matlab的符号运算

1、第四章 MATLAB的符号运算* 教学目标 介绍符号运算的概念和使用* 学习要求 掌握使用符号运算解决符号推导、微积 分、方程等问题的方法。第四章 MATLAB的符号运算一、数值运算和符号运算 符号计算：操作对象不是数值而是符号（符号表达式或符号数组）。 通过符号常数、符号变量及符号操作形成符号表达式。 符号运算由符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）支持，该工具箱是在Maple软件的基础上实现的 符号运算函数是数值运算函数的重载，符号运算采用的函数和数值运算的函数有一部分同名 获取帮助信息应该使用“help sym/函数名”的方式。 第四章 MATLAB的符号运算一、数

2、值运算和符号运算 数值运算在运算前必须先对变量赋值，再参加运算。 符号运算不需要对变量赋值就可运算，运算结果以标准的符号形式表达。第四章 MATLAB的符号运算一、数值运算和符号运算哥哥弟弟年龄问题。 解答方法： g-3d=1； g-d=19；第四章 MATLAB的符号运算一、数值运算和符号运算哥哥弟弟年龄问题。gegedidi.m： clear; syms g d; x,y=solve(g-d=19,g-3*d=1,g,d)?solve(g-d=19,g-3*d=1,g,d)?g,d=solve(g-d=19,g-3*d=1,g,d)第四章 MATLAB的符号运算一、数值运算和符号运算形如以

3、下： （1） sin(a*x+b*y) （2）a*x2+b*x+c （3）1/(4+cos(t) （4）4*x/y （5）2*a+b （6）2*i+4*j 第四章 MATLAB的符号运算一、数值运算和符号运算当我们做如下操作时： 4*x/y ? Undefined function or variable x. 第四章 MATLAB的符号运算二、符号变量定义 调用命令： sym syms 调用格式： a=sym(a);b=sym(b); c=sym(c); syms a b c;第四章 MATLAB的符号运算二、符号变量定义 f=sym（符号字符串）含义：创建了一个符号变量f，f的值为符号字符

4、串；注意：a=sym（a）不同于a=sym（b），虽然都是定义了符号变量a，但是值不同。 第四章 MATLAB的符号运算二、符号变量定义 几种常见的典型错误命令： x=sym x; x=sym x; syms x,y,z;第四章 MATLAB的符号运算三、符号表达式的定义 符号表达式：包含数字、函数和变量的字符串，不要求字符串中的变量有预先确定的值。 调用命令： sym 调用格式： f=sym（符号表达式） 定义符号表达式，并将它赋值给变量f。第四章 MATLAB的符号运算三、符号表达式的定义建立符号表达式有以下建立符号表达式有以下2种方法：种方法：(1)用用sym函数建立符号表达式。函数建立

5、符号表达式。 f=sym(a*x2+b*x+c);(2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。使用已经定义的符号变量组成符号表达式。 syms x y a b c f=a*x2+b*x+c(?)利用单引号来生成符号表达式。利用单引号来生成符号表达式。 f=a*x2+b*x+c第四章 MATLAB的符号运算三、符号表达式的定义思考并提问： 1.sym（）和syms bla的区别？2. a=a 和 a=sym(a)的区别？第四章 MATLAB的符号运算三、符号表达式的定义形如：a*x2+b*x+c提问： 谁是自变量？第四章 MATLAB的符号运算三、符号表达式的定义 自变量的确定： 方法一：事先

6、明确指定。 方法二：MATLAB自行默认确定。第四章 MATLAB的符号运算三、符号表达式的定义 MATLAB自变量确定原则: （1） x被视为默认的自变量。（2）字母位置最接近x的小写字母； （。u,v,w,x,y,z。）第四章 MATLAB的符号运算三、符号表达式的定义 默认自变量实例（1） sin（a*x+b*y） （2）a*x2+b*x+c （3）1/（4+cos（t） （4）4*x/y （5）2*a+b （6）2*i+4*j第四章 MATLAB的符号运算三、符号表达式的定义 函数findsym帮助我们获取系统定义的自变量 格式：findsym（f）; findsym（f，1）例如：

