导数与单调性极值最基础值习题

1、导数与单调性极值最基础值习题一.选择题1 可导函数y=f (x)在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.必要非充分条件2. 函数 y=1+3x-x3有()A.极小值-1,极大值3 B.极小值-2,极大值3C极小值-1,极大值1 D.极小值-2,极大值23. 函数f (x) =x3+ax2 - 3x- 9,已知f (x)的两个极值点为 冷，X2,则X1?x2=A. 9 B.- 9 C. 1D.- 14. 函数J：''的最大值为()xA. B. e2 C. eD. e-135. 已知a为函数f (x) =x3 - 12x的极小值点，贝U

2、 a=()A.- 4 B.- 2 C. 4D . 26 .已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=()A. - 2 或 2 B. - 9 或 3 C. - 1 或 1 D . - 3 或 17. 设函数f (x) =乂，则()A . x=1为f (x)的极大值点B . x=1为f (x)的极小值点C . x=- 1为f (x)的极大值点 D . x=- 1为f (x)的极小值点8. 函数y=x3- 2ax+a在(0, 1)内有极小值，贝U实数a的取值范围是()A. (0, 3) B. (0,) C . (0, +7D . (-X, 3)9. 已知函数f (x) =x3+ax

3、2+bx+a2在x=1处有极值10,则f (2)等于()A . 11 或 18 B. 11 C. 18 D . 17 或 1810 .设三次函数f (x)的导函数为f (x),函数y=x?f '(x)的图象的一部分如图 所示，则正确的是()A. f (x)的极大值为:'，极小值为:匸b. f(x)的极大值为r ：门,极小值为:<C. f (x)的极大值为f (- 3),极小值为f (3)D. f (x)的极大值为f (3),极小值为f ( - 3)11 .若f (x) =x3+2ax2+3 (a+2) x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A. av av 2 B.

4、 a> 2 或 av 1 C. a> 2 或 a<- 1 D. a> 1 或 av 212. 函数y=2f 3x2 - 12x+5在区间0, 3上最大值与最小值分别是()A. 5, 15 B. 5, 4 C.- 4, 15 D. 5, 1613. 已知f (x) =2x3 6x2+m (m为常数)在-2, 2上有最大值3，那么此函数在-2, 2上的最小值是()A. 37 B. 29C.- 5 D.以上都不对二.填空题15. 函数f (x) =x3 3x2+1的极小值点为.16. 已知 f (x) =x3 ax2 bx+a2，当 x=1 时，有极值 10,则 a+b=.1

5、7. 已知函数f (x) =x (x c) 2在x=2处有极大值，则c=.18. 已知函数f (x) =x3+3ax2+3 (a+2) x+1既有极大值又有极小值，则实数 a的取值范围是.19. 已知函数f (x) =x3+m/+ (m+6) x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是.20. 已知函数f (x) =4x+ (x>0, a> 0)在x=3时取得最小值，则a=.21. f (x) =x3 3x2+2在区间-1, 1上的最大值是.22. 已知函数f (x) =x3 12x+8在区间-3, 3上的最大值与最小值分别为 M , m,贝U M m=.23. 设 f

6、(x) =x3，. - 2x+5,当 x 1, 2时，f (x)v m 恒成立，则实数m的取值范围为24 . f (x) =ax 3x+1 对于 x 1, 1总有 f (x)> 0 成立，则 a=.解答题25.已知函数 f (x) =ax3+x2+bx (其中常数 a, b R), g (x) =f (x) +f' (x)是 奇函数.(1) 求f (x)的表达式；(2) 讨论g (x)的单调性，并求g (x)在区间1, 2上的最大值和最小值.26 .已知函数 f (x) =x- 1 - lnx(I)求曲线y=f (x)在点(2, f (2)处的切线方程；(U)求函数f (x)的极

7、值；(川)对？ x( 0, +) , f (x)> bx- 2恒成立，求实数b的取值范围.28.已知函数 f (x) =xlnx.(I)求f (x)的最小值；(U)若对所有x> 1都有f (x)> ax - 1,求实数a的取值范围.29.已知函数 f (x) = (x 2) ex.(1) 求f (x)的单调区间；(2) 求f (x)在区间0, 2上的最小值和最大值.30.已知函数f (x) =ax3 6ax+b (x 1 , 2)的最大值为3,最小值为-29, 求a、b的值.31.求函数f (x) =x3 2+5在区间-2, 2的最大值和最小值.32.设函数 f (x) =1

