数理统计的基本概念1

1、第六第六章章 数理统计数理统计的基本概念的基本概念第二部分第二部分 数理统计数理统计作业：作业：P1112，3，4，5，7，9，12，15，161引引 言言 随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机现象的统计性规律。现象的统计性规律。 概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常概率论的许多问题中，随机变量的概率分布通常是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是在这已知的基础上得出来的。是在这已知的基础上得出来的。 但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所服

2、从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些参数是未知的。型，但是其中的某些参数是未知的。2例如：例如： 某公路上行驶车辆的速度服从什么某公路上行驶车辆的速度服从什么分布是未知的分布是未知的； 电视机的使用寿命服从什么电视机的使用寿命服从什么分布是未知的分布是未知的； 产品是否合格服从两点分布，但参数产品是否合格服从两点分布，但参数合格率合格率p是是未知的未知的； 3 数理统计的任务则是数理统计的任务则是以概率论为基础，根据试验以概率论为基础，根据试验所得到的数据，对研究对象的客观统计规律性做出合所得到的数据，对研究对象的客观统计

3、规律性做出合理的推断。理的推断。数理统计方法具有数理统计方法具有“用局部推断整体用局部推断整体”的特征的特征 . . 在数理统计中，不是对所研究的对象全体在数理统计中，不是对所研究的对象全体 ( ( 称称为为总体总体) )进行观察，而是抽取其中的部分进行观察，而是抽取其中的部分( (称为称为样本样本) )进行观察获得数据（进行观察获得数据（抽样抽样），并通过这些数据对总），并通过这些数据对总体进行推断体进行推断. .4实际生活中的问题：实际生活中的问题：长期的生产经验告诉我们，水泥厂成品打长期的生产经验告诉我们，水泥厂成品打包机装袋的重量包机装袋的重量X服从正态分布。服从正态分布。如何得到该正

4、态分布的具体形式，即两参数确切的值？如何得到该正态分布的具体形式，即两参数确切的值？把打包机使用周期内所有的数据全部记录下来，可近似看做一把打包机使用周期内所有的数据全部记录下来，可近似看做一个连续的密度函数个连续的密度函数抽取抽取50包水泥，重量分别记为：包水泥，重量分别记为：X1，X2，X50因为已知：因为已知：EX=，VarX=2考虑：考虑：)(5015021XXXX5012250)(501iiXXS希望和希望和 2比较接近比较接近总体总体样本样本统计量统计量5希望和希望和比较接近比较接近总体、样本和统计量总体、样本和统计量 总体与样本总体与样本 在数理统计中，把研究对象的全体称为在数理

5、统计中，把研究对象的全体称为总体总体，而，而把组成总体的每个单元称为把组成总体的每个单元称为个体个体。 总体可以认为是一个随机变量，而个体的取值就总体可以认为是一个随机变量，而个体的取值就是该随机变量的一个观测值。是该随机变量的一个观测值。 因为我们在抽样之前无法预测样本的取值，或因为我们在抽样之前无法预测样本的取值，或者每次抽取的值并不相同，所以样本也可以看者每次抽取的值并不相同，所以样本也可以看成是一个随机变量。成是一个随机变量。6 一旦取定一组样本一旦取定一组样本 X1， ,Xn ,得到得到 n 个具体个具体的数的数 (x1, x2, , xn)，称为样本的一次，称为样本的一次观测值观测

6、值，简，简称样本值称样本值 .n 称为这个样本的称为这个样本的容量容量.12 .nXnXXX对总体 在相同的条件下，进行 次重复、独立观察，其结果依次记为， ，12 ,.nXXXX这样得到的随机变量是来自总体的一个简单随机样本，与总体随机变量具有相同的分布7随机抽样方法的基本要求随机抽样方法的基本要求 独立性独立性每次抽样的结果既不影响其余各次抽每次抽样的结果既不影响其余各次抽 样的结果，也不受其它各次抽样结果的影响。样的结果，也不受其它各次抽样结果的影响。 满足上述两点要求的样本称为满足上述两点要求的样本称为简单随机样本简单随机样本.获得简单随机样本的抽样方法叫获得简单随机样本的抽样方法叫简

7、单随机抽样简单随机抽样. 代表性代表性样本样本( )的每个分量的每个分量 与总体与总体 具有具有相同的分布相同的分布。 12,nXXXiXX 从简单随机样本的含义可知，从简单随机样本的含义可知，样本样本 是来自总体是来自总体 、与总体、与总体 具有相同分布的随机变量具有相同分布的随机变量.12,nXXXXX8简单随机抽样简单随机抽样 例如例如：要通过随机抽样了解一批产品的次品率，：要通过随机抽样了解一批产品的次品率，如果每次抽取一件产品观测后放回原来的总量中，则如果每次抽取一件产品观测后放回原来的总量中，则这是一个简单随机抽样。这是一个简单随机抽样。 但实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不但

