matlab第4讲byXR

1、第第3章章 MATLAB矩阵分析与处理矩阵分析与处理3.1 特殊矩阵特殊矩阵3.2 矩阵结构变换矩阵结构变换3.3 矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求逆与线性方程组求解3.4 矩阵求值矩阵求值3.5 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量3.6 矩阵的超越函数矩阵的超越函数3.1 特殊矩阵特殊矩阵3.1.1 通用的特殊矩阵通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生全：产生全0矩阵矩阵(零矩阵零矩阵)。ones：产生全：产生全1矩阵矩阵(幺矩阵幺矩阵)。eye：产生单位矩阵。：产生单位矩阵。rand：产生：产生01间均匀分布的随机矩阵。间均匀

2、分布的随机矩阵。randn：产生均值为：产生均值为0，方差为，方差为1的标准正态的标准正态分布随机矩阵。分布随机矩阵。例例3.1 分别建立分别建立33、32和与矩阵和与矩阵A同样大小的零同样大小的零矩阵。矩阵。(1) 建立一个建立一个33零矩阵。零矩阵。zeros(3) (2) 建立一个建立一个32零矩阵。零矩阵。zeros(3,2) (3) 设设A为为23矩阵，则可以用矩阵，则可以用zeros(size(A)建立建立一个与矩阵一个与矩阵A同样大小零矩阵。同样大小零矩阵。A=1 2 3;4 5 6; %产生一个产生一个23阶矩阵阶矩阵Azeros(size(A) %产生一个与矩阵产生一个与矩阵

3、A同样大小的同样大小的零矩阵零矩阵 zeros(3)ans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 zeros(3,2)ans = 0 0 0 0 0 0 A=1 2 3;4 5 6; zeros(size(A) ans = 0 0 0 0 0 0例例3.2 建立随机矩阵：建立随机矩阵：(1) 在区间在区间20,50内均匀分布的内均匀分布的5阶随机矩阵。阶随机矩阵。(2) 均值为均值为0.6、方差为、方差为0.1的的5阶正态分布随机矩阵。阶正态分布随机矩阵。命令如下：命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函数还有此外，常用

4、的函数还有reshape(A,m,n)，它在矩，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成重新排成mn的二维矩阵。的二维矩阵。 x=20+(50-20)*rand(5)x = 44.4417 22.9262 24.7284 24.2566 39.6722 47.1738 28.3549 49.1178 32.6528 21.0714 23.8096 36.4064 48.7150 47.4721 45.4739 47.4013 48.7252 34.5613 43.7662 48.0198 38.9708 48.9467 44.0084 48.7848 4

5、0.3621 y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)y = 0.9272 0.8809 1.0549 0.5677 0.5905 0.8299 0.2373 0.7028 0.5236 0.5479 0.5040 0.2620 0.3613 0.7009 0.7985 0.6929 0.3440 1.0333 0.6989 0.9457 0.3510 -0.3311 0.0588 0.3265 0.9508 x=20+(50-20)*rand(4)x = 31.4468 34.6929 42.6406 24.8784 42.9655 33.3676 28.2808 23.5699 4

6、3.8560 39.3894 40.3911 34.9509 25.6062 41.2809 39.6529 48.7923 reshape(x,2,8)ans = 31.4468 43.8560 34.6929 39.3894 42.6406 40.3911 24.8784 34.9509 42.9655 25.6062 33.3676 41.2809 28.2808 39.6529 23.5699 48.79233.1.2 用于专门学科的特殊矩阵用于专门学科的特殊矩阵 (1) 魔方矩阵魔方矩阵魔方矩阵有一个有趣的性质，其魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每每行、每列及两条对角线上的元素和都

7、相等列及两条对角线上的元素和都相等。对于。对于n阶魔方阵，其元素由阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共共n2个整数个整数组成。组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个，其功能是生成一个n阶魔方阵。阶魔方阵。例例3.3 将将101125等等25个数填入一个个数填入一个5行行5列的列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。M=100+magic(5) M=100+magic(5)M = 117 124 101 108 115 123 105 107 114 116 104 106 113 120 12

8、2 110 112 119 121 103 111 118 125 102 109 (2) 范得蒙矩阵范得蒙矩阵范得蒙范得蒙(Vandermonde)矩阵矩阵最后一列全为最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量倒数第二列为一个指定的向量，其他各列其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数中，函数vander(V)生成以向量生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。例如，为基础向量的范得蒙矩阵。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩即可得到上述范得蒙矩阵

