2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题41直线、平面垂直的判定及其性质(教学案)(原卷版)

1、1.以立体几何的相关定义、 公理和定理为出发点， 理解和理解空间中线面垂直、面面垂直的相关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理;2.能使用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1 .直线与平面垂直(1) 直线和平面垂直的定义如果一条直线 I 与平面a内的任意直线都垂直，就说直线I 与平面a互相垂直.(2) 判定定理与性质定理文字语言图形语言付号语言判丁中 疋疋理如果一条直线与一个平面内 的两条相交直线都垂直，则该直 线与此平面垂直|丄牛I?3 ? 1 丄a性质定理如果两条直线垂直于冋一个平面，那么这两条直线平行7a 丄ab 丄a? a / b2.平面与平面垂

2、直(1) 平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.考情解读(2) 判定定理与性质定理(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所 成的角.4 二面角的相关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两 射线所成的角叫做二面角的平面角.高频考点一直线与平面垂直的判定与性质例 1、(1)如图， ABC 和厶 BCD 所在平面互相垂直，且 AB= BC= BD= 2，/ ABC=ZDBC=120 E, F, G 分

3、别为 AC, DC, AD 的中点.求证： EF丄平面 BCG;求三棱锥 D-BCG 的体积.1高频考点文字语言图形语言(2)线面角B的范围:附：锥体的体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积，h 为高.1如图所示，已知 AB 为圆 0 的直径，点 D 为线段 AB 上一点，且 AD= DB,点 C 为圆 0上一点，且 BC= 3AC, PD 丄平面 ABC, PD= DB.求证：PA 丄 CD.【感悟提升】（1）证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性（a / b, a 丄a?b 丄）；面面平行的性质 （a 丄a, a/ 3? a 丄3;面面垂直的性质.（2）证明线面垂直

4、的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.所以，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.（3）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.【变式探究】女口图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA 丄底面 ABCD, AB 丄 AD, AC 丄 CD, / ABC=60 PA= AB= BC, E 是 PC 的中点.高频考点二平面与平面垂直的判定与性质例 2、（1）（2019 山东）如图,三棱台 DEFABC 中, AB= 2DE, G, H 分别为 AC, BC 的中点.1求证：BD/平面 FGH;2若 CF 丄 BC, AB 丄 BC,求证：平面 BCD 丄平面 EGH（

5、2）如图所示，四边形 ABCD 中，AD/ BC, AD= AB,/ BCD= 45 / BAD= 90 将厶 ABD 沿 对角线 BD 折起，记折起后 A 的位置为点 P,且使平面 PBD 丄平面 BCD.户求证：CD 丄平面 PBD2平面 PBCL 平面 PDC【感悟提升】面面垂直的性质应用技巧(1) 两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，使用时要注意平面内的直线”.(2) 两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质 在不是很复杂的题目中，要对此实行证明.【变式探究】(2019 重庆)如图，三棱锥 P

6、ABC 中，平面 PACL 平面 ABC, / ABC=扌，点 D, E 在线段 AC 上，且 AD= DE=EC= 2, PD= PC= 4,点 F 在线段 AB 上，且 EF/ BC(1)证明：AB 丄平面 PFE若四棱锥 PDFBC 的体积为 7 求线段 BC 的长.高频考点三 线面角、二面角的求法例 3、如图，在四棱锥 PABCD 中，PA 丄底面 ABCD AB 丄 AD, AC 丄 CD,/ ABC= 60 PA =AB=BC, E 是 PC 的中点.(1)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小;证明：AE 丄平面 PCD求二面角 APD-C 的正弦值.【感悟提升】求线面角、二面

7、角的常用方法:线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化 到一个三角形中求解.(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有定 义法；垂面法注意利用等腰、等边三角形的性质.【变式探究】(2019 山东)如图，在三棱台 DEFABC 中，AB= 2DE, G, H 分别为 AC, BC 的中点.(1) 求证：BD/平面 FGH;(2) 若 CF 丄平面 ABC, AB 丄 BC, CF= DE, / BAC= 45 求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)的大小.1.【2019 高考北京文数】(本小题 14 分)如图，在四棱