8、+ (1+a) x x2 x3,其中 a>0.(I)讨论f (x)在其定义域上的单调性；(U)当x 0, 1时，求f (x)取得最大值和最小值时的x的值.导数与单调性极值最基础值习题参考答案与试题解析一选择题(共14小题)1 可导函数y=f(x)在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.必要非充分条件【分析】结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求 f'(xo) =0外， 还的要求在两侧有单调性的改变(或导函数有正负变化)，通过反例可知充分性 不成立.【解答】解：如y=x3, y' =3x y|x=o=O,但x=0不是函

9、数的极值点.若函数在xo取得极值，由定义可知f'(xo) =0,所以f'(xo) =0是xo为函数y=f (x)的极值点的必要不充分条件故选：D.【点评】本题主要考查函数取得极值的条件：函数在 x0处取得极值？ f'(x0) =0, 且 f'( XV X0)?f ( X> X0)V 02.函数 y=1+3x-x3有(A.极小值-1,极大值3C极小值-1,极大值1)B.极小值-2,极大值3D.极小值-2,极大值2【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题,关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案.【解答】解:I

10、y=1+3x-x3, y ' =33x2,由 y ' =33x2>0,得1Vxv 1,由 y ' =33x2v0,得 xv- 1,或 x> 1,函数y=1+3x- x3的增区间是(-1, 1),减区间是(-X,- 1), (1, +x). 函数 y=1+3x- x3 在 x=- 1 处有极小值 f ( - 1) =1 - 3 -( - 1) 3=- 1, 函数 y=1+3x-x3 在 x=1 处有极大值 f (1) =1+3 - 13=3.故选：A.【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键， 要先确定出导函数大 于0时的实数x的范围，再讨论出函数的

11、单调区间，根据极值的判断方法求出该 函数的极值，体现了导数的工具作用3.函数 f (x) =x3+ax2 - 3x- 9,已知 f (x)的两个极值点为 xi，X2,则 xi?x2=()A. 9 B.- 9 C. 1D.- 1【分析】本题的函数为三次多项式函数，若三次多项式函数有两个极值点，说明 它的导函数有两个不相等的零点，转化为二次函数的根求解，用韦达定理可得X1?X2= - 1【解答】解：由f (x) =x3+ax2 - 3x- 9得，f'(x) =3x2+2ax- 3f '( x) =0的两根为X1，X2就是函数的两个极值点f . 2a根据韦达定理，得'123故

12、选：D.【点评】本题主要考查利用导数工具讨论函数的单调性，从而得到函数的极值点.一元二次方程根与系数的关系是解决本题的又一个亮点.4.函数7 的最大值为（）X2 -1A. B. eC. e D. e3【分析】利用导数进行求解，注意函数的定义域，极大值在本题中也是最大值;【解答】解：函数丁+二 二，(x>0)x.! 1lilKa. i c/曰-y = ，令 y =0 得 x=e,当x>e时，y 'v 0，f (x)为减函数， 当0vxv e时，y > 0，f (x)为增函数, f (x)在x=e处取极大值，也是最大值， y 最大值为 f (e) = =e，e故选：D.【

13、点评】此题主要考查函数在某点取极值的条件，利用导数研究函数的最值问题， 是一道基础题；5. 已知a为函数f (x)=x3 - 12x的极小值点，贝U a=()A.- 4 B.- 2 C. 4 D. 2【分析】可求导数得到f'(x) =3x2- 12,可通过判断导数符号从而得出f(x)的 极小值点，从而得出a的值.【解答】解：f'(x) =3- 12; xv 2 时，f'( x)> 0，- 2 v xv 2 时，f ' (x)v 0，x>2 时，f'(x)> 0; x=2是f (x)的极小值点；又a为f (x)的极小值点；-a=2.故选：

14、D.【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及 过程，要熟悉二次函数的图象.6. 已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=()A.- 2 或 2 B.- 9 或 3 C. - 1 或 1 D.- 3 或 1【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数yrx'-Bx+c 的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于 0或极小值等于0,由此可求c 的值.【解答】解：求导函数可得y ' =(x+1) (x- 1)，令 y >0，可得 x> 1 或 xv - 1 ；令 y V 0，可得-1 vxv 1 ；函数在