9、。阵。 A=vander(1;2;3;5)A = 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 125 25 5 1(3) 希尔伯特矩阵希尔伯特矩阵在在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数中，生成希尔伯特矩阵的函数是是hilb(n)。使用一般方法求逆会因为原始数据的微小使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。扰动而产生不可靠的计算结果。MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数数invhilb(n)，其功能是求，其功能是求n阶的希尔伯特矩阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。阵的逆矩阵。例例3.4 求求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。阶

10、希尔伯特矩阵及其逆矩阵。命令如下：命令如下：format rat %以有理形式输出以有理形式输出H=hilb(4)H=invhilb(4) format rat H=hilb(4)H = 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 H=invhilb(4)H = 16 -120 240 -140 -120 1200 -2700 1680 240 -2700 6480 -4200 -140 1680 -4200 2800 (4) 托普利兹矩阵托普利兹矩阵托普利兹托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，矩阵除

11、第一行第一列外，其他其他每个元素都与左上角的元素相同每个元素都与左上角的元素相同。生。生成托普利兹矩阵的函数是成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它，它生成一个以生成一个以x为第一列为第一列，y为第一行为第一行的托普的托普利兹矩阵。这里利兹矩阵。这里x, y均为向量均为向量，两者不必等，两者不必等长。长。toeplitz(x)用向量用向量x生成一个对称的托普生成一个对称的托普利兹矩阵。例如利兹矩阵。例如T=toeplitz(1:6) T=toeplitz(1:6)T = 1 2 3 4 5 6 2 1 2 3 4 5 3 2 1 2 3 4 4 3 2 1 2 3 5 4 3 2

12、 1 2 6 5 4 3 2 1 TT=toeplitz(1:2,1:7)TT = 1 2 3 4 5 6 7 2 1 2 3 4 5 6 (5) 伴随矩阵伴随矩阵MATLAB生成伴随矩阵的函数是生成伴随矩阵的函数是compan(p)，其中，其中p是一个多项式的系数向是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。例如，为了求多项式的例如，为了求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵，的伴随矩阵，可使用命令：可使用命令：p=1,0,-7,6;compan(p) p=1,0,-7,6; compan(p)ans = 0 7 -6 1 0 0 0 1 0 (6

13、) 帕斯卡矩阵帕斯卡矩阵我们知道，二次项我们知道，二次项(x+y)n展开后的系数随展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角杨辉三角形形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡卡(Pascal)矩阵。函数矩阵。函数pascal(n)生成一个生成一个n阶阶帕斯卡矩阵。帕斯卡矩阵。例例3.5 求求(x+y)5的展开式。的展开式。在在MATLAB命令窗口，输入命令：命令窗口，输入命令：pascal(6)矩阵次对角线上的元素矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展即为展开式的系数。开式的系数。 pascal(6)ans =

14、 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252 3.2 矩阵结构调整变换矩阵结构调整变换3.2.1 对角阵与三角阵对角阵与三角阵1对角阵对角阵只有只有对角线上有非对角线上有非0元素元素的的矩阵矩阵称为称为对角矩对角矩阵阵，对角线上的元素相等对角线上的元素相等的的对角矩阵对角矩阵称为称为数量矩阵数量矩阵，对角线上的元素都为对角线上的元素都为1的的对角矩对角矩阵阵称为称为单位矩阵单位矩阵。 (1) 提取矩阵的对角线元素提取矩阵的对角线元素设设A为为mn矩阵，矩阵，d

15、iag(A)函数用于提取矩阵函数用于提取矩阵A主对角线元主对角线元素，产生一个具有素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。个元素的列向量。diag(A)函数还有一种形式函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提取第，其功能是提取第k条条对角线的元素。对角线的元素。0123-1012-2-101-3-2-100所在的对角线是主对角线；所在的对角线是主对角线；1所在的对角线是第所在的对角线是第1条对角线；条对角线；2所在的对角线是第所在的对角线是第2条对角线；条对角线；3所在的对角线是第所在的对角线是第3条对角线；条对角线；-1所在的对角线是第所在的对角线是第-1条对角线；条对角线；

