实数考点解读

1、第六章 实数考点解读实数是在有理数的基础上认识的，主要内容包括平方根、 立方根的概念和求法， 实数的有关概念和运算虽然本章的内容不多，篇幅不大，但在中学数学中占有重要的地位，本章 内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备一、复习目标1, 通过复习能进一步了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平 方根、立方根 2, 知道开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算 求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根3, 进一步理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点 对

2、应，有序实数对与平面上的点一一对应； 知道数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化4, 会用有理数估计一个无理数的大致范围二、知识网络三、重点难点本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法，难点则是平方根和实数的概念关键是要能运用算术平方根、平方根、立方根以及实数的概念进行有关运算四、要点回顾1, 如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a的平方根，也就是说，若x2= a（a>0）,则x就叫做a的平方根一个非负数a的平方根可以符号表示为“土. a ” 2, 平方根的性质：（1 ）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2） 0有一个平方 根，它是0本身；（3）

3、负数没有平方根3, 正数a的正的平方根，叫做 a的算术平方根，记为“ 、a ”.4, 正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0,负数没有算术平方根5, 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方开平方与平方是互逆运算，可以通过平 方运算来求一个数的平方根，以及检验是不是另一个数的平方根6, 算术平方根与平方根有以下区别： （1）定义不同算术平方根的定义是： 如果一个正数 x的平方等于a，即x2= a,则正数x叫做a的算术平方根如22= 4,那么2就叫做4的算术 平方根，即4的算术平方根是2特别地，0的算术平方根是0平方根的定义是：如果一个数x的平方等于a,即x2= a，则这个数x叫做a的平方根如

4、 22= 4, （-2）2= 4,那么2和一2 都叫做4的平方根，即4的平方根是土 2特别地，0的平方根是0.（2）表示形式不同 算术平 方根：正数a的算术平方根用符号 a表示，就是说，正数 a的负的平方根一 a 可以看成 是正数a的算术平方根的相反数平方根：正数a的正的平方根是用符号 a表示，负的平方根用符号,a表示，就是说正数 a的平方根表示为一 .a. (3)结果不同一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数如121的算术平方根是11，121的平方根是土 11，0的算术平方根与平方根都是0.7, 算术平方根与平方根的联系：(1)平方根中包

5、含了算术平方根，就是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个就是它的算术平方根，这样要求一个正数 a的平方根，只要先求出这个正数的算术平方根a就可以直接写出这个正数的平方根a 了 如16的算术平方根是4,则16的平方根就是土 4.(2)在平方根-.a和算术平方根a中被开方都是非负数，即 a 0,严格地讲正数和 0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根.(3)0的平方根和算术平方根都是 0.8, 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做 a的立方根.9, 正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.10, 求一个数的立方

6、根的运算，叫做开立方.开立方与立方是互逆运算，任何数都有立方根，而负数没有平方根，这是开立方与开平方的重要区别11，可以用计算器求一个数的平方根与立方根.12, 有理数和无理数统称为实数.13, 实数按定义来分类：”'正有理数、有理数*0、有限小数或无限循环小数实数!、负有理数，'正无理数无理数彳无无限不循环小数负无理数实数按正、负数来分类:正有理数正无理数负实数:负有理数负无理数14, 实数与数轴上的点是对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两

7、旁，并且两点到原点的距离相等.实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，绝对值大的反而小.15, 实数的性质：(1) 实数a的相反数是一a, 0的相反数是0,具体地，若a与b互为相反数，则a+ b=0;反之，若a + b= 0，贝U a与b互为相反数.(2) 一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a的绝对值可表示为 a = I*®王0 ,就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，-a(a cO.即a >0.并且有若x=a(a0,则x = ±a.(3) 乘积为1

8、的两个实数互为倒数， 即若a与b互为倒数，则ab= 1;反之，若ab= 1, 则a与b互为倒数.这里应特别注意的是 0没有倒数.(4) 任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.(5) 实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、 除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘 除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.五、疑点剖析平方根与立方根以及实数都是极为抽象的概念，不少同学学