15、(-x，- 1)，(1，+x)上单调增，(-1，1) 上单调减，函数在x=- 1处取得极大值，在x=1处取得极小值.函数yrf-Bx+c的图象与x轴恰有两个公共点，极大值等于0或极小值等于0.1 - 3+c=0或-1+3+c=0, c=- 2 或 2.故选：A.【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利 用极大值等于0或极小值等于0.7. 设函数f (x) =xd，则()A. x=1为f (x)的极大值点B. x=1为f (x)的极小值点C. x=- 1为f (x)的极大值点 D. x=- 1为f (x)的极小值点【分析】由题意，可先求出f'(x) = (x

16、+1) ex,利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=- 1为f (x)的极小值点【解答】解：由于f (x) =xex，可得f'(x) = (x+1) ex，令 f'( x) = (x+1) ex=0 可得 x=- 1令f ' (x) = (x+1) ex>0可得x>- 1，即函数在(-1，+x)上是增函数令f ' (x) = (x+1) exv0可得xv- 1，即函数在(-x，- 1)上是减函数 所以x=- 1为f (x)的极小值点故选：D.【点评】本题考查利用导数研究函数的极值， 解题的关键是正确求出导数及掌握 求极值的步骤，本题是基础题，8.

17、函数y=x3- 2ax+a在(0，1)内有极小值，贝U实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(0，)C.(0,+x)D.(-x，3)【分析】先对函数求导，函数在(0, 1)内有极小值，得到导函数等于 0时，求 出x的值，这个值就是函数的极小值点，使得这个点在(0, 1) 上,求出a的值.【解答】解：根据题意，y'=3x2-2a=0有极小值则方程有解a> 0所以x二是极小值点 所以ov _v 1 ov 一1故选：B.【点评】本题考查函数在某一点取得极值点条件， 本题解题的关键是在一个区间 上有极值相当于函数的导函数在这一个区间上有解.9.已知函数f (x) =x3+ax2+bx+

18、a2在x=1处有极值10,则f (2)等于()A. 11 或 18 B. 11 C. 18 D. 17 或 18【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0,又因为f'(x) =3«+2ax+b,所以得到：f'( 1) =3+2a+b=0,又因为f (1) =10,所以可求出a与 b的值确定解析式，最终将x=2代入求出答案.【解答】解：f'(x) =3x2+2ax+b,a=-3.3+2a+b=0fb=-3-2aLl+a+b+ a =10 冷-a-12"0 当(a二-3时，( x) =3 (x- 1) 2 > 0,a在x=1处不

19、存在极值；【严 当(手° 时，厂(x) =3x+8x- 11= (3x+11) (x- 1)lb=-ll x( 卑，1), f( x)v 0, x( 1, +x), f'( x)> 0,符合题意., f (2) =8+16- 22+16=18.lb=-ll故选：C.【点评】本题主要考查导数为0时取到函数的极值的问题，这里多注意联立方程 组求未知数的思想，本题要注意f'( X0)=0是x=x)是极值点的必要不充分条件， 因此对于解得的结果要检验.10.设三次函数f (x)的导函数为f (x),函数y=x?f (x)的图象的一部分如图 所示，则正确的是()*A. f

20、 (x)的极大值为,极小值为匚_b. f(x)的极大值为r ：、,极小值为:<C. f (x)的极大值为f (- 3),极小值为f (3)D. f (x)的极大值为f (3),极小值为f ( - 3)【分析】观察图象知，xv- 3时，f'( x)v 0.- 3v xv 0时，f'( x)> 0.由此 知极小值为f (-3). 0v xv 3时，yf'( x)> 0. x> 3时，f'( x)v 0.由此知极 大值为f (3).【解答】解：观察图象知，xv- 3时，y=x?f'( x)> 0,f (x)v 0.-3v xv 0

21、 时，y=x?f'( x)v 0， f'( x)> 0.由此知极小值为f (- 3).0vxv3 时，y=x?f '(x)>0， f'( x)> 0.x>3 时，y=x?f (x)v 0， f (x)v 0.由此知极大值为f (3).故选：D.【点评】本题考查极值的性质和应用，解题时要仔细图象，注意数形结合思想的 合理运用.11 .若f ( x) =x3+2ax2+3 ( a+2) x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A.- av av 2 B. a> 2 或 av- 1 C. a> 2 或 a<- 1 D. a