7、f= sym(sin(a*x+b*y); f=sym(a*x2+b*x+c); f=sym(1/(4+cos(t); f=sym(4*x/y); f=sym(2*a+b); f=sym(2*i+4*j);findsym(f)findsym(f,1)findsym(f,2)findsym(f,n)第四章 MATLAB的符号运算四、符号方程的定义 符号表达式和符号方程的区别：符号表达式是由数字、函数和变量组成的代数式；符号方程是由函数和等号组成的等式。第四章 MATLAB的符号运算四、符号方程的定义 调用命令： sym调用格式： sym(符号方程式)例如： equation=sym(sin(x)+

8、cos(x)=1)第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （1）符号的加减乘除幂次方运算 + - * / 例如： (a*x+b*y-c*z)/2*v*w2第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （2）符号表达式的常用运算函数（page128） + - * / numden(转换为分子分母形式) sym2poly, poly2sym第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （2）符号表达式的加减乘除幂次方运算 例如： f1=sym(1/(a-b); f2=sym(2*a/(a+b); f3=sym(a+1)*(b-1)*(a-b);

9、第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （2）符号表达式的加减乘除幂次方运算 例如：n,d=numden(f1+f2) p=sym(2*x3+3*x2+4); sym2poly(p) x=2,3,0,4; poly2sym(x)第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （3）符号表达式化简（page129） collect ：合并同类项expand：展开多项式horner: 分解成嵌套形式factor： 因式分解simplify: 对表达式化简simple： 化简为最简形式，表达式最少字符。第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算

10、（3）符号表达式化简 例如: collect 合并同类项 f=sym(x2*y+y*x-x2-2*x); collect(f) syms x y; collect(x2*y+y*x-x2-2*x) (找不同)第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （3）符号表达式化简 例如: collect 合并同类项syms x y;collect(exp(x)+x)*(x+2)collect(x+y)*(x2+y2+1), y) （找不同）第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （3）符号表达式化简 例如: expand展开多项式 f=sym( a3-1); e

11、xpand(f)expand(x-2)*(x-4)expand(cos(x+y)expand(exp(a+b)2)第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （3）符号表达式化简 例如: horner分解成嵌套形式horner(x3-6*x2+11*x-6)第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （3）符号表达式化简 例如: factor： 因式分解factor(x3-6*x2+11*x-6)第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （3）符号表达式化简 例如: simplify: 对表达式化简simplify(x3-6*x2+11*

12、x-6)simplify(sin(x)2 + cos(x)2)simplify(exp(c*log(sqrt(a+b)simplify(x2+5*x+6)/(x+2)simplify(sqrt(16)第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （3）符号表达式化简 例如: simple化简为最简形式，表达式最少字符。f=2*cos(x)2-sin(x)2;simple(f)r,how=simple(f)第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （3）符号表达式化简 第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （3）符号表达式化简 第四章

13、MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （3）符号表达式化简 f=sym(a*x2+b*x+c)r,how=simple(f)r =a*x2+b*x+chow = 第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 1 初等代数运算 （3）符号表达式化简 help simple第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 2 再次扩充认识sym函数 功能：定义符号表达式; 或将输入参数转换为对应的符号表示， 或设定符号变量类型。 格式：sym(a) ; sym(A); sym(A, real), sym(A, unreal), sym(A，flag) flag为f，r，e，d (page1

14、27) 第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 2 sym函数 例如： s= sym(sin(x)2+ cos(x)2) A=0.25 或者A=1/8 或者A=sym(1/8) sym(A) sym(A) (找不同)第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 2 sym函数 提问： sym(sqrt(3) 和 sym(sqrt(3)区别是什么？ 第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 2 sym函数 例如： sym(1/3,f) sym(1/3,e) sym(1/3,r) sym(1/3,d)第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 2 sym函数 例如： sym(x, real)

