高中数学高三总复习讲义之导数的综合应用

1、导数的综合应用1. (课本改编题)函数f(x)= ax3 + X恰有三个单调区间，则a的取值范围是2. (课本精选题)如图，水波的半径以 50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 Cm时，水波面的圆面积的膨胀率是 cm2s.3. 若函数f(x) = x+ asin X在R上递增，则实数a的取值范围为 .14. 已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y= 3x3 + 81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为A . 13万件 B . 11万件 C . 9万件 D . 7万件5. 已知函数f(x)的定义域为R, f'(X)为f(x)的导

2、函数，函数y= f'(X)的图像如图所示，且 f( 2) = 1, f(3) = 1 ,则不等式f(x2 6)>1的解集为()A . ( 3, 2) (2,3) B . ( ,2 .''2) C . (2,3) D . ( , .'2) U (j2,+ )题型一利用导数研究函数的零点或方程根的方法例1已知函数 f(x) = x3 3ax 1, a 0.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)在x= 1处取得极值，直线y= m与y= f(x)的图像有三个不同的交点，求 m的取值范围.99 已知函数 f(x)= X3 2x2+ 6x a.(1) 对任意

3、x R, f, (x)m恒成立，求 m的最大值；(2) 若函数f(x)有且仅有一个零点，求实数 a的取值范围.题型二利用函数研究恒成立及参数求解问题已知例2 函数 f(x) = In x X(1) 若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性；3(2) 若f(x)在1 , e上的最小值为2 ,求a的值；若f(x)<x2在(1, + )上恒成立，求a的取值范围.ao o设 f(x) = + Xln x, g(x) = x3 x2 3. X(1) 当a= 2时，求曲线y = f(x)在X= 1处的切线方程；(2) 如果存在x, X2 0,2使得g(xi) g(x2) M成立，求满足上述条

4、件的最大整数M;1如果对任意的s, t 2，2都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围.题型三利用导数研究生活中的优化问题例3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与一k隔热层厚度x(单位：Cm)满足关系：C(X) = 3x+5 (0 x 10),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和.(1) 求k的值及f(x)的表达式；(2) 隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.(2011

5、 建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y = J + 10(x- 6)2,其中3<x<6 , aX-3为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1) 求a的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格X的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.1试题：已知函数f(x) = x2+ aln x.(1) 若a=- 1 ,求函数f(x)的极值，并指出极大值还是极小值；若a= 1,求函数f(x)在1, e上的最大值和最小值；2若a= 1,求证：在区间1 , + )上，函数f(x)的图像在

6、函数g(x) = 3x3的图像的下方.课时规范训练SA组专项基础训练题组一、选择题1曲线y= ex在点(2, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()9 222eAe2B 2eC eD.q2. 已知函数f(x) = X2+ mx+ In X是单调递增函数，则m的取值范围是()A . m> 2 2B. m 2 2C. m<2 2D. m 2 .*；23. 某公司生产某种产品，固定成本为20 OOO元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入1400x TX2O x 400 ,R与年产量X的年关系是R= R(X)=2则总利润最大时，每年生产的产品是80 000 x>

7、400 ,( )A. 100B. 150C. 200D. 300二、填空题4设P为曲线C: y= X2 x+ 1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是1, 3,则点P纵坐标 的取值范围是.4x5. 若函数f(x) = x+万在区间(m,2m+ 1)上是单调递增函数，则实数 m的取值范围为 .6. 已知函数f(x)= X3+ ax2 4在X= 2处取得极值，若m、n 1,1,则f(m)+ f' (n)的最小值是 三、解答题7. 设函数 f(x) = ax3 3x2 (a R),且 X= 2 是 y= f(x)的极值点.(1) 求实数a的值，并求函数的单调区间；(2) 求函数g (X)

8、= ex (x)的单调区间.& 已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时，f(x) = ln x ax+ 1 (a R).(1)求函数f(x)的解析式；若函数y= f(x)在R上恰有5个零点，求实数a的取值范围.B组专项能力提升题组一、选择题1 1 .函数f(x) = ex(sin x+ CoS x)在区间0, 2上的值域为()11 11 CrXnA. 2，/2B. 2，乂2C. 1 , e§D. (1, e)XV 32. 若函数f(x) = X2+a (a>0)在1 , + )上的最大值为 ,则a的值为()A.-33B. .3 C. .3 +1 D. 3 13