22、> 1 或 av- 2【分析】求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根， 且根左右两边的导 函数符号不同得到> 0;解出a的范围.【解答】解：f'(x) =3x2+4ax+3 (a+2) f (x)有极大值和极小值 =16a2-36 (a+2)>0解得a>2或av- 1故选：B.【点评】本题考查函数的极值点是导函数的根，且根左右两边的导函数符号需不同.12. 函数y=xe x, x 0, 4的最小值为()A. 0 B. C. D.三ee4 e2【分析】先求出导函数f'(x),由f'(x)>0和f'(x)v0,求出x的取值范围，

23、得出函数f (x)的单调区间，从而求出函数的最值.【解答】解：；：.；,e当 x 0,1)时，f'( x)> 0, f (x)单调递增，当 x( 1, 4时，f'( x)v 0, f (x)单调递减， f (0) =0, 三：，二当 x=0 时，f (x)有最小值，且 f (0) =0.e故选：A.【点评】本题考查的是利用导数，判断函数的单调性，从而求出最值，属于基础题.13. 函数y=2f - 3x2 -12x+5在区间0, 3上最大值与最小值分别是()A. 5,- 15 B. 5,- 4 C.- 4,- 15 D. 5,- 16【分析】对函数y=2l- 3x2 - 1

24、2x+5求导，利用导数研究函数在区间0, 3上的 单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间0, 3上最大值与最小值位置，求 值即可【解答】解：由题意y'=6/- 6x- 12令y'>0,解得x>2或xv- 1故函数 y=2f- 3x2- 12x+5 在(0, 2)减，在(2, 3) 上 增又 y (0) =5, y (2) =- 15, y (3) =-4故函数丫=2- 3X2- 12x+5在区间0, 3上最大值与最小值分别是 5,- 15 故选：A.【点评】本题考查用导数判断函数的单调性，利用单调性求函数的最值，利用单 调性研究函数的最值，是导数的重要运用，注意上

25、类题的解题规律与解题步骤.14.已知f (x) =2x3- 6x2+m (m为常数)在-2，2上有最大值3，那么此函 数在-2, 2上的最小值是()A.- 37B.- 29C.- 5 D.以上都不对【分析】先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间(-2, 2) 上只有一极大值则就是最大值，从而求出 m，通过比较两个端点-2和2的函数值的大 小从而确定出最小值，得到结论.【解答】解： f'(x) =6x2 - 12x=6x (x- 2), f (x)在(-2, 0) 上为增函数，在(0, 2) 上为减函数，当 x=0 时，f (x) =m 最大，m=3,从而 f (- 2) =-3

26、7, f (2) =-5.最小值为-37.故选：A.【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间 a, b 上的最大值与最小值是通过比较函数在(a, b)内所有极值与端点函数f (a), f(b)比较而得到的，属于基础题.二.填空题(共10小题)15 .函数f (x) =x3 - 3x2+1的极小值点为 2.【分析】首先求导可得f'(x) =3x - 6x,解3x2- 6x=0可得其根，再判断导函数 的符号分析函数的单调性，即可得到极小值点.【解答】解：f'(x) =3/- 6x令 f ' (x) =3/- 6x=0 得 X1=0, x2=2且 x(-

27、x, o)时，f( x)> 0；x(0, 2)时,f '(x)V 0;x( 2, +x)时,f (x)> 0故f (x)在x=2出取得极小值.故答案为2.【点评】本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查.熟练掌握导数法求极值 的方法步骤是解答的关键.16.已知 f (x) =x3 - ax2 - bx+a2，当 x=1 时，有极值 10,则 a+b= 7.【分析】求导函数，利用函数f (x) =x3- ax2 - bx+a2,当x=1时，有极值10,建 立方程组，求得a, b的值，再验证，即可得到结论.【解答】解：函数f (x) =x3 - ax2 - bx+a2 f (x