15、sym(y, real) syms x y real conj(x) sym(x, unreal) conj(x) 观察并回答：观察并回答： 结果为什么是这样？结果为什么是这样？第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 3 求反函数 finverse 功能：求得符号函数的反函数。 格式：finverse(f) finverse(f,v) f: 符号表达式 v：自变量。 finverse(f)系统默认自变量； finverse(f,v) ，v是指定的自变量。第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 3 求反函数 syms x y finverse(1/tan(x) f= x2+y finve

16、rse(f,y) finverse(f) （找不同）第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 4 求复合函数 compose 功能：求符号函数的复合函数。（page134） 格式：compose(f,g) compose(f,g,z) compose(f,g,x,z) compose(f,g,x,y,z)第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 4 求复合函数 compose 功能： compose(f,g) 返回f，g的复合函数f(g(y),其中f，g中的自变量为系统默认的； compose(f,g,z)返回f，g的复合函数f(g(z)，其中z为g中自变量； compose(f,g,x,

17、z)返回f，g的复合函数f(g(z),其中x和z分别是f和g中的自变量； compose(f,g,x,y,z) 返回f，g的复合函数f(g(z),其中x和y分别是f和g中的自变量，z为复合函数中的自变量。第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 4 求复合函数 compose syms x y z t u; f = 1/(1 + x2); g = sin(y); h = xt; p = exp(-y/u); compose(f,g) compose(f,g,t) compose(h,g,x,z) compose(h,g,t,z) compose(h,p,x,y,z) compose(h,p,

18、t,u,z)第四章 MATLAB的符号运算演练例题：已知f=1/(1+x2),g=sin(y),求复合函数 f(g(y).第四章 MATLAB的符号运算解答：clear;syms x y;f=1/(1+x2);g=sin(y);h=compose(f,g)第四章 MATLAB的符号运算演练例题：已知 f(sin(x/2)=1+cos(x),求f(cos(x).并计算x= 时函数的值。/6第四章 MATLAB的符号运算解答：syms xt=finverse(sin(x/2)f=1+cos(t)g=cos(x)compose(f,g)subs(ans,pi/6)第四章 MATLAB的符号运算解答：

19、f(sin(x/2)=1+cos(x) = f(sin(x/2)=1+1-2*sin(x/2)2 subs(f,t, sin(x/2) (或subs(f, sin(x/2) ,cos(x) f(t)=2-2t2 subs(f,t, cos(x) = f(cos(x)=2-2*cos(x)2 = subs(f, x , pi/6)第四章 MATLAB的符号运算类似的例题：1.如果f(x-2)=x2-2x+3；则f(x+2)=?2.设f(x+1)=x2+2x+3; 则f(sinx)=?第四章 MATLAB的符号运算解答1：syms x tt=finverse(x-2)f=t2-2*t+3g=x+2

20、compose(f,g)第四章 MATLAB的符号运算解答2：syms x tt=finverse(x+1)f=t2+2*t+3g=sin(x)compose(f,g)第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 5 表达式替换 subs 功能：表达式替换。 格式：subs(s) subs(s,new) subs(s,old,new)第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 5 表达式替换 subs 含义： subs（f）用给定值替换符号表达式中的所有系统指定的变量； subs（f，new）用new替换符号表达式f中所有系统指定的变量； subs（f，old，new）将符号表达式中所有old出

21、现的地方用new值替换。第四章 MATLAB的符号运算五、符号运算 5 表达式替换 subs a=5;c=10; y=sym(a*x2+b*x+c) subs(y) syms a b subs(a+b,a,4) subs(a+b,4) (?) subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2)第四章 MATLAB的符号运算小结： 关于符号变量定义： sym syms运算： + - * / 化简: collect,expand,horner,factor, simplify,simple等sym:finverse:compose:subs： digits：vpa： 课后任务

