电子科技大学-矩阵理论!PPT课件

1、3 3 特征值与特征向量特征值与特征向量n nnAC,CxC, 令令如如果果存存在在和和非非零零向向量量使使定义定义 1 1Axx,AxA 则则叫叫做做 的的特特征征值值，叫叫做做 的的属属于于特特征征值值的的特特征征向向量量.一一、特特征征值值和和特特征征向向量量的的概概念念的的所所有有特特征征值值的的全全体体，叫叫做做 的的AA谱谱 ,记为记为 ( A) . 11rnnr|EA| ()() 1项项式式，其其中中叫叫做做riiinn , n 代代数数重重数数.如如果果）iirank(EAnm , 叫叫做做特特征征多多的的i 叫叫做做的的iim 几几何何重重数数.定理定理 1 112nnACr

2、, 若若有有个个 不不 同同 的的 特特 征征 值值12重重 数数 分分 别别 为为则则 必必rn , n ,n ,111rrPA PJdiag ( J (), J () 矩矩 阵阵叫叫 做做的的标标 准准 形形 。JAJordan其其 代代 数数r, 存存 在在 可可 逆逆 矩矩 阵阵使使 得得nnPC, 定义定义 2 2如如 果果 存存 在在 可可 逆逆 矩矩 阵阵可可 对对 角角 化化 矩矩 阵阵 .如如 果果 存存 在在 可可 逆逆 矩矩 阵阵nnAC, 若若使使 得得nnPC, 112nPA Pd ia g (,) 则则 矩矩 阵阵叫叫 做做AJordanJordan矩阵的结构与几个

3、结论矩阵的结构与几个结论: : Jordan块的个数块的个数 r是线性无关特征向量的个数是线性无关特征向量的个数;(1)矩阵可对角化矩阵可对角化,当且仅当当且仅当r=n;(3)相应于一个已知特征值的相应于一个已知特征值的JordanJordan块的个数是该块的个数是该特征值的几何重数特征值的几何重数, ,它是相应的特征子空间的维数它是相应的特征子空间的维数, ,相应于一个已知特征值的所有相应于一个已知特征值的所有JordanJordan块的阶数之块的阶数之和是该特征值的代数重数和是该特征值的代数重数. .(4)(4)特征值的几何重数特征值的几何重数代数重数代数重数. .(5)(5)矩阵不同特征

4、值对应的特征向量线性无关矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关. .定理定理 2令令n nAC, 则下列命题等价：则下列命题等价：(1)是是可可对对角角化化矩矩阵阵A;(2)存存在在由由 的的特特征征值值向向量量构构成成的的一一组组基基底底。nCA(3) A 的的Jordan标准形中的标准形中的 Jordan块都是一阶的。块都是一阶的。(4)1 2iimn(i,n)二二、特特征征值值和和特特征征向向量量的的几几何何性性质质 1. 线性变换线性变换(V-n维线性空间维线性空间 )TTVVV,V (V中任一元素中任一元素 有中唯一确定的有中唯一确定的元素元素 与之对应与之对应), 则称则称 T为为V

5、的变换的变换.设设 是是线线性性空空间间的的一一个个线线性性变变换换，如如果果存存在在nTV (C)则则叫叫做做 的的特特T 特特征征向向量量。1定义定义和和非非零零向向量量使使得得nCV (C ),T, 征征值值，叫叫做做 的的属属于于特特征征值值的的T 3. 线性变换的特征值线性变换的特征值2. 线性变换线性变换T为为V的变换且满足的变换且满足nP12,V,T() T( ) T( )k PT(k ) kT( ) ，则称则称 T为为V的线性变换的线性变换.例例:在线性空间在线性空间 中中 ,求微分是一线性变换求微分是一线性变换 , 即即 nDf (t )f (t ), f (t )P . 2

6、. 线性变换与矩阵线性变换与矩阵V-n维线性空间维线性空间, 11n, 为基为基,T-V上的线性变换上的线性变换1122111nnniiiininiiiiTa,Ta,Ta则有则有 1212nnT,T,T,T 矩阵矩阵A称为称为线性变换线性变换T在基在基 下的矩阵下的矩阵. 11n, 1112121222121212nnnnnnnnaaaaaa,Aaaa 1211n,TA 故故 121nTniinix,T,xx ,x ,xC 即得即得Axx 3. 线性变换与矩阵特征值关系线性变换与矩阵特征值关系 11212niiinnTxTT,T,Tx,Ax 三三、广广义义特特征征值值问问题题设设 、如如果果存