28、) =3x2 - 2ax- b,又函数 f (x) =x3- ax2 - bx+a2，当 x=1 时，有极值 10,r3-2a-b=0o ，ll-a-b+ a -10或卩二3 tb=ll lb=-3严二T时，f (x) =3/-2ax- b= (x- 1) (3x+11) =0有不等的实根，满足题意; lLb=ll匚3=3时，f (x) =3-2ax- b=3 (x- 1) 2=0有两个相等的实根，不满足题意；lb=-3 a+b=7故答案为：7【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属 于基础题.17.已知函数f (x) =x (x- c) 2在x=2处有极大值，则

29、c= 6.【分析】由已知函数f (x) =x (x- c) 2在x=2处有极大值，则必有f'(2) =0, 且在x=2的两侧异号即可得出.【解答】解：T f'(x) = (x- c) 2+2x (x- c) =3x2 - 4cx+c2,且函数 f (x) =x (x -c) 2在x=2处有极大值， f'( 2) =0, 即 卩 c2 - 8c+12=0，解得 c=6 或 2.经检验c=2时，函数f (x)在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去.故 c=6.故答案为6.【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键.18. 已知函数f (x) =x3+3a/+

30、3 (a+2) x+1既有极大值又有极小值，则实数 a的 取值范围是 (-0- 1)U( 2, +x) .【分析】先对函数进行求导，根据函数f (x) =x3+3ax2+3 (a+2) x+1既有极大值 又有极小值，可以得到> 0,进而可解出a的范围.【解答】 解：T f (x) =x3+3ax2+3 (a+2) x+1 二 f (x) =3x2+6ax+3 (a+2)函数f (x) =x3+3ax2+3 (a+2) x+1既有极大值又有极小值 = (6a) 2 -4 x 3X 3 (a+2)> 0 a> 2 或 av- 1故答案为：(-0,- 1)U( 2, +0)【点评】

31、本题主要考查函数在某点取得极值的条件.属基础题.19. 已知函数f (x) =x3+mx2+ (m+6) x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是 mv-3或m>6.【分析】求出函数f (x)的导函数，根据已知条件，导函数必有两个不相等的实 数根，只须令导函数的判别式大于 0,求出m的范围即可.【解答】解：函数f (x) =x3 +mx2+ (m+6) x+1既存在极大值，又存在极小值 f'( x) =3x2+2mx+m+6=0，它有两个不相等的实根， =4m2- 12 (m+6)> 0解得mv- 3或m>6故答案为：mv- 3或m > 6.【点评】

32、本题主要考查了函数在某点取得极值的条件.导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便.20. 已知函数f (x) =4x+ (x>0, a>0)在x=3时取得最小值，则a= 36.【分析】由题设函数 :. _''I在x=3时取得最小值，可得f'(3)x=0,解此方程即可得出a的值.【解答】解：由题设函数:- - I L .-I. -II 在x=3时取得最小值，X x( 0, +x),得x=3必定是函数-冷，二- fl, ,1. I 'I .：的极值点，x-(3) =0,f'(x) =4二即4 =0,32解得a=36.故答案为：36.【点评

33、】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解 函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系.21. f (x) =x3 3x2+2在区间-1, 1上的最大值是 2 .【分析】求出函数的导函数，令导函数为 0,求出根，判断根是否在定义域内， 判断根左右两边的导函数符号，求出最值.【解答】解：f ' (x) =3x2 6x=3x (x 2)令 f (x) =0 得 x=0 或 x=2 (舍)当1vXV0 时，f (x)>0；当 0vXV1 时，f'(x)v 0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f (x)的最大值为2故答案为

34、2【点评】求函数的最值，一般先求出函数的极值，再求出区间的端点值，选出最值.22已知函数f (x) =x3 12x+8在区间-3, 3上的最大值与最小值分别为 M , m,贝U M m= 32.【分析】先对函数f (x)进行求导，令导函数等于0求出x,然后根据导函数的 正负判断函数f (x)的单调性，列出在区间-3, 3上f (x)的单调性、导函数 f (x)的正负的表格，从而可确定最值得到答案.【解答】解：令f'( x) =3x2- 12=0，得x=- 2或x=2,歹y表得：x-3(-3, - 2)-2(-2, 2)2(2, 3)3f ( x)+00+f (x)17极值24r极值-8

35、-1可知 M=24, m=- 8,二 M - m=32.故答案为：32【点评】本题主要考查函数的求导运算、函数的单调性与其导函数的正负之间的 关系和函数在闭区间上的最值.导数是由高等数学下放到高中的内容，每年必考， 要引起重视.23.设 f (x) =x3 -丄-2x+5,当 x - 1, 2时，f (x)v m 恒成立，则实数2m的取值范围为 (7, +4.【分析】先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端 点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围.【解答】解：f'(x) =3x2- x- 2=0解得：x=1或-三3当 x时，f (x)> 0,当 x.

