄e=1蚁准线羆(二)典例讲解芃题型一抛物线的定义及其标准方程蚁方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标 准方程有时可设为 y mx或x2 my(m 0)。虿【例5】根据以下条件求抛物线的标准方程。蚈(1 )抛物线的焦点是双曲线 16x2 9y2144的左顶点；芆(2)经过点A(2，- 3);螁(3)焦点在直线 x-2y-4=0 上;肀(4)抛物线焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点 Al

9、 AF| =5.膆解：(1)双曲线方程可化为2 2x y9161，左顶点是(-3 , 0)肅由题意设抛物线方程为 y22px(p袁 p=6.袈(2)解法蒁.方程为y212x经过点 A (2,- 3)的抛物线可能有两种标准形式:袄 y2= 2px 或 x2= 2py.9羁点A (2, 3)坐标代入，即9= 4p,得2p=一 24薈点A (2, - 3)坐标代入x= 2py,即4= 6p,得2p=3莅.所求抛物线的标准方程是y2= -x或x2= -y23薂解法二：由于A( 2, -3 )在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2 mx或x2 ny ,-4代入A点坐标求得 m=_ , n=-23 -

10、_4肁.所求抛物线的标准方程是y2= x或x2=芒y23羈(3 )令 x=0 得 y= 2，令 y=0 得 x=4,肇.直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为(0, -2 ), (4, 0)。蚅.焦点为(0, -2 ), (4, 0)。肁.抛物线方程为x2 8y或y2 16x。荿(4)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为 y2 2px( p 0) , A (m, -3 ),由抛物蒅线定义得5AF m p ,2莄又(3)22 pm ,賺 p 1 或 p 9 ,螀故所求抛物线方程为 y22x或y218x。腿题型二抛物线的几何性质膃方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线I的

11、距离处理，例如假设P (X。, y。)为抛物线y2 2px(p 0)上一点，那么| PF x0卫。芀2、假设过焦点的弦 AB, Ax1, y1 , Bx2, y2，那么弦长 AB x1 x2 p , x1 x2可由韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，那么焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类 似得到。賺【例6】设P是抛物线y2 4x上的一个动点。12 蚅求点P到点A -1，1的距离与点 P到直线X1的距离之和的最小值;34 膆假设B 3，2，求PB PF的最小值。莀解：1抛物线焦点为 F 1，0，准线方程为X 1。芈 P点到准线X 1的距离等于P点到F 1 , 0的距离,莇.问题转化为：在

12、曲线上求一点P,使点P到A -1 , 1的距离与P到F 1 , 0的距离之和最小。肀显然P是AF的连线与抛物线的交点,薇最小值为AF J5蒃2同理PF与P点到准线的距离相等，如图:蚀过B做BQL准线于Q点，交抛物线与 P1点。蒁 |pq|RF|,芈二 PB PF PB PQ BQ 4。薆 PB PF的最小值是4。蚀题型三利用函数思想求抛物线中的最值问题蚇方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。螆【例7】抛物线y = X2，动弦AB的长为2，求AB的中点纵坐标的最小值。莄分析一：要求 AB中点纵坐标最小值，可求出yi + y2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形

13、可以观察到 yi、y2是梯形ABCD勺两底，这样使得中点纵坐标 y成为中位线，可以IBFI， 2(y+ - ) =|AF| + |BF|4利用几何图形的性质和抛物线定义求解。螀解法一：设 A(xi,yi),B(x 2,y2),AB 的中点为M(x,y)2 1肇由抛物线方程 y= x知焦点F(0-),准线方程41y ,设点A、B、M到准线的距离分别为IAD-I、4|BCi| 、 |MN| ,贝U |ADi| + |BCi| = 2|MN| ,且1MN =2(y+/，根据抛物线的定义，有|ADi| = |AF|、|BCi| => |AB| = 2,1蒈二 2(y+_)243 一3肃y ,即点

14、M纵坐标的最小值为 一。4 4膄 分析二：要求 AB中点M的纵坐标y的最小值，可列出 y关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值。葿解法二：设抛物线 y= x 2 2 2 2 2 2 2袂 A、3y 2x =6 E、9y 8x =1 C、3y 2x =1 D、9y 4x =36上点A(a,a 2),B(b,b 2), AB的中点为M(x, y)，贝U蒄/ |AB| = 2 , (a b)2 + (a2 b2) = 4，那么(a + b)2-4ab+ (a2+ b2)2 4a2b2= 4蚄那么 2x = a+ b,2y = a2 + b2,得 ab= 2x2 y, 4x24(2x 2 y) +

15、4y2 4(2x 2y) = 4螂整理得y x224x21莈即点M纵坐标的最小值为 3/4。 膆练习：蒃1、以y=± 2x为渐近线的双曲线的方程是()3蝿【答案D】解析：A的渐近线为y=；x , B的渐近线为y二2.2x3膂2、假设双曲线羆【答案A的渐近线为y二1的左支上一点解析： P在双曲线上,£x，只有D的渐近线符合题意。P a, b到直线y=x的距离为2，那么a+b的值为2 2a b 1 即(a+b) (a-b ) =1又P a, b到直线y=x的距离为 2 a+b=-2羄3、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x轴，焦点在直线3x 4y 120上，那么抛物线的方程是2y