7、存在在和和非非零零向向量量使使得得n nnABC,CxC , (1-3)AxBx 广义特征向量广义特征向量。则则称称 为为矩矩阵阵 与与 确确定定的的AB 称称为为与与 对对应应的的x 广广义义特特征征值值，(1) 如果如果B 可逆时，式可逆时，式(1-3)可化为可化为1(1-4)B Axx (2) 当当A、B 都是都是Hermite矩阵，即矩阵，即、HHAABB 且且 B 正定时，有正定时，有且正定且正定HBB 存在可逆矩阵存在可逆矩阵PHBP P 则则(1-3)式化为式化为HAxP Px xyPPxy1, 则记11)(APPQH11()HPAPyy Qyy QQH1广广义义特特征征值值都都

8、是是实实数数n, nyy,1存在标准正交基Hijijy y iiPxy HHHHHijijijijy y( Px ) ( Px )xP PxxBx HijijxBx. .,21共轭向量系为称Bxxxn12121212101 2234设矩阵，且 正定，与 共扼设矩阵，且 正定，与 共扼向量系具有以下性质，向量系具有以下性质，（ ）（ ）（ ）线性无关（ ）线性无关（ ） 与 满足方程（ ） 与 满足方程（ ）若令（ ）若令HHniniiiiinHHnnnAA , BBBBx , x ,xx(i,n) ;x , x ,x;xAxBx ;X( x , x ,x ) ,X BXE, XAXdiag(,

9、) 6定定理理 3 3 欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间定义定义 1 nV R,V , 在在线线性性空空间间( ( ) )上上，若若映映射射( () )满满足足(1)() ()0()00,;, 正正定定性性(2)() ()()k,k, 齐齐次次性性(3)():()=(), 交交换换律律(4)(): ()()() , 分分配配律律()( )n,V R,Vn 则映射是上的内积 定义了内积的 为则映射是上的内积 定义了内积的 为维欧几里得空间, 简称欧氏空间.维欧几里得空间, 简称欧氏空间.例例nn nT,R ,A R,( ,)A 设设则则上的内积吗？上的内积吗？是是nR例例111: ()() TT

10、nnna ,a,b ,bR , 例例若若规规定定1() niii,a b n,R.则则上上式式定定义义了了一一个个内内积积是是内内积积空空间间2: C a,ba,bRf ( x ),g( x )a,b例表示在所有实连续函数的全体, 其构成 上的例表示在所有实连续函数的全体, 其构成 上的 线性空间,规定线性空间,规定( ( )( ) baf x ,g xf ( x )g( x )dx:C a,b证明是欧氏空间.证明是欧氏空间.baf ( x ),g( x ),f ( x )g( x )dx 是唯一确定实数是唯一确定实数 1bbaaf ,gf ( x )g( x )dxg( x )f ( x )

11、dxg, f 2bbaakf ,gkf ( x )g( x )dxkf ( x )g( x )dxkf ,g 3babbaafg,hf ( x )g( x ) h( x )dxf ( x )h( x )dxg( x )h( x )dxf ,hg,h 240bbaaf , ff ( x )f ( x )dxf ( x )dx 且且200baf ( x )dxf ( x ) 11ijn nijn nnnTTijijijA(a ),B(b )tr(B A)a btr( A B )( A,B )(B,A)11nnTijijij( , ): A,BV ,( A,B)a btr( A B) n nVR,V

12、( R), 例例3：若规定内积如下若规定内积如下TTT(kA,B)tr(kA) Btr(kA B)ktr( A B)k( A,B) 211110001 20nnnnTijijijijijij( A,A)tr( A A)a aa,( A,A)ai, j, ,nA TTTTTTT( AB,C )tr( AB ) C tr( AB )C tr( A CB C )tr( A C )tr( B C )( A,C )( B,C ) 12121nnniii(a ,a ,a ),(b ,b ,b ),( , ):(,)ia b VR,V( R ), 例例4：若规定内积如下若规定内积如下11nniiiiii(,