36、 1.时，f (x)v 0,当 x( 1, 2)时，f (x)> 0,2-f (x) max =f (-令)，f (2) max=7J由 f ( X)V m 恒成立，所以 m> fmax (x) =7.故答案为：(7, +x)【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间 a, b 上的最大值与最小值是通过比较函数在(a, b)内所有极值与端点函数f (a), f(b)比较而得到的，属于基础题.24. f (x) =af - 3x+1 对于 x - 1, 1总有 f (x)> 0 成立，则 a= 4.【分析】这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最

37、值的问题， 本题要分三类：x=0,x>0，xv 0等三种情形.当x=0时，不论a取何值， f (x)>0都成立；当x> 0时有a二-亠；，可构造函数g (x) = i -，然后 利用导数求g (x)的最大值，只需要使a>g (x) max，同理可得xv0时的a的 范围，从而可得a的值.【解答】解： 若x=0，则不论a取何值，f (x)> 0都成立； 当 x>0，即 x( 0，1时，f(x) =ax3- 3x+1>0 可化为：a>X z设 g (x)=二一亠；，贝U g' (x) = 1 | '，x zX所以g (x)在区间(0，上

38、单调递增，在区间,1上单调递减，£U因此g (x) max=g (')=4，从而 a>4; 当 xv0，即 x - 1， 0)时，f (x) =ax3- 3x+1 >0 可化为：a<，X X31g (x)=-在区间-1，0) 上单调递增，因此 g (x) min=g (- 1) =4，从而 a< 4，综上 a=4.答案为：4.【点评】本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归 的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法.在 讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答.三.解答题(共1

39、0小题)25. 已知函数 f (x) =ax3+x2+bx (其中常数 a，b R)，g (x) =f (x) +f' (x)是 奇函数.(1) 求f (x)的表达式；(2) 讨论g (x)的单调性，并求g (x)在区间1，2上的最大值和最小值.【分析】(I)由 f (x) =3ax2+2x+b 得 g (x) =fax2+ (3a+1) x2+ (b+2) x+b，再 由函数g (X)是奇函数，由g (- X)=- g ( X),利用待系数法求解.(2)由知再求导g'(x)=-(+2,由g'(x)>0求得增区间，由g' (x)< 0求得减区间；求最

40、值时从极值和端点值中取.【解答】解：(1)由题意得f (x) =3ax2+2x+b因此 g (x) =f (x) +f (x) =aX3+ (3a+1) x2+ (b+2) x+b因为函数g (X)是奇函数，所以g (-x) =-g (x),即对任意实数 x, 有 a (- x) 3+ (3a+1) (- x) 2+ (b+2) (- x) +b=- aX3+ (3a+1) x2+ (b+2) x+b从而 3a+1=0, b=0,解得, I -，因此f (x)的解析表达式为t. ' , J .3(2)由(I)知一 ，.*：,所以 g' (x) =-x2+2，令 g' (

41、x) =0解得冷厅汀则当-'.儿.厂时，g' (x)v 0从而g (x)在区间-丄，-飞二，丨t上是减函数，从而g (X)在区间.<.1上是增函数，由前面讨论知，g (x)在区间1 , 2上的最大值与最小值只能在二时取得，而丨匚''，因此g (x)在区间1, 2上的最大值为 皿)著 ，最小值为一-1 .0 【点评】本题主要考查构造新函数，用导数研究函数的单调性和求函数的最值.26.已知函数 f (x) =ln (1+x)- x, g (x) =xlnx.(I)求函数f (x)的最大值；(U)设 Ov av b,证明 Ov g (a) +g (b) - 2g

42、 (： )v( b - a) In2.2【分析】(1)先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值.(2)先将a，b代入函数g (x)得到g (a) +g (b) - 2g (二丄)的表达式后进L*行整理，根据(1)可得到Inxvx，将'代入即可得到左边不等式成立，再用 匚-根据y=lnx的单调'v = |:.然后整理即可证明不等式右边a+b2b a+ba+b 2ba+b ab性进行放缩-,i-a+b成立.【解答】(I)解：函数f (x)的定义域为(-1，+x).严(x)二 1 .令 f'(x) =0,解得