9、得稀里糊涂，特别是在具体解题时更是错误百出.现就同学们的常见错误说明如下：1, 36的平方根是6.剖析这种说法是错误的.因为任何一个正数的平方根都有两个，它们是互为相反数.所第12页共8页以36的平方根应该是土 6.1 12, 4的算术平方根是± 3剖析这种说法是错误的.因为一个正数正的平方根才是这个数的算术平方根，因此1的算术平方根是一.23, ± 9的平方根是土 3.剖析 这种说法是不正确的.因为负数没有平方根，正确的说法是9的平方根是土 3,而 -9没有平方根4, 、16 =± 4.剖析 显然这个等式不成立，由于左边.16的结果是4,而右边却是土 4，所以这

10、种说法是错误的.5, 81的平方根是土 9.剖析 这种说法是错误的.这个问题先是要求出,81的结果，然后再求出它的平方根，由于 81 = 9，而9的平方根是土 3，即正确地说法应该是，81的平方根是土 3.6, 8的立方根是土 2.剖析这种说法是错误的.因为一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0,所以正确地说法应该是 8的立方根是2.7, 64的立方根的平方根是 2.剖析 这种说法是错误的这个问题包含两层意思：一是求 64的立方根，二是求 64的 立方根的结果的平方根由于64的立方根4，而4的平方根是土 2，即64的立方根的平方根 是土 2.8, a有立方根，而一定

11、没有平方根.剖析 这种说法的前一句是正确的，而后一句是错误的因为一a并不代表是负数，如当a= 4时，a = 4,所以正确地说法是： a有立方根，而不一定没有平方根9, 3 -a没有意义.剖析 这种说法是错误的.3匚a表示-a的立方根，所以3a是有意义10, 算术平方根等于本身的数是土1和0.剖析 这种说法是错误的.由于负数没有平方根，也就没有算术平方根了，所以算术平 方根等于本身的数只有1和0.11, （.可）2没有平方根.剖析 这种说法是错误的由于本身就隐含a> 0，就是说a< 0时，、a有意义，所以）2有平方根，等于土.二a.剖析 这种说法是错误的因为（3）2= 9，而、9 =

12、 3，又3的平方根是土 ，所以 的平方根是土 3.13, 0.01是0.1的平方根.剖析 这种说法是错误的.因为（± 0.1）2= 0.01,即0.01的平方根是土 0.1.所以正确地说法 是0.1是0.01的平方根.14, 0的平方根与0的立方根不一定相等.剖析 这种说法是错误的.因为0的平方根是0, 0的立方根也是0,所以0的平方根与 0的立方根一定相等.15, 一个数的立方根等于这个数的算术平方根，这个数一定是0.剖析 这种说法是错误的.因为立方根等于本身的数是土1、0，而算术平方根等于它本身的数是1和0;由此可见立方根等于算术平方根的数有1和0.16, 无理数是开不尽方的数剖

13、析这种说法是不正确的。由无理数的定义可知只要是无限不循环小数就是无理数，因而开不尽方的数只是无理数的一部分，并不能把所有的无理数理解为开不尽方的数，如以前学过的n等.17, 无限小数就是无理数L 剖析 这种说法是不正确的.因为无限小数有两种情况：一种是无限循环小数，女口2.31等；另一种是无限不循环小数，如2.313143145等.前者是有理数，而后者才是无理数18, 带根号的数就是无理数剖析 这种说法是不正确的.只有开方开不尽的带有根号的数才是无理数，如- .2,、3,3 3等.而像.16,等仍然是有理数19, 无理数就是带根号的数剖析这种说法不正确因为无理数是无限不循环小数 无理数的常见表

14、达形式有：（1） 根号型，如2.、3,-33等；（2）构造型，女口 0.301300130001等；（3）圆周率n等以后还 会学到三角型。因此，无理数不一定是带根号的数20, 无理数包括正无理数、零、负无理数三类剖析 这种说法不正确因为零属于有理数，不能把它单独划分，因此，无理数应包括 正无理数和正无理数两大类21,是一个分数2剖析 这种说法不正确由于 2是一个无理数，除以2所得的商仍然是一个无理数，因此，判断一个是属于哪一类型不能仅从形式上去看，而要从本质上去分析判断22, 2是最小的无理数剖析这种说法也不正确由于在无理数集合内是可以比较大小的，但它不存在最大的 无理数，也不存在最小的无理数