16、A=1,2,3;4,5,6; D=diag(A)D = 1 5 D1=diag(A,1)D1 = 2 6 D2=diag(A,-1)D2 = 4(2) 构造对角矩阵构造对角矩阵设设V为具有为具有m个元素的向量，个元素的向量，diag(V)将产生一个将产生一个mm对角对角矩阵，其主对角线元素即为向量矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。的元素。 diag(1,2,-1,4)ans = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 4 diag(1:3,-1)ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0例例3.6 先建立先建立55矩阵矩阵A，然后将，然

17、后将A的第一行的第一行元素乘以元素乘以1，第二行乘以，第二行乘以2，第五行乘，第五行乘以以5。A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19;D=diag(1:5);D*A %用用D左乘左乘A，对，对A的每行乘以一个指定常数的每行乘以一个指定常数 A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19; D=diag(1:5); D*A ans = 17 0 1 0 15 46 10 14 28 32 12 0 39 0 66

18、40 48 76 84 12 55 90 125 10 95 2三角阵三角阵三角阵又进一步分为三角阵又进一步分为上三角阵和下三角阵上三角阵和下三角阵，所谓所谓上三角阵上三角阵，即矩阵的对角线以下的元，即矩阵的对角线以下的元素全为素全为0的一种矩阵，而的一种矩阵，而下三角阵下三角阵则是对角则是对角线以上的元素全为线以上的元素全为0的一种矩阵。的一种矩阵。 (1) 上三角矩阵上三角矩阵求矩阵求矩阵A的上三角阵的的上三角阵的MATLAB函数是函数是triu(A)。triu(A)函数也有另一种形式函数也有另一种形式triu(A,k)，其功能是，其功能是求矩阵求矩阵A的第的第k条对角线以上的元素条对角线

19、以上的元素。例如，提取。例如，提取矩阵矩阵A的第的第2条对角线以上的元素，形成新的矩阵条对角线以上的元素，形成新的矩阵B。(2) 下三角矩阵下三角矩阵在在MATLAB中，提取矩阵中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数的下三角矩阵的函数是是tril(A)和和tril(A,k)，其用法与提取上三角矩阵的，其用法与提取上三角矩阵的函数函数triu(A)和和triu(A,k)完全相同。完全相同。 A=7,13,-28;2,-9,8;0,34,5; B=triu(A)B = 7 13 -28 0 -9 8 0 0 5 A=1,32,1,0,5;3,5,17,4,16;4,0,-13,0,42;70,11,9,

20、21,3;11,63,5,2,99; B=triu(A,2)B = 0 0 1 0 5 0 0 0 4 16 0 0 0 0 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.2.2 矩阵的转置与旋转矩阵的转置与旋转1矩阵的转置矩阵的转置转置运算符是转置运算符是单撇号单撇号()。2矩阵的旋转矩阵的旋转利用函数利用函数rot90(A,k)将矩阵将矩阵A旋转旋转90的的k倍，倍，当当k为为1时可省略。时可省略。按逆时针方向进行旋转按逆时针方向进行旋转。 A=71,3,-8;2,-9,8;0,4,5; B=AB = 71 2 0 3 -9 4 -8 8 5 A=57,19,38;-2,31,8;0,

21、84,5; B=rot90(A)B = 38 8 5 19 31 84 57 -2 0 rot90(A,4)ans = 57 19 38 -2 31 8 0 84 5 3矩阵的左右翻转矩阵的左右翻转对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换，第二列和倒数第二列调和最后一列调换，第二列和倒数第二列调换，换，依次类推。，依次类推。MATLAB对矩阵对矩阵A实实施左右翻转的函数是施左右翻转的函数是fliplr(A)。4矩阵的上下翻转矩阵的上下翻转MATLAB对矩阵对矩阵A实施上下翻转的函数是实施上下翻转的函数是flipud(A)。 A=14,-9,8;-2,81,8;-2,4,0A = 14 -9 8 -2 81 8 -2 4 0 B=fliplr(A)B = 8 -9 14 8 81 -2 0 4 -2 C=flipud(A)C = -2 4 0 -2 81 8 14 -9 83.3 矩阵求逆与线性方程组求解矩阵求逆与线性方程组求解3.3.1 矩阵的逆与伪逆矩阵的逆与伪逆对于一个方阵对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