43、x=0.1+x当-1vxv 0 时，f (x)> 0,当 x>0 时，f (x)v 0.又 f (0) =0,故当且仅当x=0时，f (x)取得最大值，最大值为0.(U)证明： 卜：1上- J -：.二 r ':-.二:-1 ._ = 2a . . 2b=：由（I）结论知 In （1+x）- xv0 （x>- 1，且 xm0）， 由题设i 1'. I，2a2b因此 In - =-In （1+）> - a+b2a2a所以bln a+b 22又一;二.；汁：I.'.，： v: v .a+ba+b' -、.bln备.=（b-a） Inv（ b

44、- a） In2综上 D j 1,"： 1 .： .i.,【点评】本题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等 知识以及综合推理论证的能力.27.已知函数 f (x) =x- 1 - lnx(I)求曲线y=f (x)在点(2, f (2)处的切线方程；(U)求函数f (x)的极值；(川)对？ x( 0, +x), f (x)> bx- 2恒成立，求实数b的取值范围.【分析】(I)求出f(2),再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲 线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可(U)令导数大于0解出增区间，令导数小于0,解出函数的减区间，然后由极

45、 值判断规则确定出极值即可.(川)由于f (x)> bx- 2恒成立，得到 二一工在(0， +7 上恒成立, 构造函数g ( x) =i_-，b < g (x) min即可.【解答】解：(I)函数的定义域为(0,则-.f (2) =1 - ln2,曲线y=f (x)在点(2, f (2)处的切线方程为 I .:I：，2即 x-2y- 2ln2=0;令 f (x)> 0, 得 x> 1,列表：x(0, 1)1(1, +7)f ( x)0+f (x)0/函数y=f (x)的极小值为f (1) =0；(川)依题意对？ x( 0, +7) , f (x)> bx- 2恒成

46、立 等价于x- 1 - lnx>bx - 2在(0, +7)上恒成立 可得- 一：在(0, +7)上恒成立， 令 g (x)= 一 亘，一心二XX/令 g(x) =0,得 x=e2列表：x(0, e2)e22(e，+x)g'(x)0+g(x)1三e/二函数y=g (x)的最小值为二甘_e 根据题意，、-,.【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于中档题.28.已知函数 f (x) =xlnx.(1) 求f (x)的最小值；(U)若对所有x> 1都有f (x)> ax - 1，

47、求实数a的取值范围.【分析】(1)先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的 单调性进而可求出最小值.(2) 将f (x) > ax- 1在1, +x)上恒成立转化为不等式 .,. 对于x 1,x+x)恒成立，然后令“；匚-亠，对函数g (x)进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值，使得 a小于等于这个最小值即可.【解答】解：(I) f (x)的定义域为(0，+x)，f (x)的导数f (x) =1+lnx. 令 f (x)> 0，解得一一；令 f (x)v 0，解得1.1.：-.'.ee从而f (x)在单调递减，在一单调递增.ee所以，当了

48、丄时，f(x)取得最小值'.ee(U)依题意，得f (x)> ax- 1在1，+x)上恒成立，即不等式对于x 1， +x)恒成立.令'K则I当x> 1时，因为 _-1X X故g (X)是1 , +X)上的增函数，所以g (X)的最小值是g ( 1) =1 ,从而a的取值范围是(-g,1.【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、 根据导数求 函数的最值.导数是高等数学下放到高中的内容， 是每年必考的热点问题，要给 予重视.29. 已知函数 f (x) = (x-2) ex.(1) 求f (x)的单调区间；(2) 求f (x)在区间0, 2上的最小值

49、和最大值.【分析】(1)求出函数的导数，令导数大于 0,得增区间，令导数小于0，得减 区间；(2)由(1)可得f (x)在0，1递减，在(1，2递增，即有f (x)在x=1处 取得极小值，且为最小值，求得端点的函数值，比较即可得到最大值.【解答】解：(1)函数f (x)的导数为f' (x) = (x- 1) ex，由 f' (x)> 0，可得 x> 1 ；由 f' (x)v 0，可得 xv 1.则f (x)的增区间为(1，+g)，减区间为(-g， 1)；(2)由(1)可得f (x)在0，1递减，在(1，2递增，即有f (X)在x=1处取得极小值，且为最小值，