13、)ia biba(,) 11nniiiiiik,(k ,)ika bkia bk(,) 12111Tnnnnniiiiiiiiii(c ,c ,c )R(,)i(ab )cia cibc(,)(,) 211000nniiiii(,)ia aia,(,) 定义定义:(),=() nijijijnV,a,Aa,Gram. 1 11 1设设, , ,是是欧欧氏氏空空间间 一一组组基基 令令则则称称矩矩阵阵为为基基, , ,的的度度量量矩矩阵阵 或或矩矩阵阵定定理理: :(1) TAA;111(2)()()()=nTTTnn,V ,xx ,x, yy , y,x Ay; 在在基基下下的的坐坐标标分分别

14、别为为则则1(3)0(,)0TnV ,x ,x Ax. 必必有有=()ijnAaV, 1 1设设矩矩阵阵为为欧欧氏氏空空间间 的的一一组组基基, , ,的的度度量量矩矩阵阵 则则酉空间酉空间定义定义 3nV C,V , 在线性空间( )上，在线性空间( )上，若映射()满足若映射()满足(1)() ()0()00,;, 正正定定性性(2)() ()() k ,k, 齐次性齐次性(3)():()=(), 交换律交换律(4)(): ()()() , 分分配配律律()( )n,V C,Vn 则则映映射射是是上上的的内内积积 定定义义了了内内积积的的 为为维维酉酉空空间间. .111: ()() TT

15、nnna ,a,b ,bC , 例例若若规规定定1() nHiii,a b n,C.则则上上式式定定义义了了一一个个内内积积是是酉酉空空间间定义定义:(),=() nijijijnV,a,Aa,Gram. 1 11 1设设, , ,是是酉酉空空间间 一一组组基基 令令则则称称矩矩阵阵为为基基, , ,的的度度量量矩矩阵阵 或或矩矩阵阵定定理理: :(1) HAA;111(2)()()()=nTTHnn,V ,xx ,x, yy , y,x Ay; 在在基基下下的的坐坐标标分分别别为为则则1(3)0(,)0HnV ,x ,x Ax. 必必有有=()ijnAaV, 1 1设设矩矩阵阵为为酉酉空空间

16、间 的的一一组组基基, , ,的的度度量量矩矩阵阵 则则: (), () VV ,:|, 定定义义 设设 是是酉酉 欧欧氏氏 空空间间的的长长度度定定义义为为定理定理 Vn酉酉( (欧欧氏氏) )空空间间, ,则则向向量量长长度度具具有有以以下下设设 是是 维维的的性性质质: :(1)000 |,| (2) |k| |k | |(3) | | (4) ()|,| | |, CauchySchwarz, 不不等等式式等等号号成成立立的的充充要要条条件件是是线线性性相相关关. .定义定义 ,V,.| | 设设是是欧欧氏氏空空间间的的两两个个非非零零向向量量, ,它它们们之之间间的的夹夹角角定定义义

17、为为( () ) = =a ar rc cc co os s T2 T2(1 11)(11 111)nn:, ,R, ,R. 例例 设设定义定义 3 3 d( x , y )| xy | 的距离的距离和和向量向量yx 定义定义 4 4 0),( yx xyxy 向向量量和和 正正交交, ,记记为为 勾股定理：勾股定理： yx 222|yxyx 垂线最短定理：垂线最短定理： 中的一个固定向量中的一个固定向量欧氏空间欧氏空间)(RVn.的的距距离离“垂垂线线最最短短”和和一一个个子子空空间间中中各各向向量量),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(2122212121111kkk

18、kkkkG ，12knV,Gram: 维维欧欧氏氏空空间间 中中向向量量的的行行列列式式定义定义5行列式的性质：行列式的性质：Gram12knV,定理: 维欧氏空间 中向量组， ，线性相关定理: 维欧氏空间 中向量组， ，线性相关12()0kG 的的充充要要条条件件是是，i 分分别别与与作作内内积积得得方方程程组组1111221()0kkx,x,x , ,) )+ +) )+ +11220kkxxx 证证: :+ + +2112222()0kkx,x,x , ,) )+ +) )+ + 1122()0kkkkkx,x,x , ,) )+ +) )+ +补充补充: : 初等矩阵初等矩阵()=nHu,vC,C ,E u,v ,Euv. 设设则则称称 为为初初等等矩矩阵阵定义定义 1 100u,v,. 1 1. .初初等等矩矩