9、. 已知对任意 x R,恒有 f( x)= f(x), g( X)= g(x),且当 x>0 时，f' (x)>0, g ' (x)>0,则当 x<0 时有()A . f' (x)>0, g' (x)>0 B . f' (x)>0, g' (x)<0 C. f' (x)<0, g' (x)>0 D . f' (x)<0, g' (x)<0二、填空题1 一 X4. 已知函数f(x) =F In X,若函数f(x)在1 , + )上为增函数，则正实

10、数a的取值范围为 .ax5. 已知函数f(x) = mx3+ nx2的图像在点(一1,2)处的切线恰好与直线3x+ y= 0平行，若f(x)在区间t, t+ 1上单调递减，则实数 t的取值范围是 .6. 已知函数f(x)= ax3 3x+ 1对x (0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是 .三、解答题7. 已知 X= 1 是函数 f(x)= mx3 3(m+ 1)x2+ nx+ 1 的一个极值点，其中m、n R, m<0.(1) 求m与n的关系表达式；(2) 求f(x)的单调区间；(3) 当x 1,1时，函数y= f(x)的图像上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.答案

11、基础自测1. ( , 0)2.25 OOO 3. 1,14. C 5.A题型分类深度剖析例1解(1)f' (X) = 3x2 3a = 3(x2 a),当 a<0 时，对 x R,有 f' (x)>0 ,当a<0时，f(x)的单调增区间为(,+).当a>0时，由f' (x)>0 ,解得x< a或x>.a.由 f' (x)<0,解得一，a<x< .a,当a>0时，f(x)的单调增区间为(, a), ( . a, + )，单调减区间为(一，Ja, . a).(2) f(x)在x= 1处取得极值， f&

12、#39; ( 1) = 3× ( 1)2 3a = 0, a= 1. f(x)= x3 3x 1, f' (X)= 3x2 3,由 f' (x) = 0 ,解得 X1 = 1, x2= 1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x= 1处取得极大值f( 1) = 1,在X= 1处取得极小值f(1) = 3直 线y= m与函数y= f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(一3,1).变式训练1一4 (2)a>2或a<2例2解IaX + a(1)由题意f(x)的定义域为(0, +),且f, (X)= -+X2=p

13、/ a>0, f' (x)>0 , 故f(x)在(0, + )上是单调递增函数.x+ a(2)由(1)可知，f' (x) = = 若 a 1,则 x+ a 0,即f' (X) 0在1 , e上恒成立,此时 f(x)在1 , e上为增函数， f(x)min = f(1) = - a= 2， a= 3(舍去). 若a e,则x+ a 0,即f' (x) 0在1 , e上恒成立，此时f(x)在1 , e上为减函数，a 3.f()min= f(e)= 1 e = 2, a=-2(舍去). 若e<a< 1 ,令 f' (x) = 0 得 X

14、= a,当 1<x<- a 时，f' (x)<0 , f(x)在 (1, - a)上为减函数；当一a<x<e 时，f' (x)>0, f(x)在 ( a, e)上为增函数, “、3 f(x)min= f( a)= ln(a) + 1 = 2, a=- e.综上所述，a = e.2. a 2(3) / f(x)<x , n x x<x .又 x>0, a>xIn x x3.令 g(x)= xln x x3,16x2X(x)=丄_ 6x=Xh(x) = g' (x) = 1 + In x 3x2, x (1,+ )

15、时，h' (x)<0 , h(x)在(1, + )上是减函数. h(x)<h(1) = 2<0,即P g' (x)<0 , g(x)在(1, + )上也是减函数.g(x)<g(1) = 1, 当 a- 1 时， f(x)<x2在(1 , + )上恒成立.变式训练2解(1)当a = 2时，22f(x) = - + xln x, f' (x) = -2+ In x+ 1,XXf(1)= 2, f' (1)= 1 ,故 y 2= (X- 1).所以曲线y= f(x)在X= 1处的切线方程为x+ y 3 = 0.存在 X1, X2 0

