第04章聚合物熔体流动3-2013

1、4.3 聚合物加工计算应用的张量知识聚合物加工计算应用的张量知识 介绍聚合物熔体流动分析常用的张量概念及基本运算介绍聚合物熔体流动分析常用的张量概念及基本运算 例如固体中的例如固体中的应变张量应变张量、流体中的、流体中的应变速率张量应变速率张量。 选定测量单位之后，仅用数值大小就能说明其性质的物理量称为选定测量单位之后，仅用数值大小就能说明其性质的物理量称为标量标量。如温度、密度、流体中的压强、导热率、能量等。如温度、密度、流体中的压强、导热率、能量等。 除大小外还要有方向才能确定的物理量称为除大小外还要有方向才能确定的物理量称为向量向量, ,用用三个标量三个标量（分（分量）来描述量）来描述,

2、 , 例如速度、加速度、力等。例如速度、加速度、力等。 应力是应力是随作用面的方位不同而改变随作用面的方位不同而改变其其大小和方向大小和方向的，不能用过的，不能用过该点的一个固定应力来描述应力状态。该点的一个固定应力来描述应力状态。 只需知道只需知道三个相互垂直面上的应力三个相互垂直面上的应力描述。应力描述。应力由三个向量由三个向量来确来确定的，把在定的，把在一点处一点处不同方向具有不同值的物理量不同方向具有不同值的物理量称为称为张量张量。 (1) (1) 标量、向量（矢量）和张量标量、向量（矢量）和张量一、张量的概念及应力张量一、张量的概念及应力张量 张量物理张量物理定义：一点处不同方向面上

3、具有定义：一点处不同方向面上具有不同矢量值不同矢量值的的物理量物理量。 张量数学张量数学定义：在笛卡儿坐标系上一组有定义：在笛卡儿坐标系上一组有3 3n n个有序个有序矢量的集合矢量的集合。 1 1 每个每个向量向量可以分解为可以分解为三个分量三个分量， 应力张量有应力张量有九个分量九个分量，或者说决定应力张量要用九个分量。，或者说决定应力张量要用九个分量。 图图3-1 3-1 应力张量示意图应力张量示意图 (4.3-1 ) 111213212223313233ij应力应力称为称为二阶二阶张量：张量：应力张量的应力张量的分量总数分量总数是是3 32 2，指数是指数是2 2，故称为，故称为二阶二

4、阶张量。张量。张量观点看，张量观点看，标量标量称为称为零阶零阶张量，张量，向量向量称为称为一阶一阶张量，张量，3 30 03 31 13 32 2分量数分量数2 xxxyxzyxyyyzzxzyzzrrrrzrzzrzzz (4.3-2)(4.3-2) 柱坐标系柱坐标系、z z应力张量的矩阵形式为：应力张量的矩阵形式为： 在直角坐标系在直角坐标系x x、y y、z z和中，应力张量的矩阵形式为：和中，应力张量的矩阵形式为： 应力张量应力张量矩阵矩阵里各应力里各应力分量描述分量描述：第第一一个个下标下标表示应力分量表示应力分量作用面作用面的的法线方向；法线方向；第第二二个个下标下标表示表示应力分

5、量应力分量的的方向。方向。主对角线主对角线上应力分量上应力分量下标相同下标相同， (4.3-3)(4.3-3) 应力分量应力分量 剪应力互等定理，在非主对角线上应力分量是剪应力互等定理，在非主对角线上应力分量是对称于对对称于对角线角线的，因此应力张量是的，因此应力张量是对称张量对称张量。分别表示分别表示垂直作用于垂直作用于三个主平面上，即是三个主平面上，即是法向力法向力。3 ijkxyz 算子是具有算子是具有矢量矢量和和微分微分双重性质的符号，即矢量和微分，双重性质的符号，即矢量和微分，所以它既服从所以它既服从矢量运算矢量运算法则也要按法则也要按微分运算微分运算法则法则以下以常用的几个物理量说

