大学物理II_第十章

1、1/ 11第十章 静电场电荷守恒定律电荷守恒定律是物理学的基本定律之一. 它指出 , 对于一个孤立系统 , 不论发生什么变化 , 其中所有电荷的代数和永远保持不变. 电荷守恒定律表明 , 如果某一区域中的电荷增加或减少了, 那么必定有等量的电荷进入或离开该区域；如果在一个物理过程中产生或消失了某种电荷, 那么必定有等量的异号电荷同时产生或消失 .库仑定律库仑定律 (Coulomb's law), 法国物理学家查尔斯 ·库仑于 1785 年发现 , 因而命名的一条物理学定律 . 库仑定律是电学发展史上的第一个定量规律 . 因此 , 电学的研究从定性进入定量阶段 , 是电学史中的

2、一块重要的里程碑 . 库仑定律阐明 , 在真空中两个静止点电荷之间的相互作用力与距离平方成反比 , 与电量乘积成正比 , 作用力的方向在它们的连线上 , 同号电荷相斥 , 异号电荷相吸 .1q1 q2r0F0 r2408.85418781710 12 C 2 N 1 m 2 , 真空电容率 (真空介电常数 )电场强度电场强度是用来表示电场的强弱和方向的物理量 . 实验表明 , 在电场中某一点 , 试探点电荷 ( 正电荷 )在该点所受电场力与其所带电荷的比值是一个与试探点电荷无关的量 . 于是以试探点电荷 (正电荷 )在该点所受电场力的方向为电场方向 , 以前述比值为大小的矢量定义为该点的电场强

3、度 , 常用 E 表示 . 按照定义 , 电场中某一点的电场强度的方向可用试探点电荷 (正电荷 ) 在该点所受电场力的电场方向来确定；电场强弱可由试探电荷所受的力与试探点电荷带电量的比值确定.EF ； E1q2 r 0q040 r点电荷系在某点产生的电场的电场强度等于各点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和E1qi0Ei2ri40 ri带电体在一点产生的电场强度等于所有电荷元产生的电场强度的矢量积分EdEdqr 040r 2高斯定理真空中的静电场中 , 穿过任一闭合曲面的电通量, 在数值上等于该闭合曲面内所包围的电量的代数和乘以0的倒数 .1qiE dSSins0安徽工程大学机电学院大学物理I

4、I 复习韩玉龙2/ 11E dS1dVSV0给予空间的某个区域内 , 任意位置的电场 . 原则上 , 应用高斯定律 , 可以很容易地计算出电荷的分布 . 只要积分电场于任意区域的表面 , 再乘以真空电容率 , 就可以得到区域内的电荷数量 .但是 , 更常遇到的是逆反问题 . 给予电荷的分布 , 求算在某位置的电场 . 这问题比较难解析 . 虽然知道穿过某一个闭合曲面的电通量 , 这资料仍旧不足以解析问题 . 在闭合曲面任意位置的电场可能会是非常的复杂 .假若 , 问题本身显示出某种对称性 , 促使在闭合曲面位置的电场大小变得均匀 . 那么 , 就可以借着这均匀性来计算电场 . 像圆柱对称、平面

5、对称、球对称等等 , 这些空间的对称性 , 都能帮助高斯定律来解析问题 . 若想知道怎样利用这些对称性来计算电场 , 请参阅高斯曲面 (Gaussian surface).静电场环路定理在静电场中 , 电场强度沿任一闭合路径的线积分(即电场强度的环流 )恒为零E dl0L电势能在静电学里 , 电势能 (Electric potential energy)是处于电场的电荷分布所具有的势能 , 与电荷分布在系统内部的组态有关 . 电势能的单位是焦耳 . 电势能与电势不同 . 电势定义为处于电场的电荷所具有的电势能每单位电荷 . 电势的单位是伏特 .电势能的数值不具有绝对意义 , 只具有相对意义 .

6、 所以 , 必须先设定一个电势能为零的参考系统 . 当物理系统内的每一个点电荷都互相分开很远 ( 分开距离为无穷远 ), 都相对静止不动时 , 这物理系统通常可以设定为电势能等于零的参考系统 . 假设一个物理系统里的每一个点电荷 , 从无穷远缓慢地被迁移到其所在位置 , 总共所做的机械功为 , 则这物理系统的电势能 U 为.UW'0 'Waq0 E dla在这过程里 , 所涉及的机械功W, 不论是正值或负值 , 都是由这物理系统之外的机制赋予 , 并且 , 缓慢地被迁移的每一个点电荷, 都不会获得任何动能. 如此计算电势能 , 并没有考虑到移动的路径, 这是因为电场是保守场,

7、电势能只跟初始位置与终止位置有关 , 与路径无关 .电势在静电学里 , 电势 (electric potential)定义为处于电场中某个位置的单位电荷所具有的电势能 . 电势又称为电位 , 是标量 . 其数值不具有绝对意义 , 只具有相对意义 , 因此为了便于分析问题 , 必须设定一个参考位置 , 称为零势能点 . 通常 , 一个明智的选择是将无穷远处的电势设定为零 . 那么 , 电势可以定义如下：假设检验电荷从无穷远位置 , 经过任意路径 , 克服电场力 , 缓慢地移动到某位置 , 则在这位置的电势 , 等于因迁移所做的机械功与检验电荷量的比值 .Wa'0 'uaq0E d

