四种命题与充要条件

1、精品文档常用逻辑用语与充要条件【高考考情解读】 1. 本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查 .2. 试题以选择题、 填空题方式呈现， 考查的基础知识和基本技能， 题目难度中等偏下1命题的定义用语言、 符号或式子表达的， 可以 判断真假的陈述句叫做命题 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及其关系(1) 原命题为 “ 若 p 则 q” ，则它的逆命题为若 q 则 p ；否命题为若 p 则 q ；逆否命题为若 q 则 p .(2) 原命题与它的逆否命题等价

2、； 逆命题与它的否命题等价 四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理，即，可以转化为判断它的逆否命题的真假命题真假判断的方法：(1) 对于一些简单命题，若判断其为真命题需推理证明若判断其为假命题只需举出一个反例(2) 对于复合命题的真假判断应利用真值表(3) 也可以利用 “互为逆否命题 ”的等价性，判断其逆否命题的真假3充分条件与必要条件的定义(1) 若 p? q 且 q p，则 p 是 q 的充分非必要条件(2)若 q? p 且 p q，则 p 是 q 的必要非充分条件(3)若 p? q 且 q? p，则 p 是 q 的充

3、要条件(4)若 pq 且 q p，则 p 是 q 的非充分非必要条件设集合A x| x 满足条件 p ，B x| x 满足条件 q ，则有第 1 1页欢迎。共下载 12 页精品文档(1)若 A? B，则 p 是 q 的充分条件，若AB，则 p 是 q 的充分不必要条件；(2)若 B? A，则 p 是 q 的必要条件，若BA，则 p 是 q 的必要不充分条件；(3) 若 A B，则 p 是 q 的充要条件；(4) 若 A B，且 B A，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件2充分、必要条件的判定方法(1) 定义法，直接判断若 p 则 q、若 q 则 p 的真假(2) 传递法(3) 集合法： 若

4、 p 以集合 A 的形式出现， q 以集合 B 的形式出现， 即 A x| p( x) ，B x| q( x) ，则若 A? B，则 p 是 q 的充分条件；若B? A，则 p 是 q 的必要条件；若A B，则 p 是 q的充要条件(4) 等价命题法：利用 A? B 与 B? A， B? A 与 A? B， A? B 与 B? A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法，利用原命题和逆否命题是等价的这个结论，有时可以准确快捷地得出结果，是反证法的理论基础1 简单的逻辑联结词(1) 命题中的 “且 ” 、 “或 ” 、 “非 ” 叫作逻辑联结词(2) 简单复合命题的真值表：pq

5、 p q p或 qp 且 ( p 或 q) ( p 且 p 或 p 且qq) q q真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真2. 全称量词与存在量词(1) 常见的全称量词有 “任意一个 ”“ 一切 ”“ 每一个 ”“ 任给 ”“ 所有的 ” 等(2) 常见的存在量词有“ 存在一个”“ 至少有一个”“ 有些 ”“ 有一个 ”“ 某个 ”“ 有的”等3 全称命题与特称命题(1) 含有全称量词的命题叫全称命题(2) 含有存在量词的命题叫特称命题4 命题的否定(1) 全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题第 2 2页欢迎。共下载 12 页精品文档(2

6、) p 或 q 的否定：非 p 且非 q； p 且 q 的否定：非 p 或非 q.注：1 逻辑联结词 “ 或” 的含义逻辑联结词中的 “ 或 ” 的含义，与并集概念中的“ 或 ”的含义相同如 “ x A 或 x B” ，是指：xA且?；? 且x ；A且xB三种情况再如 “p真或q真” 是指：p真x B x AB x且 q 假； p 假且 q 真； p 真且 q 真三种情况2 命题的否定与否命题“ 否命题 ” 是对原命题 “若，则” 的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定pq其条件，又否定其结论； “ 命题的否定 ” 即 “ 非 p” ，只是否定命题p 的结论命题的否定与原命题的真假总是

7、对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系3 含一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题1 (2013 ·皖南八校 ) 命题 “ 若一个数是负数，则它的平方是正数” 的逆命题是 ()A “ 若一个数是负数，则它的平方不是正数”B “ 若一个数的平方是正数，则它是负数”C “ 若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D “ 若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析依题意得原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数选B.2 (2012 ·湖北 ) 命题 “存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ()A任意一个有理

8、数，它的平方是有理数B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数D存在一个无理数，它的平方不是有理数答案B解析这是一个特称命题，特称命题的否定不仅仅要否定结论而且要将相应的存在量词“ 存在一个 ” 改为全称量词 “ 任意一个 ” ，故选 B。2222已知 a， b， cR，命题 “若 a b c 3，则 a b c 3” 的否命题是 ()B若 a b c 3，则 a2 b2 c2<3C若 a b c 3，则 a2 b2 c2 3D若 a2 b2 c2 3，则 a b c 3答案A解析从 “ 否命题 ” 的形式入手，但要注意“ 否命题 ” 与 “ 命题的否定 ”

9、的区别命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A 正确第 3 3页欢迎。共下载 12 页精品文档【山东省临沂市某重点中学2014 届高三 9 月月考】 命题“若函数 f (x) log a x(a0, a 1) 在其定义域内是减函数，则log a 20 . ”的逆否命题是（）A若 log a 20 ，则函数 f ( x)log a x( a0, a1)在其定义域内不是减函数B若 log a 20 ，则函数 f ( x)log a x( a0, a1)在其定义域内不是减函数C若 log a 20 ，则函数 f ( x)log a x( a0, a1)在其定义域内是减函数D若 l

