北师大版九年级二次函数辅导讲义

1、知识点一二次函数的定义（基础）考点分析：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式例 1、下列函数中，是二次函数的是.y=x2 4x+1；y=2x2； y=2x2+4x；y=3x；y=2x1；y=mx2+nx+p；y =(4,x)； y=5x。例 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间 t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则 t4 秒时，该物体所经过的路程为。例 3、若函数 y=(m2+2m 7)x 2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则m的取值范围为。知识点二二次函数的对称轴、顶点、最值应对方法：如果解析式为顶点式y=a(x h) 2+k，则最值为 k；如果解

2、析式为一般式y=ax2+bx+c4ac-b 2则最值为4a例 1抛物线 y=2x2+4x+m2m 经过坐标原点，则 m的值为。例 2抛物 y=x2+bx+c线的顶点坐标为（ ， ），则，.1 3bc例 3抛物线 yx2 3x 的顶点在 ()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限21例 4已知抛物线 yx(m1)x 4 的顶点的横坐标是2，则 m的值是 _.例 5若二次函数 y=3x23的对称轴是直线x，则。+mx1m例 6当 n_，m_时，函数 y(mn)x n (mn)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口 _. 。例 7已知二次函数y=x 24x+m 3 的最小值为

3、 3，则 m。知识点三函数 y=ax2 +bx+c 的图象和性质出题分析：抛物线、对称轴、开口、顶点坐标例 1抛物线 y=x2+4x+9 的对称轴是。2例 3试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x 2，且与 y 轴的交点坐标为（抛物线的解析式。例 4通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：。0，3）的12（1）y=2 x 2x+1；2（2）y=3x+8x2；1（3）y= 4 x2+x 4知识点四二次函数的增减性方法：看图形，抛物线上升则为增，抛物线下降则为减（解题画草图、找顶点）例 1. 二次函数 y=3x2 6x+5，当 x>1 时，y 随 x 的增大而；当 x<1

4、时，y 随 x 的增大而；当 x=1 时，函数有最值是。例 2. 已知函数 y=4x2 mx+5，当 x> 2 时,y随 x 的增大而增大；当 x< 2时，y 随 x 的增大而减少；则 x 1 时,y 的值为。例 3. 已知二次函数 y=x2(m+1)x+1 ，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，则 m的取值范围是 .125的图象上有三点 A(x,y),B(x,y),C(x,y) 且 3<x <x<x ，例 4. 已知二次函数 y=2x+3x+2231123123则 y ,y2,y的大小关系为.13知识点五二次函数的平移做题技法： 只要两个函数的 a 相同，就

5、可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x h) 2+k，平移规律： 左加右减，对 x；上加下减，直接加减3例 1. 抛物线 y= 2 x2 向左平移 3 个单位，再向下平移4 个单位，所得到的抛物线的关系式为。例 2. 抛物线 y= 2x2，可以得到 y=2(x+4 2 3。例 3.将抛物线 y=x2+1 向左平移 2个单位，再向下平移 3 个单位，所得到的抛物线的关系式为。知识点六函数的图象特征与 a、b、c 的关系技巧： a 决定开口方向， b 的值决定对称轴， c 的值决定抛物线与y 轴的交点例 1. 已知抛物线 y=ax2的图象如右图所示，则、 、c的符号为+bx+ca

6、b（）A.a>0,b>0,c>0B.a>0,b>0,c=0C.a>0,b<0,c=0D.a>0,b<0,c<0例 2. 抛物线 y=ax2+bx+c 中， b4a，它的图象如图 3，有以下结论：c>0；a+b+c> 0为（）ABa-b+c> 0 b2-4ac<0C abc< 0 D；其中正确的例 3. 当 b<0是一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是 （）知识点七二次函数与 x 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）技巧：对于二次函数y=ax2+bx

7、+c，=b 24ac 0，二次函数与 x 轴有两个交点； =0，二次函数与 x 轴有一个交点，而且交点就是二次函数的顶点； 0，二次函数与 x 轴没有交点。例 1、如果二次函数 yx2 4xc 图象与 x 轴没有交点，其中 c 为整数，则 c（写一个即可）例 2、二次函数 yx2-2x-3 图象与 x 轴交点之间的距离为例 3、抛物线 y 3x2 2x1 的图象与 x 轴交点的个数是 ()A. 没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点例 4、若二次函数 y(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在 x 轴的上方，则 m 的取值范围是知识点八 函数解析式的求法1、已知抛物线上任意

8、三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；例 1、已知二次函数的图象经过 A（ 0， 3）、B（1，3）、C（ 1，1）三点，求该二次函数的解析式。2、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式 y=a(x h) 2+k 求解 。例 2、已知二次函数的图象的顶点坐标为（ 1， 6），且经过点（ 2， 8），求该二次函数的解析式。3、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x x1 )(x x2 ) 。例 3、二次函数的图象经过 A（ 1，0），B（3，0），函数有最小值 8，求该二次函数的解析式。知识

9、点九二次函数应用1. 某商店购进一批单价为 16 元的日用品， 销售一段时间后， 为了获得更多的利润， 商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20 元的价格销售时，每月能卖360 件若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖210 件。假定每月销售件数y( 件）是价格 X 的一次函数 .(1) 试求 y 与 x 的之间的关系式 .(2) 在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润 =总收入总成本）巩固作业二次函数的定义1、若函数 y=(m 2)x m 2+5x+1 是关于 x 的二次函数，则 m的值为。二次函数的对称轴

10、、顶点、最值2抛物线 y=x2+2x 3 的对称轴是。3已知二次函数 y=x2 2ax+2a+3，当 a=时，该函数 y 的最小值为 0.4已知二次函数 y=mx21)x+m1有最小值为 ，则_+(m0m二次函数的平移、增减性、图象5. 如 果将抛物 线 y=2x2 1 的图象 向右 平移 3 个单位， 所得 到的抛物 线的 关系式为。6. 将抛物线 y=ax2+bx+c 向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，得到 y=2x2 4x1 则a，b，c.7. 将抛物线 y ax2 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，移动后的抛物线经过点 (3 ，1) ，那么移动后的抛物线的关系式为_.8. 把抛物线 y=2x2+4x+1 沿坐标轴先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。9. 已知函数 y=4x2 mx+5，当