16、,2,使得 g(X1) g(X2) M 成立，等价于：g(X1) g(X2)max M , g(x)= X3 x2 3,2 2g' (x) = 3x2 2x= 3x x 3 ,X020, 223322g' (X)一0+g(x)3递减极(最)小值-85 值27递增1285由上表可知：g(x)min = g 3 = 27g(x)max = g(2) = 1 ,g(X1) g(X2)max=g(x)max g(x)min =11227 ,所以满足条件的最大整数M= 4.1对任意的s, t 2, 2,都有f(s) g(t)成立.1等价于：在区间 2, 2上，函数f(x)的最小值不小于

17、g(x)的最大值,1由(2)知，在区间 2，2上，g(x)的最大值为g(2)= 1. f()min 1.又 T f(1) = a,° a 1.1下面证当a 1时，在区间 2，2上,函数f(x) 1成立.1当a1且x 2，2时,a1记 h(X)= X + xln X, h'f(x) = + xln x-+ Xln x,(X) =- x12+ ln x+ 1，h，(I)= 0,当 x 2, 1 时,(X)=-X2+ ln x+ 1<0当 x (1,2时，h, (X)=- x+ In x+ 1>0,11所以函数h(x)=丄+ xln X在区间1, 1上递减，在区间(1,

18、2上递增,X2h(x)min = h(1) = 1,即卩 h(x) 1,1 1所以当a 1且X $ 2时，f(x) 1成立，即对任意s, t 2, 2都有f(s) g(t).(1)设隔热层厚度为X cm,由题设，每年能源消耗费用为kC(X)= 3x+ 5.再由 C(O) = 8,得 k= 40,因此 C(X)=403x + 5又建造费用为C1(x) = 6x.最后得隔热层建造费用与40f(x) = 20C(X) + C1 (X) = 20 × + 6x3X十5= -80亠 + 6x (0 x 10).3x+ 520年的能源消耗费用之和为(2)f, (X) = 6-2 4003x+ 5

19、令 f, (X) = 0,2 4003x+ 52= 6.解得 X = 5,X=-25(舍去).当0<x<5时,f' (x)<0,当 5<x<10 时，f' (x)>0,故X= 5是f(X)的最小值点，对应的最小值为f(5) = 6× 5 +琵=70.当隔热层修建5 Cm厚时，总费用达到最小值70万元.变式训练 3(1)a= 2(2)x= 4课时规范训练A组31. D 2.B 3.D 4. 4，35.(- 1,06 137. (1)a= 1函数f(x)单调增区间是(-, 0), (2, + );单调减区间是(0,2)(2)函数g(x)

20、的单调增区间是(一_6, 0), (.6,+ );单调减区间是(一,- .,6), (0,6)& (1)f()= ln x ax+1x>0 ,0 X= 0 , In X ax 1x<0解函数f(x)是奇函数，函数y= f(x)的零点关于原点对称，由 f(x) = 0恰有5个不同的实数根知5个实数根中有两个正根、两个负根、一个零根，且两个正根和两个负根互为相反数.要使方程f(x)=0恰有5个不同的实数根，只要使方程f(x) = 0在(0, + )上恰有两个不同的实数根.下面研究x>0时的情况： f, (X) = L- a, 当 a 0 时，f' (x)>0

21、, f(x)在(0,+ )上为单调递增函数，方程 f(x) = 0 在(0, +X)上不可能有两个不同的实数根.1a X-当 a>0 时，f, (X)=,X1令 F(X) = 0,得 X= -.a1当0<x<-时，f' (x)>0 ,函数f(x)是递增的；a1当x>时，f' (x)<0 ,函数f(x)是递减的，a1函数f(x)在X=1处取得极大值In a.a又根据函数单调性可判断f()在趋近于0处及+时，f(x)<0.要使方程f(x)= 0在(0, +)上恰有两个不同的实数根，只要 In a>0 ,解得0<a<1 ,故a