8、la安徽工程大学机电学院大学物理II 复习韩玉龙3/ 11在国际单位制里 , 电势的度量单位是伏特(Volt), 是为了纪念意大利物理学家亚历山德罗 ·伏打 (Alessandro Volta)而命名 .点电荷系产生的电场中 , 某点的电势是各点电荷单独存在时, 在该点产生的电势的代数和nuauii 1uaaE dl电势与电场强度的积分和微分关系式ua'0'dlEaEldu ； Eu iu ju kdlxyz导体的静电平衡静电平衡是指导体中的自由电荷 (通常为带负电荷电的电子 )所受到的力达到平衡而不再做定向运动的状态 . 处在静电平衡下的导体 , 为一个等势体 ,

9、其表面为等势面 . 导体内部的电场强度处处为零 , 导体表面上任意一点场强的方向与表面垂直 , 大小与该处的电荷面密度成正比 .Esurfacen0电容在电路学里 , 给定电势差 , 电容器储存电荷的能力 , 称为电容 (capacitance), 标记为 C. 采用国际单位制 , 电容的单位是法拉 (farad), 标记为 F.平行板电容器是一种简单的电容器 , 是由互相平行、以空间或介电质隔离的两片薄板导体构成 . 假设这两片导板分别载有负电荷与正电荷 , 所载有的电荷量分别为 -Q、+Q,两片导板之间的电势差为 V, 则这电容器的电容为QCV1 法拉等于 1 库仑每伏特 , 即电容为 1

10、 法拉的电容器 , 在正常操作范围内 , 每增加 1 伏特的电势差可以多储存 1 库仑的电荷 .安徽工程大学机电学院大学物理II 复习韩玉龙4/ 11课后习题：10. 1 (1)(2)(3)(4)(5)；10. 2 (1)(2)(4)(5)(7)；建议作业题：10. 4；10. 8(此题为 10. 4 的延伸 )；10. 13(类似加深难度的有 10. 21)；10. 17(可作为填空 )；10. 18(类似加深难度的有 10. 24)；10. 33(此题为 10. 13 的延伸 )；10. 35(此题为 10. 21 的延伸 )； 10. 41；10. 4210.1 选择题(1) 真空中两平

11、行带电平板相距为d, 面积为 S, 且有 d2带电量分别为q 和q , 两板<<S,间的作用大小为 Dq2q2(C) F2q2q2(A) F2 (B)F(D) F2 0S4 0 d0S0 S解析：平板电容器由两个彼此靠得很近的平行极板（设为A 和 B ）所组成，两极板的面积均为 S，设两极板分别带有q ， q 的电荷，于是每块极板的电荷密度为q。忽略极S板的边缘效应，把两极板间的电场看成是均匀电场，由高斯定理可得两板间场强为Eq。Sqd 。再根据 CQ得到CS 。平板电容器的电容与极板的面积由 UBEdEdlASUdS 成正比，与极板间的距离d 成反比，电容是否带电无关， 只与电容

12、器本身的结构形状有关。电场强度Eq，某电荷产生的电场不会对它自己施以静电力，所以计算一块极板对另0 S一块极板的电力时，电场不是E。 FEq(2) 如图所示，闭合曲面 S 内有一点电荷 q，P 为 S 面上一点，在 S 面外 A 点有一点 q，若将q移至 B 点，则 C(A) 穿过 S 面的电通量改变， P 点的电场强度改变(B) 穿过 S 面的电通量改变， P 点的电场强度不变(C) 穿过 S 面的电通量不变， P 点的电场强度改变(D) 穿过 S 面的电通量不变， P 点的电场强度不变(3) 下列说法正确的是B安徽工程大学机电学院大学物理II 复习韩玉龙5/ 11(A) 电场强度不变的空间

13、，电势必为零(B) 电势不变的空间，电场强度必为零(C) 电场强度为零的地方电势必定为零(D) 电势为零的地方电场强度必定为零(E) 电势越大的地方电场强度必定越大(F) 电势越小的地方电场强度必定越小(4) 如图所示，在带电体 A 旁有一不带电的导体壳 B ， C 为导体壳空腔内的一点，则下列说法正确的是 B(A) 带电体 A 在 C 点产生的电场强度为零(B) 带电体 A 与导体壳B 在外表面的感应电荷在C 点所产生的合电场强度为零(C) 带电体 A 与导体壳B 在内表面的感应电荷在C 点所产生的合电场强度为零(D) 导体壳 B 在内外表面的感应电荷在C 点所产生的合电场强度为零(5)(6