6、明算子的应用。以下以常用的几个物理量说明算子的应用。 （2 2）哈密尔顿算子（）哈密尔顿算子（Hamilton operatorHamilton operator）哈密尔顿算子是一个具有哈密尔顿算子是一个具有微分微分和和矢量矢量双重运算的双重运算的算子算子。哈密尔顿。哈密尔顿算子在直角坐标系中的表达式为：算子在直角坐标系中的表达式为：4 流动与变形的材料在空间中流动与变形的材料在空间中每一点每一点，都对应着，都对应着物理量物理量的一个的一个确确定值定值。对于这些标量和矢量确定的空间，即为标量场和矢量场。对于这些标量和矢量确定的空间，即为标量场和矢量场。 梯度（梯度（GradientGradie

7、nt）是矢量。这个矢量的方向为该标量）是矢量。这个矢量的方向为该标量变化最大变化最大的方向的方向，大小为这个，大小为这个最大变化率最大变化率的数值。的数值。gradijkxyz gradijkxyz (4.3-4)场场：直角坐标系直角坐标系 a . . 标量场的梯度标量场的梯度记为记为gradj它是温度、密度、浓度等标量场它是温度、密度、浓度等标量场不均匀程度不均匀程度的度量。的度量。j为标量为标量5 u vv u 123123u vu iu ju kv iv jv k 1niiiu vCCC为常数1212 121221 FF1 1223 3u vu vu v=+（角标相同分量乘积的和）（角标

8、相同分量乘积的和）两个矢量两个矢量的的点乘积点乘积定义为一个定义为一个标量标量梯度的运算法则有梯度的运算法则有矢量的矢量的运算运算6 b. b. 矢量场的散度矢量场的散度 123vv iv jv k=+ 散度散度(Divergence)(Divergence)为矢量场中任意一点通过所为矢量场中任意一点通过所包围界面的通量包围界面的通量，并并除以此微元体积除以此微元体积。记为。记为div vdiv v，它是，它是标量标量。在直角坐标系中，。在直角坐标系中，若若312vvvvdivvxyz 散度的基本运算法则为散度的基本运算法则为 uvuv vvv 对于对于速度场散度速度场散度div v=0div

9、 v=0，称为，称为无无源场源场，具有不可压缩特性。常用，具有不可压缩特性。常用 iivvxivijivvx（4.3-54.3-5）是速度梯度，常表述为：是速度梯度，常表述为： 7 c c矢量场的矢量场的旋度旋度 旋度（旋度（CurlCurl）为）为矢量场矢量场中中 任意一点，在任一方向上的任意一点，在任一方向上的环环量密度量密度。旋度是个。旋度是个矢量矢量。它的。它的方向方向是是环量面环量面密度最大的方向密度最大的方向，其大小即为这个其大小即为这个最大面密度的值最大面密度的值。xyzyyxxzzijkrotvxyzvvvvvvvvvijkyzzxxyv v式中式中“”表示叉乘表示叉乘 （4.

10、3-64.3-6） 两个矢量两个矢量u u和和v v的叉乘为一矢量的叉乘为一矢量w w，其大小数值为其大小数值为uvsinuvsin（为为u u和和v v的夹角），的夹角），其方向垂直其方向垂直u u和和v v两个矢量形成的平面，两个矢量形成的平面，u u 、v v和和w w形成一个右形成一个右手系统。手系统。记为记为rotrotv或或CurlCurl在直角坐标系中在直角坐标系中v8旋度的基本运算法则为旋度的基本运算法则为 vuvu vvv 9 d d 拉普拉斯算子拉普拉斯算子2222222xyz 称为拉普拉斯称为拉普拉斯（laplacelaplace）算子）算子222222222222xyz