10、og a 20 ，则函数 f ( x)log a x( a0, a1)在其定义域内是减函数命题“ 若 x，y 都是偶数，则xy 也是偶数 ” 的逆否命题是()A若 x y 是偶数，则 x与 y 不都是偶数B若 x y 是偶数，则 x与 y 都不是偶数C若 x y 不是偶数，则x 与 y 不都是偶数D若 x y 不是偶数，则x 与 y 都不是偶数答案C解析由于 “ x， y 都是偶数 ” 的否定表达是 “ x， y 不都是偶数 ” ，“ x y 是偶数 ”的否定表达是 “ xy 不是偶数 ” ，故原命题的逆否命题为“ 若 xy 不是偶数，则x，y 不都是偶数 ” ，故选 C.5与命题 “ 若 a

11、 M，则 b?M” 等价的命题是 ()A若 a?M，则 b?MB若 b?M，则 a MC若? ，则D若 ，则?Ma Mb Mb Ma解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可故选D.答案： D4 下列命题中为真命题的是()A命题 “若 x>y，则 x>| y| ”的逆命题2B命题 “若 x>1，则 x >1” 的否命题C命题 “若 x 1，则 x2 x 2 0” 的否命题D命题 “若 x2>0，则 x>1” 的逆否命题答案A第 4 4页欢迎。共下载 12 页精品文档yy 0解析对于 A，其逆命题：若x>| y| ，则 x&

12、gt;y，是真命题，这是因为x>| y| ，必 yy<0有 x>y；对于 B，否命题：若 x1，则 x21，是假命题如 x 5， x2 25>1；对于 C，其否命题：若 x 1，则 x2x 2 0，因为 x 2 时，x2x 2 0，所以是假命题； 对于 D，若 x2>0，则 x>0 或 x<0，不一定有 x>1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.2已知命题 ： ? N,2 n 1 000 ，则p为 () pnA ? n N,2 n 1 000B?n N,2 n 1 000C ?n N,2 n 1 000D? N,2 n 1 000n解析特称命

13、题的否定是全称命题即： ?x ， (x) ，则p： ?x，() 故选 A.pM pMp x答案A3 Q”的否定是()4 (2012 ·湖北改编 ) 命题 “ 存在 x0 ?RQ， x033A存在 x0D/ ?RQ， x0 QB存在 x0 ?RQ， x0D / QC任意 xD / ?RQ， x3 QD任意 x ?RQ， x3D/ Q答案D解析“ 存在 ” 的否定是 “ 任意 ” ， x3Q的否定是 x3D / Q.33命题 “ 存在 x0 ?RQ， x0Q” 的否定是 “ 任意 x ?RQ， x D/ Q” ，故应选 D.1 (2011 ·安徽 ) 命题 “所有能被 2 整除

14、的整数都是偶数”的否定 是()A所有不能被2 整除的整数都是偶数B所有能被2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被2 整除的整数是偶数D存在一个能被2 整除的整数不是偶数答案D解析由于全称命题的否定是特称命题，本题 “所有能被2 整除的整数都是偶数” 是全称命题，其否定为特称命题 “存在一个能被2 整除的整数不是偶数”2 (2012 ·辽宁改编 ) 已知命题：对任意x1，2 R，(f(x2) (x1) ·(21) 0，则p是 ()pxfxxA存在 x1， x2 R， ( f ( x2) f ( x1)( x2x1) 0B对任意 x， x R， ( f ( x ) f ( x

15、 )(x x ) 0122121C存在 x ， xR， ( f ( x) f ( x)(x x )<0122121D对任意 x1， x2 R， ( f ( x2) f ( x1)(x2 x1)<0答案C解析 ：存在x1，2R， (f(x2) (x1)(x21)<0.pxfx2 (2012 ·安徽 ) 命题 “存在实数 x，使 x>1” 的否定 是()A对任意实数 x，都有 x>1B不存在实数x，使 x 1第 5 5页欢迎。共下载 12 页精品文档C对任意实数x ，都有 x1D存在实数x，使 x 1答案C解析利用特称命题的否定是全称命题求解“存在实数 x，

16、使 x>1” 的否定是 “ 对任意实数x，都有 x 1” 故选 C.11给出以下三个命题：若 ab 0，则 a0 或 b 0；在 ABC中，若 sinA sinB，则 A B；在一元二次方程ax2bx c0 中，若 b2 4ac<0，则方程有实数根其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是()A B C D 答案(1)A (2)B解析(1) 不等式 22 1>0的解集为1，故由121>0，但 22xxx> 或x< 1x>xxx22? 2xx 1>0D? / x>1，故选 A. 2(2) 在 ABC中，由正弦定理得 sin Asin B? a b? AB. 故选 B.6 下列结论：若命题 p：存在 x R，tan x 1；命题 q：对任意 x R，x2 x1>0. 则命题 “ p 且 q” 是假命题；已知直线l1：ax 310，2： 1 0，则l12 的充要条件是 a 3；ylxbylb命题 “ 若 x23x 20，则 x 1” 的逆否命题： “ 若 x1，则 x2 3x 2 0”其中正确结论的序号为_答案解析 中命题 p 为真命题，命题q 为真命题，所以p 且 q 为假命题，故 正确；当 b a 0时，有 l 1 l 2，故 不正确； 正确所以正确结论的序号为 .5 下列命题中正确命题的序号是_若 ac2>