8、锥P-ABCD中，PC_平面ABCD,AB/DC , DC _ AC(1)求证：DC_ 平面PAC;(II)求证:平 面PAB_ 平面PAC；;(HI)设点E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存有点 F,使得?.-./平面C F?说明理由.P一 jJ真题感悟2.【2019 高考山东文数】(本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EF/ DB.(I) 已知 AB=BC, AE=EC 求证：AC 丄 FB;(II)已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点求证：GH/平面 ABC3.【2019 高考天津文数】(本小题满分 13 分)如图，四边形 ABCD 是平行四边

9、形，平面 AED 丄平面 ABCD,EF|AB , AB=2, BC=EF=1 AE=i6,DE=3,ZBAD=60o, G 为 BC 的中点.(I)求证：平面 BED;(H)求证：平面 BED 丄平面 AED(川)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.4.【2019 高考浙江文数】(本题满分 15 分)如图，在三棱台 ABC-DEF 中,平面 BCFEL 平面 ABC,/ ACB=90, BE=EF=FC1, BC=2,AC=3.(I)求证：BF 丄平面 ACFD；(II)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值(第18题图)1.【2019 高考广东，文 18】(本小题满分 1

10、4 分)如图 3，三角形?DC 所在的平面与长方 形 JTCD 所在的平面垂直，PD = PC =4，二=6，二C =3.(1) 证明：mc平面PDZ；(2) 证明：三C _ ?D；2. 【2019 高考湖北，文 20】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P -ABCD中，侧棱PD_底面ABCD，且 PD 二 CD，点E是PC的中点，连接 DE, BD, BE .(I)证明：DE_平面PBC试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论) ；若不是，请说明理由；(H)记阳马P -A

11、BCD的体积为 M，四面体EBCD的体积为 V2，求VL的值.V23.【2019 高考湖南，文 18】(本小题满分 12 分)如图 4，直三棱柱ABC-ABC的底面 是边长为2 的正三角形，E, F分别是BC,CC1的中点。(I) 证明：平面AEF平面B1BCC1；(II)若直线AC与平面AABB,所成的角为45，求三棱锥F -AEC的体积。4.【2019 高考山东，文 18】 如图，三棱台DEF -ABC中，AB = 2DE,G,H分别 为AC,BC的中点.(I) 求证：BD /平面FGH；(II)若CF _ BC，AB _ BC，求证：平面BCD_ 平面EGH.5.【2019 高考陕西，文

12、 18】如图 1,在直角梯形ABCD中，兀1AD/BC, BAD , AB = BC AD = a，E是AD的中点，O是OC与BE的交点,2 2将-ABE沿BE折起到图 2 中-A BE的位置，得到四棱锥A)_BCDE.(I) 证明：CD_平面AOC；(II) 当平面ABE丄平面BCDE时，四棱锥A - BCDE的体积为36/5，求a的值.6.【2019 高考四川，文 18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(I)请按字母 F, G, H 标记在正方体相对应地顶点处(不需要说明理由)(n)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系并说明你的结论.(川)证明：直线 DF

13、-平面 BEG(I)证明：平面AEC_ 平面BED；(II)若.ABC= 120；,AE _ EC,三棱锥E - ACD的体积为丄6，求该三棱锥的侧3面积.8.【2019 高考浙江，文 18】(本题满分 15 分)如图，在三棱锥ABC- AB1G中,ABC=90,AB = AC = 2,AA1= 4,A1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 为B1C1的中点.(1)证明:AD_ 平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1CC1所成的角的正弦值一ABF7.【2019 高考新课标 1,文 18】(本小题满分 12 分)如图四边形ABCD 为菱形，G 为 AC与 BD 交点，BE_平面ABC