16、212xy216x2螈C y 16x、y212x蒆【答案C】解析：令x=0得y= 3,令 y=0 得 x=4.螃.直线3x 4y 12 0与坐标轴的交点为0,-3, 4, 0。賺.焦点为0，-3 ，4，0。腿.抛物线方程为x212y或y 16x。1 2羃4、假设抛物线尸厂上一点P到焦点F的距离为5，那么P点的坐标是薂 A. (4，土 4)B.± 4，4C. ( 79 ,±零)D. (±罟,16芁【答案B】解析:抛物线的焦点是o, 1,准线是y 1,到焦点的距离可以转化为到准线的距离。设 Px，y，那么 y=4. x . 4y .16莁5、假设点A的坐标为取得最小值

17、时点C 3,2, F为抛物线y2P的坐标是2x的焦点，点P是抛物线上的一动点,那么 PA PF蚆A. (0, 0)B. (1, 1)C. ( 2, 2)1D.()肃【答案C】解析:抛物线焦点为F 1,0,准线方程为x莃 P点到准线x1的距离等于P点到F 1 , 0的距离,0的距离蒁.问题转化为：在曲线上求一点P,使点P到A 3, 2的距离与P到F 1,之和最小。肇显然P是A到准线的垂线与抛物线的交点,袅 P的坐标为2, 2I，且肂6、A、B是抛物线y2 2pxp 0上两点，O为坐标原点，假设丨OA| = |< AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，那么直线AB的方程是蒈A、x=p B 、x=3

18、p C3x= p25、x= p22 2芃【答案D】解析：设A 丄,y, B 乂 , -y ,2p2p F ( p, 0)是厶AOB的垂心,y 2 _y_ 2p?J_ 2y2p整理得5p2x2p52p袄7、过点P (4,1)，且与双曲线921只有一个公共点的直线有16条。【答案】两条因为P(4，1 )位于双曲线的右支里面，故只有两条直线与双曲线有一个 公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。解析:这两条直线是:y 14(x 4)和 y 14(x 4)332蚃&双曲线C与双曲线y21有共同的渐近线，且过点A(2,-2)，那么C的两条准线之间的距离为螀【答案】2'.632y k(k 0

19、),x2解析：设双曲线c的方程为2将点A代入，得k= -2。2故双曲线C的方程为：-2 a 、2 , b=2, c 、- 6所以两条准线之间的距离是2a22.6c 3螁由韦达定理得x<|x22(4 k 6k 12)祎9、抛物线y莅10、抛物线y12x的一条弦的中点为 M( 2, 3)，那么此弦所在的直线方程是 肆【答案】2x-y+1=0肂解析：设此弦所在的直线I方程为y 3 k(x 2),l与抛物线的交点坐标分别是A(X1,y 1),B(x 2,y 2),那么 X1 X24将I的方程代入抛物线方程整理得 2px(p 0)，一条长为4P的弦，其两个端点在抛物线上滑动，那么此弦中点到y轴的最

20、小距离是 3膀【答案】兰p2羀解析：设动弦两个端点为AB,中点为C,作AA',BB', CC垂直于准线的垂线,垂足分别为A'、B '、C',连接AF、BF,由抛物线定义可知，丨AF| = | AA'|,膈| BF | = | BB'|莄/ CC是梯形 ABB A'的中位线111芃 | CC | = -(AA') BB') = -( AF ) BF )-|AB =2p肀 当AB经过点F时取等号，所以 C点到y轴的距离最小值为 2p-卫 -p 。2 2A为圆心的同一圆上，求m的取值范围。e21賺解：1由题设，得2aab

21、a2b243仝2腿解得k 2腿.此直线方程为 y 32x2即2x-y+1=0芆11、双曲线的中心在原点，焦点在 y轴上，焦距为16，离心率为一，求双曲线的方3程。袄解：由题意知，2c16c 8c 4 艿又Qe -a 3a6x2薈12、双曲线a2yb221(a0,b0)的离心率 e.3，过点 A(0, b)和 B (a, 0)3的直线与原点的距离为、.3。2蚄1求双曲线的方程；薃(2)直线 y kx m(k 0, m0与该双曲线交于不同的两点C D,且C D两点都在以螁解得a23, b2膈.双曲线的方程为x2膄2把直线方程ykx m代入双曲线方程,芁并整理得(1 3k2)x2 6kmx 3m23

22、0袈因为直线与双曲线交于不同的两点，蚆二 V 12m212 36k20羃设CgyJ ,。化小)6km2m莁那么 x. x22, y y2 k(Xd x2) 2m21 3k21 3k2艿设CD的中点为P(xo, y0),莈其中X0X1 X2，y。y1y222羆那么X03kmm2 ，1 3ky0 13k2蒁依题意，API CDkAP1m 13k2 3km1 k13k2蚀整理得3k2 4m1袅将式代入式得 m2 4m 0螅 m> 4 或 m< 02 1薁又 3k24m 10,即 m 41肁.m的取值范围为m> 4或m 0。4薇13、点A (2, 8) , B ( X1, y1), C (X2, y2)在抛物线y2 2px上， ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图)蒃(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；薁(2)求线段BC中点M的坐标;蒁(3 )求BC所在直线的方程.(12分)羅解：(1)由点A (2, 8)在抛物线 寸 2px上,薆有822p?2，解得p=16所以抛