8、实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不是一个简单随机抽样。但当总量是一个简单随机抽样。但当总量N很大时，很大时，可近似看可近似看成成是简单随机抽样。是简单随机抽样。9 简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本是取自某总体的样本”时，若时，若不特别说明，就指简单随机样本不特别说明，就指简单随机样本.若总体的分布函数为若总体的分布函数为F(x)、分布密度函数为、分布密度函数为f(x)。由于。由于简单随机抽样中对每个样本的观测相互独立，故简单简单随机抽样中对每个样本的观测相互独立，故简单随机样本视为随机向量，其联

9、合分布函数为随机样本视为随机向量，其联合分布函数为其简单随机样本的联合分布密度函数为其简单随机样本的联合分布密度函数为=F(x1) F(x2) F(xn) 2( ,)nF x xx=f(x1) f(x2) f(xn) 2( ,)nf x xx10统计量统计量 定义定义 设（设（ ）为总体）为总体X的一个样本，的一个样本， 为为不含任何未知参数不含任何未知参数的函数的函数，则，则称称 为样本（为样本（ ）的一个）的一个统计量统计量。12,nXXX12(,)nf XXX12(,)nf XXX12,nXXX则则 例如例如： 设设 是从正态总体是从正态总体 中抽取中抽取的一个样本，其中的一个样本，其中

10、 为已知参数为已知参数, 为未知参数，为未知参数，123(,)XXX2( ,)N 1233XXX21233XX X123X X X2123XXX是统计量是统计量 不是统计量不是统计量 11几个常用的统计量几个常用的统计量 样本均值：样本均值：设设 是总体是总体 的一个样本，的一个样本，12(,)nXXXX11niiXXn样本方差：样本方差：2211nniiSXXn修正样本方差：修正样本方差：22111nniiSXXn221nnnSSn12样本样本k阶原点矩：阶原点矩：11nkkiiXXn样本样本k阶中心矩：阶中心矩：11nkiiXXn顺序统计量：顺序统计量：12(1)(2)( ),.,.nnX

11、XXXXX将按从小到大的顺序排列为13样本极差：样本极差：( )(1)XnnRXX样本中位数：样本中位数： 1222+1 n 1+ n2nnnXXXX，为奇数，为偶数14定理（样本均值定理（样本均值与样本方差的数字与样本方差的数字特征）特征）22222 Var1 ,;,.nnE XXnnE SE Sn 2122 (,.,) nXXXXXXS设设总总体体 的均的均值值为为 ，方，方差差为为 ， ， 是是来来自自总总体体 的一的一个个样样本，本，则则样样本均本均值值 和和样样本本方方差差 有有15111111nnniiiiiE XEXE Xnnn证明证明：（：（1）2222111111VarVar

12、VarnnniiiiiXXXnnnn162222112211122111()(2)11121nnniiiiinnniiiiiniiSXXXX XXnnXXXXnnnXXn（2）17222211221222222111(Var( ) )(Var( ) )11()nniiiiniiinEXXE XE XnnXE XE SnXE Xnnnnnn222211nnnnnEESSnnES18经验分布函数经验分布函数（了解一下即可）（了解一下即可）1212,( ),.nnXXXFs xxx xxx 设是总体 的一个样本，用表示中不大于 的随机变量的个数1( )( )XnFxs xxn 定义经验分布函数为绝大

13、多数统计问题的背景是已经知道分布的类型，绝大多数统计问题的背景是已经知道分布的类型，但是不确定分布的参数。但是有些情况下分布的类但是不确定分布的参数。但是有些情况下分布的类型也不清楚，此时就需要引入经验分布函数。型也不清楚，此时就需要引入经验分布函数。19(1)( )(1)( ) 0,( ) , (1,2,1) 1,XnkknxxkFxxxxknnxx若若若12(1)(2)( ), . ( )nnnx xxnxxxF x一般，设是总体的一个容量为 的样本值 将它们按大小次序排列如下：则经验分布函数的观察值为203112( )XFFx例 设总体 具有一个样本值 , , ，则经验分布函数的观察值为

14、3 0,12( ) , 123 1,2XxFxxx若若若21 设总体设总体X的分布函数为的分布函数为FX，利用伯努利大数，利用伯努利大数定律可以证明，对于任意定律可以证明，对于任意0，有，有lim(|( )( )|)0, (,)XnXnP FxFxx 故当样本容量故当样本容量 n 足够大时，经验分布函数与足够大时，经验分布函数与总体的分布函数差距很小。因此只要样本容量足总体的分布函数差距很小。因此只要样本容量足够大，就可以近似推断总体的分布。够大，就可以近似推断总体的分布。22 事实上，对于任意事实上，对于任意 x x ，我们可以定义事件，我们可以定义事件 A=A=随机变量随机变量取值取值 x