11、xyz（4.3-74.3-7）10 a. a.单位张量单位张量单位张量的表达式单位张量的表达式 100010001ijijd称为称为克郎内克克郎内克（KranecherKranecher）符号，定义为）符号，定义为 10ijijij当当b.对称张量对称张量 二阶张量的下标二阶张量的下标i i与与j j互换互换后所代表的分量不变，称为二后所代表的分量不变，称为二阶阶对称张量对称张量。ijji 对称张量矩阵形式中各元对称张量矩阵形式中各元素关于对角线对称。因而只有素关于对角线对称。因而只有6 6个独立元素个独立元素。 111213111213212223222331323333ij（3 3）常用特

12、殊张量单位张量）常用特殊张量单位张量（4.3-84.3-8）（4.3-94.3-9）11 c.反对称张量反对称张量二阶反对称张量分量满足二阶反对称张量分量满足 ijjipp 对角线各元素为零对角线各元素为零，只有，只有3 3个独立分量个独立分量 121312231323000ijppppppp 任意一个二阶张量都可唯一地分解为任意一个二阶张量都可唯一地分解为一个二阶一个二阶对称张量对称张量和一个二阶和一个二阶反对称张量反对称张量之和。之和。 （4.3-104.3-10）12二、并矢与应变速率张量二、并矢与应变速率张量 向量向量u u（u u1 1，u u2 2，u u3 3），），v v（v

13、v1 1、v v2 2、v v3 3），将它们按如下的），将它们按如下的形式排成一个数组，记作形式排成一个数组，记作1 11 21 32 12 22 33 13 23 3u vu vu vUVu vu vu vu vu vu v 则称为则称为并矢并矢。并矢也可理解为并矢也可理解为向量的梯度向量的梯度，（4.3-114.3-11）在向量的三个分量方向上，每个分量可能按一至三个方向在向量的三个分量方向上，每个分量可能按一至三个方向变化变化，向量的梯度有九个可能的分量。向量的梯度有九个可能的分量。每个分量都具有一个模和每个分量都具有一个模和 两个方向：两个方向：一个方向与一个方向与向量本身重合向量本

14、身重合的方向，另一个是它的方向，另一个是它变化变化的方向。的方向。dVdS速度的向量梯度速度的向量梯度13/dV dS可以写为：可以写为：111123222123333123VVVxxxVVVdV dSxxxVVVxxx引入微分算符引入微分算符，如前述它在直角坐标系中定义为：，如前述它在直角坐标系中定义为： ijkxyz dVVdS速度的向量梯度用微分算符速度的向量梯度用微分算符与与速度速度 两个向量的两个向量的并矢并矢来表示来表示 （4.3-124.3-12）V14 并矢张量可以分解为并矢张量可以分解为对称张量对称张量与与反对称张量之和反对称张量之和。第第二二项是项是反对称张量反对称张量，它

15、表示微元体它表示微元体角转动速率角转动速率。 第第一一项是项是对称张量对称张量，称为称为应变速率张量应变速率张量，它表示微元体的它表示微元体的应变速率应变速率；112211221122yxxxzyyyxzyxzzzVVVVVxyxzxVVVVVVyxyzyVVVVVzxzyz110221102211022yxxzyyxzyxzzVVVVyxzxVVVVyxzyVVVVzxzy1122式中式中:（4.3-13）15 它们的分量的几何它们的分量的几何解释解释举例说明举例说明 0 xVx（a a）拉伸应变速率拉伸应变速率 yxVVyxyxVVyx （b b）角应变速率角应变速率（/2/2） （c c

16、）角转动速率角转动速率 图中应变速率张量分量的图中应变速率张量分量的几何解释几何解释 xVx表示微元沿表示微元沿x x轴方向的拉轴方向的拉( (或压或压) )应变速率应变速率;yxVVyx表示微元体垂直于表示微元体垂直于z z轴的表面的轴的表面的角应变速率角应变速率,从从/2/2变到变到角的速率角的速率;yxVVyx 表示微元体的垂直于表示微元体的垂直于z z轴的表面的轴的表面的角转动速率角转动速率。 0 xVx12-12-11在在直角坐标系直角坐标系x x、y y、z z中中222yxxxzyyzzVVVVVxyxzxVVVyzyVz对称000yxxzyyxzyxzzVVVVyxzxVVVV

