椭圆的参数方程教学设计

1、学习必备欢迎下载椭圆的参数方程教学目的 ：（一）知识： 1. 椭圆的参数方程 .2. 椭圆的参数方程与普通方程的关系。（二）能力： 1.了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数a, b 的含义并能利用参数方程来求最值、轨迹问题；2通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系并能相互转化提高综合运用能力（三）素质 ：使学生认识到事物的表现形式可能不止一种。教学重点： 椭圆参数方程的推导 . 参数方程与普通方程的相互转化教学难点： 1 椭圆参数方程的建立及应用.2. 椭圆参数方程中参数的理解.教学方法： 引导启发式教学用具： 多媒体辅助教学教学过程：一、新课引入：

2、问题 1圆 x2y2r 2 的参数方程是什么？是怎样推导出来的？22xcosxr cosyrx1为参数 )由圆的方程变形为解得：(rr，令yr sinsinyr问题 2设 x 3cos ,为参数，写出椭圆x2y291的标准方程。4解：把 x3 cos 代入椭圆方程，得到y24(1 cos2)4 sin2即 y2sin由参数的任意性，可取 y 2 sin .因此，椭圆 x2y2的参数方程是x3cos ,为参数)941y(2sin .探究： 能类比圆的参数方程，写出椭圆的参数方程吗？学习必备欢迎下载二、新课讲解 ：1、焦点在x 轴上的椭圆参数方程的推导因为 ( x) 2( y )21 ，又 cos

3、2sin 21ab设 xcos , ysin ，xacos即( 为参数 )，abybsin这是中心在原点O,焦点在 x 轴上的椭圆的参数方程。2. 参数 的几何意义思考： 类比圆的参数方程中参数的意义，椭圆的参数方程中参数的意义是什么？yyPM 2MM 1OAOP2P1xx圆的标准方程： x2y 2r 2圆的参数方程：椭圆的标准方程：x2y2椭圆的参数方程：a12b2xr cos(为参数)y r sin x acos( 为参数)ybsin圆的参数方程中是 Ox 轴逆时针旋转到OP 的旋转角即AOP，那么椭圆的参数方程中是不是上图中 Ox 轴逆时针旋转到OM 的旋转角呢？请大家看下面图片如图，以

4、原点为圆心，分别以a 、 b (ab0) 为半径作两个圆，点B 是大圆半径 OA 与小圆半径的交点，过点A 作 ANOx，垂足为N ，过点 B 作 BMAN ，垂足为 M ，求当半径 OA 绕点 O 旋转时学习必备欢迎下载M 的轨迹的参数方程 .分析：动点 A 、 B 是如何动的？M 点与 A 、 B 有什么联系？如何选取参数较恰当？解：设 M 点坐标为 (x, y) ， AOx，以为参数，则 xONOA cosa cosyNMOB sinbsin，当半径 OA绕 O 点逆时针旋转一周时，就得到点xa cosM 的轨迹，它的参数方程是( 为参数) yb sin这是中心在原点O ，焦点在 x 轴

5、上的椭圆。所以，参数是点 M 所对应的圆的半径OA ( 或 OB ) 的旋转角（称为点M 的离心角），不是 OM 的旋转角，参数是半径 OM 的旋转角。三、例题解析例 1.在椭圆 x2y21上求一点 M ，使点 M 到直线 x 2 y 100 的距离最小，并求出最小距离 .94解法一：设直线x2 y c0 与椭圆相切x 2y21得 25x218cx9c 2 144 0由 94(1)x 2 y c 0(18c)2425(9c2144)由0 解得 c225由题意知点 M 为直线 x2y50 与椭圆的交点把 c5 代入 (1) 解得点 M 坐标为 ( 9 , 8 ) . 5 592810555d5因

6、此， M 到直线 x 2 y 50 的最小距离为5 .解法二：椭圆的参数方程为x3 cos为参数 )y(2sin学习必备欢迎下载可设点 M 的坐标为（3cos,2sin）.M 到直线的距离为3 cos4sin10由点到直线的距离公式，得到点d55(cos3sin4) 101555 cos(0 )10 ,55其中 0 满足 cos 03, sin04 .55由三角函数性质知，当00 时， d 取最小值 .此时3cos3cos 09 ,2sin2sin0855因此，当点 M 位于 (9,8) 时，点 M 与直线 x2 y10 0 的距离取最小值5 .55变式练习 :：与简单的线性规划问题类比，你能

7、在实数x, y 满足 x2y 21的前提下，求出 zx 2y 的2516最大值和最小值？由此可以提出哪些类似的问题？解：椭圆的一个参数方程为x5 cos( 为参数)y 4 sin设 M (5 cos ,4sin ) 是椭圆上任意一点z5 cos8sin89 cos(0 )其中0 满足 cos05,sin088989当00 时， z 有最大值89 .此时， 5 cos5cos(0 )25;4 sin4 sin( 0 )328989即当点 M位于( 25 ,32 ) 时 z 有最大值89 .8989同理， 5 cos5cos(0 )25 ;4 sin4sin(0 )328989即当点 M位于(25

8、,32 ) 时 z 有最小值89 .8989学习必备欢迎下载例 2：已知椭圆 x2y21，点 A 的坐标为 (3,0) .在椭圆上找一点P ，使点 P 与点 A 的距离最大 .2516x5cos( 为参数)解：椭圆的参数方程为4 siny设 P(5 cos,4 sin)PA(5cos3)2(4 sin)29 cos230 cos25(3cos 5)2当 cos1时， PA 最大 .此时， sin0，点 P的坐标为 (5,0).四、课堂小结：本课要求大家了解了椭圆的参数方程及参数的意义，通过推导椭圆的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握，并能选择适当的参

9、数方程正确使用参数式来求解最值问题.五、课后作业：x2y2x 2 y 的取值范围 .1 设 P(x, y) 是椭圆1上的一个动点，求64解：椭圆的一个参数方程为x6 cos ( 为参数，02 )y2sinx 2 y6 cos 4 sin22 cos(0 )cos(0 )1,1x2y22, 22 .2.已知椭圆x2y2ABCD ，求矩形 ABCD 的最大面积 .1001 有一内接矩形64x10 cos解：椭圆的一个参数方程为( 为参数)y8sin可设 A 点的坐标为 (10 cos ,8 sin)则 AD 20 cos , AB 16 sin ,S矩形AB AD20 16 sincos160 sin 2.学习必备欢迎下载sin 21矩形 ABCD 的最大面积为 160.六、板书设计椭圆的参数方程1.椭圆的参数方程3.例