50、且为 f (1) =-e，由 f (0) =-2, f (2) =0，可得f (x)的最大值为f (2) =0.则f (x)的最小值为-e，最大值为0.【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，正确 求导是解题的关键.30. 已知函数f (x) =ax3- 6a/+b (x - 1，2)的最大值为3，最小值为-29, 求a、b的值.【分析】求出f'(x) =0在-1, 2上的解，研究函数f (x)的增减性，函数的最值应该在极值点或者区间端点取，已知最大值为3,最小值为-29代入即可.【解答】解：函数f (x) =ax3- 6a«+bf'(x)

51、=3a«- 12ax=3a (x2- 4x)令 f'(x) =3ax2- 12ax=3a(x2- 4x) =0,显然 a0,否则 f (x) =b为常数，矛盾, x=0,若a>0,列表如下：X(-11 0)0(0, 2)尸M+0心)増函数最大值？ 1减函数由表可知，当x=0时f (x)取得最大值 b=3又 f (0) =-29,则 f (2)vf (0),这不可能， f (2) =8a- 24a+3= 16a+3= 29,.°. a=2若av0,同理可得a=- 2, b=- 29故答案为：a=2, b=3或 a=- 2, b=- 29【点评】本题考查函数的导数

52、在求最大值、最小值中的应用，关键是对于闭区间上的最值要注意函数的端点函数值，注意区别理解函数的极值点一定不在函数端 点，而最值点可能在函数端点，属于基础题.31 .求函数f (x) =x3- 2x2+5在区间-2, 2的最大值和最小值.【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数 f (x) =x" - 2x2+5在区间-2, 2 的单调性，再由单调性求函数在区间上的最值.【解答】解：函数f (x) =x3 - 2x2+5的导函数是f (x) =x (3x- 4),令f (x) =0 得x=0或，如下表：0X_2(-2.0)043 ;(-.2)3r广W00+-11遥增极大值5谨碱极小值1

53、03r-5ymax=5, ymin= - 11考查用导数研究函数的【点评】本题考点是利用导数求闭区间上的函数的最值, 单调性并利用单调性确定函数的最值，并求出.此是导数的一个很重要的运用.32.已知函数f (x) =lnx-、八2(I)求函数f (x)的单调增区间；(U)证明；当 x> 1 时，f (x)vx- 1 ；(川)确定实数k的所有可能取值，使得存在xo> 1，当x( 1, Xo)时，恒有 f (x)>k (x- 1).【分析】(I)求导数，利用导数大于 0,可求函数f (x)的单调增区间；(U)令F (x) =f (x)-( x- 1)，证明F (x)在1，+x)上

54、单调递减，可得 结论；(川)分类讨论，令G (x) =f (x)- k (x- 1) (x>0)，利用函数的单调性，可 得实数k的所有可能取值.【解答】解：(I)： f (x) =lnx-2 f (x) =>0 (x> 0)， 0v XL _，2函数f (x)的单调增区间是(0,丄)；22(U)令 F (x) =f (x)-( x- 1)，则 F' (x) -丄'x当 x> 1 时，F' (x)v 0， F (x)在1, +x)上单调递减， x> 1 时，F (x)v F (1) =0，即当 x> 1 时，f (x)v x- 1 ；(

55、川)由(U)知，k=1时，不存在X0> 1满足题意；当 k> 1 时，对于 x> 1，有 f(x)v x- 1v k (x- 1)，则 f(x)v k (x- 1)， 从而不存在X0> 1满足题意；当 kv 1 时，令 G (x) =f (x)- k (x- 1) (x>0)，贝U、-x2+(l-k) K+1 小 "l-k-V(l-k )2+4l-k+J(l-k)?+4、G (x) =0，可得 X1 v0, X2 a>1,当x( 1, X2)时，G (x)> 0,故G (乂)在(1, X2)上单调递增， 从而 x( 1, x2)时，G (x)> G (1) =0,即 f (x)> k (x- 1), 综上，k的取值范围为(-x,1).【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明， 正确构造函数是关键.33.设函数 f (x) =1+ (1+a) x- x2- x3,其中 a>0.(I)讨论f