14、D,EECADAiBJI9.【2019 高考重庆，文 20】如题(20)图，三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC_平面 ABC,. ABC=，,2点 D、E 在线段 AC 上，且 AD=DE=EC=2 PD=PC=4 点 F 在线段 AB 上，且 EF/BC.(I)证明：AB _平面 PFE.(H)若四棱锥 P-DFBQ 的体积为 7,求线段 BC 的长.1. (2019 福建卷)在平面四边形 ABCD 中，AB= BD= CD= 1, AB 丄 BD, CD 丄 BD将AABD沿 BD 折起，使得平面 ABD 丄平面 BCD 如图 1-5 所示.(1)求证：AB 丄 CD;若 M 为 AD

15、中点，求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.图 1-52 . (2019 湖南卷)如图 1-6 所示，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，ACABD= O,A1C1QB1D1= O1,四边形 ACCA1和四边形 BDD1B1均为矩形.(1)证明：OlO 丄底面 ABCD若/ CBA= 60,求二面角 Ci- OBi- D 的余弦值.(1) 求证：AB 丄 PD.(2) 若/ BPC= 90, PB= 2, PC= 2，问 AB 为何值时，四棱锥 P -ABCD 的体积最大？并 求此时平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值.5.(2019 辽宁卷)如图 1-5 所示，

16、 ABC 和 ABCD 所在平面互相垂直，且 AB= BC= BD= 2, / ABC=ZDBC= 120, E, F 分别为 AC, DC 的中点.(1) 求证：EFlBC;(2) 求二面角 E-BF-C 的正弦值.6.(2019 新课标全国卷I)如图 1-5，三棱柱 ABC -A1B1C1 中，侧面 BBCQ 为菱形，ABlB1C四棱锥 P -ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD 丄平面 ABCD图 1-5(1) 证明：AO ABi；若 AC 丄 ABi，/ CBB= 60, AB= BC,求二面角 A -AiBi-Ci的余弦值.7. (20i9 四川卷)三棱锥 A -BCD 及其侧

17、视图、俯视图如图 i-4 所示.设 M , N 分别为线 段 AD, AB的中点，P 为线段 BC 上的点，且 MN 丄 NP.证明：P 是线段 BC 的中点；(2) 求二面角 A -NP -M 的余弦值.图 i-48. (20i9 天津卷)如图 i-4 所示，在四棱锥 P -ABCD 中，PA 丄底面 ABCD, AD 丄 AB, AB / DC, AD=DC= AP= 2, AB= i,点 E 为棱 PC 的中点.(1) 证明：BE 丄 DC;(2) 求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值；(3) 若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF 丄 AC,求二面角 F -AB -P 的余弦值

18、.图 1-49. (2019浙江卷)如图1-5,在四棱锥 A -BCDE中， 平面 ABC丄平面 BCDE / CDE=ZBED =90, AB=CD= 2 , DE= BE= 1, AC=2.(1) 证明：DE 丄平面 ACD;(2) 求二面角 B -AD -E 的大小.10.(2019 重庆卷如图 1-3 所示，四棱锥 P-ABCD 中，底面是以 O 为中心的菱形，PO 丄n1底面 ABCD, AB= 2，/ BAD= , M 为 BC 上一点，且 BM = -, MP 丄 AP.32(1)求 PO 的长；1 .已知平面a丄平面aCl 3=I，点 A a,AD / l,直线 AB / l,

19、直线 AC 丄 I ,直线 m /a,m/B,则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A.AB/ mB. AC 丄 mC.AB/3D.AC 丄32 设 m、n 是两条不 同的直线，a、3是两个不同的平面，贝0()A.若m n，n/ a,贝 U m 丄 aB.若m/ 3, 3丄a,贝 U m 丄 aC.若m 丄3,n 丄3,n 丄a,则m 丄aD.若m 丄 n, n 丄3,3丄a,则 m a3.如图，以等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的高 AD 为折痕，把 ABD 和厶 ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论:押题专图 1-5(2)求二面角 A-PM-C 的正弦值.C图 1-3Ri cac