15、 xt tx x，取，取n n个样本，个样本，事件事件 A A 发生发生的次数就是的次数就是这这 n n 个个样本值样本值中中不不超过超过 x x 的的个个数，数，即即 s(xs(x), ), 则则由伯努利大数定律由伯努利大数定律( )lim( )0,ns xPP An( )()( )tXP AP xxFx而而lim( )( )0.XnXnP FxFx故有故有23命题命题6.3.5 设总体设总体 X 的分布函数为的分布函数为 FX，分布密度，分布密度函数为函数为 fX，则，则Xn按大小顺序排列，第按大小顺序排列，第k个随机变量个随机变量X(k)的密度函数为的密度函数为( )1!( )( )1(

16、 )( )()!(1)!kkn kXXXXnfxFxFxfxnkk(1)1( )1( )( ),nXXXfxnFxfx( )1( )( )( ).nnXXXfxn Fxfx1,2,., . kn其中特别地，有顺序统计量的分布顺序统计量的分布24证明：证明：( )1!( )( )1( )( ).()!(1)!kkn kXXXXnfxFxFxfxnkk( ) ,kxx xx落在这个区间的概率近似为( )11111( )( )1()( )! =( )1( )( ),()!(1)!kkkn kXnnXXXkn kXXXfxxC CFxFxxfxxnFxFxfxxnkk 故有故有25 数理统计中常用的分

17、布除数理统计中常用的分布除正态分布正态分布外，还有外，还有三个非常有用的连续型分布，即三个非常有用的连续型分布，即 2分布t 分布F分布 数理统计的三大分布(都是连续型).1.1.它们都有直接的数理统计背景。它们都有直接的数理统计背景。2.2.它们都与正态分布有密切的联系。它们都与正态分布有密切的联系。262分布分布 0,1XN 定义定义 设总体设总体 ， 是是 的的一个样本一个样本, 则称统计量则称统计量 服从服从自自由度为由度为n的的 分布分布，记作，记作X12,.,nX XX222212nXXX222( )n自由度是指独立随机变量的个数自由度是指独立随机变量的个数272( )n 可可以以

18、证证明明分布的密度函数为分布的密度函数为 12221, 0( )22 0, 0nxnxexnf xx其中其中Gamma函数函数 (x) 通过下面积分定义通过下面积分定义10( ),0t xxe tdtx 12(1)( ),(1)!, (1)1, xxxnn 28一般的，若一般的，若X X的分布密度函数为的分布密度函数为则称则称X服从参数为服从参数为0和和0的的分布，记为分布，记为X (, )。 分布的数学期望和方差为分布的数学期望和方差为不难看出不难看出10( )( )0 xXxexfx其他2211 ,.2 2niinX2, Var =E XX29其图形随自由度的不同而有所改变其图形随自由度的

19、不同而有所改变. .分布密度函数的图形分布密度函数的图形2( )n30 2 2分布的性质分布的性质u 设设X 2(n)，则，则EX=n，VarX=2n.证明：证明：2211211 =(Var( ) )VarnniiiiniiiniiE XEXE XXE XXn31221142211VarVar =Var( ( ) )(3 1)2nniiiinniiiiXXXE XE Xn22220 (1)(3)3 1 xkkkxE Xedxkkkk为奇数为偶数利用公式：利用公式：32(0,)XN 若若， 则则u 2 2分布的可加性分布的可加性221122( ),(),XnXn 若若 且且X1, X2相互相互独

20、立，则独立，则21212()XXnn 2( ),Xn u 若若 则当则当 n 趋于无穷时，近趋于无穷时，近似的有似的有(0,1)2XnNn 33证明：证明：(0,1)2XnNn 11(0,1)nkkZnNn这里这里22, 1, 2kkZX可得可得由中心极限定理由中心极限定理34性质性质 设设(X1,X2,Xn)为取自正态总体为取自正态总体XN( , 2)的样本，则的样本，则22211()( )niiXn 证明证明 由已知，有由已知，有(0,1)，iXN 且各且各iX 相互独立，相互独立，故故2221212()( ).nniiiiXXn 35 定理定理 设设(X1,X2,Xn)为来自正态总体为来自正态总体 XN( , 2)的样本，则样本均值的样本，则样本均值 与样本方差与样本方差 Sn2 相互相互独立，且；独立，且； (1) 2, XNn X2222211