22、一、学会定义符号和符号表达式。二、掌握符号表达式的基本运算。三、掌握与符号表达式相关的常用函数。 第四章 MATLAB的符号运算* 教学目标 介绍符号运算的概念和使用* 学习要求 掌握使用符号运算解决符号推导、微积 分、方程等问题的方法。第四章 MATLAB的符号运算六、极限 函数： limit 调用格式： g=limit (f) g=limit (f, a) g=limit（f，x，a） g=limit（f，x，a，left） g=limit（f，x，a，right） 第四章 MATLAB的符号运算六、极限 函数： limit含义： g=limit (f) 函数f在系统默认的自变量为默认值时

23、的极限值； g=limit (f, a) 函数f在系统默认的自变量为a时的极限值； g=limit（f，x，a） 函数f在自变量x为a时的极限值； g=limit（f，x，a，left）函数f在自变量x为a时的左极限值； g=limit（f，x，a，right）函数f在自变量x为a时的右极限值； 第四章 MATLAB的符号运算六、极限 例题： syms x limit(1/x) limit(1/x,0) limit(1/x,x,0) limit(1/x,x,0,left) limit(1/x,x,0,right)第四章 MATLAB的符号运算六、极限 例题：limit(sin(x)/x) li

24、mit(x-2)/(x2-4),2) limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) （？） 第四章 MATLAB的符号运算六、极限 如果自变量不是x，最好显示说明！ syms h x; limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) 第四章 MATLAB的符号运算六、极限 演练例题：例求极限 lim()xxx ax a第四章 MATLAB的符号运算六、极限 解答： syms a x limit(x+a)/(x-a)x,inf)第四章 MATLAB的符号运算六、极限 演练例题：例求极限 1ln( )0lim( ( )xx

25、tg x 第四章 MATLAB的符号运算六、极限 解答： syms x limit(tan(x)(1/log(x),x,0,right)第四章 MATLAB的符号运算六、极限 演练例题：例若有 21( )lim (1)txxf ttx21( )lim(1)txxf tx第四章 MATLAB的符号运算六、极限 解答： syms t x f=limit(1+1/x)(2*t*x),x,inf) f=limit(t*(1+1/x)(2*t*x),x,inf)第四章 MATLAB的符号运算七、微分 函数： diff 调用格式： diff(f) diff(f, t) diff(f,n) diff(f,t

26、,n) 第四章 MATLAB的符号运算七、微分 含义： diff(f) 返回函数f对系统默认自变量的微分；diff(f, t) 返回函数f对自变量t的微分；diff(f,n)返回f对系统默认自变量的n阶微分；diff(f,t,n)返回f对自变量t的n阶微分。 第四章 MATLAB的符号运算七、微分 演练例题：例4-14 page137已知f(x)=ax2 +bx+c,求f(x)的微分。第四章 MATLAB的符号运算七、微分 解题： syms a b c x f=sym(a*x2+b*x+c) diff(f) diff(f,2) diff(f,a) diff(f,a,2) diff(diff(f

27、),a)第四章 MATLAB的符号运算八、积分 函数： int 调用格式： int(f) int(f, t) int(f,a,b) (a,b 为数值式) int(f,t,a,b) int(f,m,n) (m,n为符号式) 第四章 MATLAB的符号运算八、积分 含义：int(f) 返回f对系统默认自变量的不定积分；int(f, t) 返回f对自变量t的不定积分；int(f,t,a,b) 返回f对自变量t的定积分； ，int(f,a,b) (a,b 为数值式) 返回f对系统默认自变量的定积分，上下限分别为数值a和b；int(f,m,n) (m,n为符号式) 返回f对系统默认自变量的定积分，上下限