17、yxzyVVVVzxzy在在柱坐标系柱坐标系r r、z z中，应变速率张量为：中，应变速率张量为：222111rrrzrzzVVVVVrrrrrzrVVVVrrzrVz 对称角转动速率张量为角转动速率张量为 应变速率张量为应变速率张量为 17 三、张量的代数运算三、张量的代数运算1.张量的加减张量的加减两张量的加减就是两张量的对应两张量的加减就是两张量的对应分量相加减分量相加减。2.2.张量与标量相乘张量与标量相乘张量张量Aij与标量与标量相乘是把张量的相乘是把张量的每个分量每个分量Aij都都乘乘以这个标量以这个标量 ，其积是一个新的张量。其积是一个新的张量。ijijijTAB（张量数乘，张量

18、放大）（张量数乘，张量放大）ijijBA根据张量运算法则，根据张量运算法则，聚合物流变学常用聚合物流变学常用一种变换一种变换0000000200003300000000033000000033ij0020001033001ij(4.3-14)(4.3-15)183.3.两张量的张量积（两张量的张量积（单点积单点积）张量张量A A和张量和张量B B的张量积，乘积的张量积，乘积T T是一个新的张量记为：是一个新的张量记为：T=AT=AB B单点积乘法运算服从单点积乘法运算服从矩阵矩阵的乘法运算法则的乘法运算法则，即有，即有 张量张量T T的分量：它的第的分量：它的第i i行、第行、第j j 列上的

19、分量是张量列上的分量是张量A A的第的第i i行的行的各分量分别与张量各分量分别与张量B B 的第的第j j 列上各对应分量的乘积之和。列上各对应分量的乘积之和。1 1221kijilljijijikkjita ba ba ba bijikkjTAB（4.3-164.3-16）mllnmn=.19 4. 4. 两张量的标量积两张量的标量积( (双点积双点积) ) 张量张量P P与张量与张量Q Q的标量积（双点积）记为的标量积（双点积）记为P P：Q Q，是一个，是一个标标量量。该标量是两个张量的。该标量是两个张量的单点积相乘单点积相乘所得的所得的新张量新张量T T的的主对角主对角线上线上的的各

20、个分量代数之和各个分量代数之和。 两张量的标量积在聚合物加工原理中应用，例如应力张量两张量的标量积在聚合物加工原理中应用，例如应力张量与速度梯度与速度梯度 的双点积，的双点积， 两两应变速率张量应变速率张量的双点积的双点积 的乘积按上述运算的结果是的乘积按上述运算的结果是: : 张量张量 主对角线上各分量主对角线上各分量的的平方和平方和再加再加非主对角线三个分量非主对角线三个分量的平方和的平方和的的两倍两倍，即即222222112233122313:2 (4.3-17)(4.3-17)V：: 20 在直角坐标系中表示为在直角坐标系中表示为:222222:42yxzyyxxzzVVVxyzVVVVVVyxzyxz 5.5.向量与张量相乘向量与张量相乘向量与张量按向量与张量按单点积相乘单点积相乘，左乘记为左乘记为 （向量在左），（向量在左），右乘记为右乘记为（向量在右）（向量在右）得到另一个新的向量。得到另一个新的向量。,xxxyxzyxyyyzzxzyzzyxxyyyzyyzxxzxxzzzxyzxyzxyzxyz (4.3-18)例如：例如：21 四、应力张量与应变速率张量不变量四、应力张量与应变速率张量不变量 凡在凡在坐标转换下不改变其量坐标转换下不改变其量的的量量称为称为不变量不变量。张量不变量是什么呢？张量不变量是什么呢？ 应力