15、23, 无理数的个数少于有理数剖析这种说法也不正确无理数和有理数的个数都是无限的，不存在谁多谁少的问题，也就无法比较它们个数的多少25, 无理数的运算结果仍然是一个无理数剖析 这种说法是没有根据的因为无理数的运算结果可能是无理数，可能是0,也有13可能是有理数如- 3 2 . 3 - -6;；等2 226, 化简- 3彳可得到结果是剖析结果是错误的由Ta2的意义可知Ta2 = a=aaf0"即J（后-曲化a（avO）甲简的结果应该是一个非负数，所以正确的结果是、3 - ,2 三、考点透视考点1算术平方根例1 （2005年南京市中考试题）9的算术平方根是（）A. 3B.3C. 土 3D

16、.81分析利用算术平方根的意义求解解 因为9的平方根是土 3 ,所以9的算术平方根是3，故应选B说明 一个正数a的正的平方根，叫做 a的算术平方根，记为“ Va ”，正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根考点2平方根例2（2005年丰台区中考试题）4的平方根是（）A. 8B. 2C. ± 2D. _、2分析利用平方根的意义即可求解 解 因为（土 2）2= 4，所以4的平方根是土 2故应选C.说明 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是 0本身；负数没有平方根考点3立方根例3 （2004年海淀区中考试题）64的立方根是 .分析 利用立方根的意

17、义求解解 因为43= 64,所以64的立方根是4故应填上4.说明 如果一个数的立方等于 a,那么这个数叫做a的立方根，正数有一个正的立方根， 负数有一个负的立方根，0的立方根是0.考点4计算器的使用例4（2005年广州市中考试题）用计算器计算血2 _1 J32 1 J42 1 J52 _12-1 ' 3-1 ' 4-1 ' 5-1根据你发现的规律，判断P二 1与Q = （n ° " （n为大于1的整数）的值的大n-1（n +1）-1小关系为（）A.Pv QB.P= Q C.P>QD.与n的取值有关分析按照计算器求平方根的按键顺序即可求解解由计算

18、器计算可直接求得：竺二！ = 、3 - 1.732，兰二=、2 - 1.414 ,2131、42 -14 -11.291,52 -15-11.225,，所以由此可以发现P>Q.故应选C.说明用计算器可以求一个数的平方根与立方根.考点5无理数例5（2005年丰台区中考试题）若无理数a满足不等式1 v av 4,请写出两个符合条件的 无理数、 .分析 在1至4之间的无理数有无数个，所以只要写出满足题意的两个即可解 由于1 = J , 4 = . 16，所以在1至4,即,1至16之间的无理数有无数个，如2、.3、一12 .等等.无理数不能用分数的形式来表示，无理数可以用数说明无限不循环小数称为

19、无理数, 轴上的点来表示.考点6实数的大小比较例6 （2005年杭州市中考试题）设a = 3 - 一 2,b = 2 - . 3,c =、5 - 2，贝V a, b, c的大小关系是（）A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD. b>c>a分析 要比较a、b、c的大小，由于它们都是两个数的差，若能使之转化为两个数的和 就能轻易比较._ _ _ _ 1 1解 因为 a =b=2_、3,c = .5-2，所以 a =, b =, c=晶卡422+31 _ _ _ _一，而.3,2 v 2 、. 3 v 5 2，所以 a> b> c,故应选 A.、52说明 实数的大小关系是：正数大于零，零大于负数，两个正实数中，绝对值大的实数 大于绝对值小的实数，两个负实数中绝对值大的实数小于绝对值小的实数，正实数的大小比较和运算通常可取它们的近似值来进行.考点7实数与数轴例7（2005年深圳市中考试题）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|a b|g的结果是（）A.2a bB.bC. bD. 2a+b1 111 11 a0 b分析 要化简a b . a2，就要先分别确定a b与a的符号，这样由数轴即可知道ab与a的符号，从而即可化简.解 由数轴可知 av 0, b>0，所以 a b v 0，则 |a b| Ja? = _