28、分别为符号m和n； 第四章 MATLAB的符号运算八、积分 演练例题：例4-15 page138已知f(x)=ax2 +bx+c,求f(x)的积分。第四章 MATLAB的符号运算八、积分 解答： syms a b c x f=sym(a*x2+b*x+c) int(f) int(f,x,0,2) int(f,a) int(int(f,a),x)第四章 MATLAB的符号运算八、积分 例如： int(1/(1+x2) int(x*log(1+x),0,1)int(4*x*t,x,2,sin(t)第四章 MATLAB的符号运算八、积分 注意事项：函数的积分可能不存在！ 怎么办？如：int(x/ex

29、p(x3)第四章 MATLAB的符号运算八、积分 例题 求积分 21xdx1 x（+ ）第四章 MATLAB的符号运算八、积分 解答： syms x int(sqrt(x)/(1+x)2),1, inf)第四章 MATLAB的符号运算八、积分 例题：计算积分：10 xln(1 x)dx21xdz1 z+第四章 MATLAB的符号运算八、积分 解答： syms x y z R1=int(x/(1+z2),x) (?) R1=int(x/(1+z2),z,1,inf) (?) R2=int(x*log(1+x),0,1)第四章 MATLAB的符号运算八、积分 请问： 如何处理双重积分? 双重积分=

30、两次积分么？ 2cos( )1sin( )xxxydydx 2cos( )1sin( )xxxydydx 2cos( )1sin( )xxxydydx 第四章 MATLAB的符号运算八、积分 解答 syms x y; int(int(x*y,y,sin(x),cos(x),1,2)2cos( )1sin( )xxxydydx 2cos( )1sin( )xxxydydx 2cos( )1sin( )xxxydydx 第四章 MATLAB的符号运算九、级数 函数：symsum,taylor 调用格式：symsum(s,v,a,b) taylor(F,v,n) 第四章 MATLAB的符号运算九、级

31、数 含义：symsum(f) 符号表达式的默认变量从0到k-1项求和；symsum(f,b)符号表达式的默认变量从0到b求和；symsum(f,a,b) 符号表达式的默认变量从a到b求和。symsum(f,v,a,b) 符号表达式指定的变量v从a到b求和。taylor(f,v,n) f对 指定的自变量v展开到第n-1项。 第四章 MATLAB的符号运算九、级数 演练例题：例4-16 page139分别求级数11111111.23k22x33x4k(k+1)和的和。第四章 MATLAB的符号运算九、级数 解答： syms k symsum(1/k,k,1,inf) symsum(1/(k*(k+

32、1),k,1,inf)第四章 MATLAB的符号运算九、级数 演练例题：例4-17 page139求sin(x)的10阶展开式。并求x=pi/2处的值。第四章 MATLAB的符号运算九、级数 解答： syms x taylor(sin(x),x,10) subs(ans,x,pi/2)第四章 MATLAB的符号运算九、级数 提问：taylor(sin(x),x,10)用help或者其他渠道读懂10这个参数。并解释。 课后任务 课后任务：演练limit，diff，int， symsum，taylor等函数。 第四章 MATLAB的符号运算* 教学目标 介绍符号运算的概念和使用* 学习要求 掌握使

33、用符号运算解决符号推导、微积 分、方程等问题的方法。第四章 MATLAB的符号运算十、方程求解 函数：solve 解符号方程式f 调用格式： sovle(f1,f2,fn) sovle(f1,f2,fn, v1,v2,v3,vn) 第四章 MATLAB的符号运算十、方程求解 含义：sovle(f1,f2,fn) 解方程或者方程组，f1=0,f2=0,fn=0构成了方程或方程组，自变量为系统默认；sovle(f1,f2,fn, v1,v2,v3,vn) 解方程或者方程组，f1=0,f2=0,fn=0构成了方程或方程组，v1，v2，,vn为指定的自变量。 第四章 MATLAB的符号运算十、方程求解