14、)10.2 填空题(1) 电量和符号都相同的三个点电荷q 放在等边三角形的顶点上，为了不让它们由于斥力的作用而散开，可在三角形的中心放一符号相反的点电荷q ，则的电量应为3 q3F1q1 q22 r 040r(2) 边长为 a 的正六边形的六个顶点都放有电荷，如图所示。则正六边形中心O 处的电场强度大小为q20 a2安徽工程大学机电学院大学物理II 复习韩玉龙6/ 11(3)(4) 一半径为R 的均匀带电圆环，带电量为q ( q < 0) ，另有两个均带正电荷Q 的点电荷位于环的轴线上，分别在环的两侧，它们到环心的距离都等于环的半径R。则当此电荷系统处于平衡时， Q： q=2E1qx，

15、EF3；40R2x22q01QqR1Q 24342 ，即得结果。0R22202RR(5) 如图，无限大平板导体放在电场强度E0 的均匀电场中，导体两侧板面A 、 B 均与电场线垂直，则 A 、B 板面上的电荷面密度分别为A，B。0E0,0E0(7) 两个电容器的电容之比C1： C2=1:2，把它们串联起来接电源充电，它们的电场能量只比W1 ：W 2=，如果并联起来接电源充电，则它们的电场能量只比W 1：W 2=。2:1； 1:210.4 一长为 l 的均匀带电直导线，其电荷线密度为。试求导线延长线上距离近端为a 处一点的电场强度。1dq1dxdE0 l a x 240 l a x 24l1dx

16、1lE0 la x240 a l a0 41lEi40a l a安徽工程大学机电学院大学物理II 复习韩玉龙7/ 1110.8 一长为l 的带电细导体棒，沿x 轴放置，棒的一端在原点。其电荷线密度为=A x，A为常数。求x 轴坐标为x=l+a 一点的电场强度大小。dE1dqAxdx0 l a x 240 l a x 24EAlxdxA lln(1l )400 la x 240 aa10.9 半径为 R 的细圆环，圆心在Oxy 的原点上，圆环所带电荷的线密度A cos，其中A 为常量，如图所示。求圆心处电场强度的x、y 分量。解：取电荷元 dqAcosRddE xAcosRdcos； ExdEx

17、2A cosRd cosA40R 20 40R24 0 RdE yAcosRdsin； EydE y040R210.13 电荷均匀分布在半径为R 的球形空间内，电荷体密度为 。试求球内、球外及球面上的电场强度。根据电荷分布的球对称性，可知电场分布也具有球对称性。以带电球体的球心为球心，作半径为 r 的球形高斯面，由高斯定理E dSqins知：S00<r<R 时：E dS14r 3 E4 r 214r 3ErS03033 0安徽工程大学机电学院大学物理II 复习韩玉龙8/ 11r=R 时：E dS14R3E 4R214R3ERS03033 0r>R 时：E dS14R3E 4r

18、 214R3ER32S030330r10.17 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的轴平行，则通过半球面的电通量为e R2 E10.18 两个同心的均匀带电球面，半径分别为 R1 和 R2。带电量分别为 q 和 q，用高斯定理求解其电场分布。高斯定理qinsE dSS0当 rR1 时， E dS E 4 r 20 ， E0 ；S当 R1r R2时， E dS E 4 r 2q ， E1q；S040r2当 rR2时， E dS E 4 r 2q q0，E 0。S0安徽工程大学机电学院大学物理II 复习韩玉龙9/ 1110.33 一半径为R 的均匀带电球体，其电荷体密度为 。求： 1、球

19、外任一点的电势；2、球表面上的电势；3、球内任一点的电势。由高斯定理 EdSqins 知：S00<r<R 时： ErRR3r=R 时： Er>R 时： E3 0 ；3 0；3 0r 2以无穷远为电势零参考点，则1、球外任一点的电势( r>R)2、球面任一点的电势( r=R)3、球内任一点的电势( r<R)uR3R330 r2 dr3 0rruR3drR2R 3 0r 23 0Rr drR33R2r 2drur3 0R 3 0 r 26 010.35 半径为 R 的“无限长”圆柱体内均匀带电，电荷体密度为 。试求它产生电场的电势分布 ( 选圆柱的轴线为电势的零参考点

20、 ) 。由高斯定理 E dSqins 知：S0rRr>R 时： ER20<r <R 时： Er=R 时： E2 0 ；2 0 ；20r1、圆柱体外任一点的电势(r >R)2、圆柱体面任一点的电势(r=R)3、圆柱体内任一点的电势(r <R)ur drRrdrR2R2ln R0R 2 0r 2 04 02 0r0r drR2uR 2 04 00r drr2ur2 04 010.41 带电量 q 的点电荷处在导体球壳的中心，球壳的内、 外半径分别为R1 和 R2. 求球壳内、外及壳上任一点的电场强度和电势；并画出E-r 和 u-r 曲线。由高斯定理 E dSqins 知：S0安徽工程大学机电学院大学物理II 复习韩玉龙10/11(r<R 1) E1q; (R 1<r<R 2)E=0; (r>R 2) E1qr24r2400R11q2 drR21q2 drq111(r<R 1)时 ur 40dr0 rR1R2 40 r40 rR1R2(R1 <r<R 2)时 uR20dr1qqR24 0r2 dr0 R2r4(r>R 2)时 u1q2 drq0rr40r410.42 半径为