34、 例题4-18 （page140）求一元二次方程f(x)=ax2+bx+c的根。第四章 MATLAB的符号运算十、方程求解 f=sym(a*x2+b*x+c) solve(f) syms a solve(f,a)第四章 MATLAB的符号运算十、方程求解 例题4-19 （page140）求方程的解，方程如下：xyz10 xyz02xyz4 第四章 MATLAB的符号运算十、方程求解 f1=sym(x+y+z-10); f2=sym(x-y+z); f3=sym(2*x-y-z+4); solve(f1,f2,f3); x,y,z=solve(f1,f2,f3)第四章 MATLAB的符号运算十、

35、方程求解以下方式是否可以？ f1=sym(x+y+z=10); f2=sym(x-y+z=0); f3=sym(2*x-y-z=-4);第四章 MATLAB的符号运算十、方程求解例题：求方程的解，方程如下，这里a,b为系数：2xay0bx2第四章 MATLAB的符号运算十、方程求解 syms x y a b; x,y=solve(x2-a*y,b*x=2,x,y)第四章 MATLAB的符号运算十一、微分方程求解 函数：dsolve 解微分符号方程式f 调用格式： dsolve(f,cond,v) dsolve(f1,f2,fn,cond1,cond2,condn,v1,v2,vn) dsolv

36、e(f1,f2,fn) 第四章 MATLAB的符号运算十一、微分方程求解 含义：dsolve(f,cond,v) 求微分方程的解，f为微分表达式，cond为初始条件；dsolve(f1,f2,fn) 求微分方程或微分方程组的通解，f为微分表达式，自变量为系统默认；dsolve(f1,f2,fn,cond1,cond2,condn,v1,v2,vn) 求微分方程或微分方程组的解，f为微分表达式，v为指定的自变量。 第四章 MATLAB的符号运算十一、微分方程求解 注意事项：1 Dy代表dy/dt, D2y代表d2y/dt2 。2如果没有初始条件，则求微分方程的通解。3系统默认变量t。第四章 MA

37、TLAB的符号运算十一、微分方程求解 例题4-20（page141）：求微分方程y=5的通解。求微分方程y=x的通解，指定x为自变量。求微分方程y=1+y的通解。求微分方程y=1+y的解，y|t=0=1,dy/dt|t=0=0。第四章 MATLAB的符号运算十一、微分方程求解 dsolve(Dy=5) dsolve(Dy=x,x) dsolve(D2y=1+Dy) dsolve(D2y=1+Dy,y(0)=1,Dy(0)=0)第四章 MATLAB的符号运算十一、微分方程求解 例题4-21（page142）：求微分方程组dxdtdydtyx2x第四章 MATLAB的符号运算十一、微分方程求解 x

38、,y=dsolve(Dx=y+x, Dy=2*x) x,y=dsolve(Dx=y+x, Dy=2*x)第四章 MATLAB的符号运算十一、微分方程求解 例题4-21（page142）：求微分方程组，初始条件x|t=0=0，y|t=0=1dxdtdydtyx2x第四章 MATLAB的符号运算十一、微分方程求解 x,y=dsolve(Dx=x+y, Dy=2*x,x(0)=0,y(0)=1) x,y=dsolve(Dx=x+y, Dy=2*x,x(0)=0,y(0)=1)第四章 MATLAB的符号运算十一、微分方程求解 例题：求微分方程dy/dt=ay的通解。并求初始条件y|t=0=1时的特解，a为系数。第四章 MATLAB的符号运算十一、微分方程求解 dsolve(Dy=a*y) dsolve(Dy=a*y,y(0)=1)第四章 MATLAB的符号运算十一、微分方程求解例题：求微分方程组的通解。dxdtdydtyx 第四章 MATLAB的符号运算十一、微分方程求解 x,y=dsolve(Dx=y, Dy=-x)第四章 MATLAB的符号运算 符号变量总结：1.符号变量定义。 2.符号变量的化简，复合函数，反函数，替换， 指定精度值。3.相关微积分计算（极限，微分，积分等）， 级数和