常微分方程练习题共8资料

1、常微分方程练习题班级：学号：姓名：第一二章一. 填空题1 . 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为。2 . 一阶微分方程卅如 叮是恰当方程的充分必要条件是3. 方程M(x,y)dx N(x,y)dy 0有只含x的积分因子的充要条件是o有只含y的积分因子的充要条件是6. (x 2y 3+xy)y'=17. (x 2-1)y '+y2-2xy+1=0c2c28.2x y 3x3 dx+ 4 dy=0 y y9. xdy (y x2y4)dx 0。5y xy五. 证明题。1 .一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程的解2 .齐线性方程的任一解的常数倍或任两解之和仍为其

2、解。 第三章一. 填空：1. 函数f(x,y)称为在矩形域R上满足利普希兹条件，如果2. 对毕卡逼近序列，k x k 1 x 。3. 若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程dy f x,y的解yx,X0,y。作为x,x。, y的函数在它的存在范围dx是。4. 微分方程的奇解是指。5. 方程 史 x2 y2定义在矩形域R:2 x 2, 2 y 2上，贝Udx经过点(0, 0)的解的存在区间是-o二. 求解下列各题：1.求方程业xdxy2过点(0, 0)的第三次近似解。dy222.求初植问题dxxy R ;x 11,|y 1的解的存在区间，并求第y10二近似解，给出解的

3、存在区间的误差三. 证明题：假设函数f x,y于xo,yo的领域内是y的不增函数，试证方程 ® f x, y满dx足条件y Xoyo的解于x xo一侧最多只有一个。第四章一. 填空：1. 为n阶齐线性微分方程。2. 捲(t)非零为二阶齐线性方程x a1 (t) x' a2 (t)x 0的解，这里 t 和a2 t于区间a,b上连续，则x t是方程解的充要条件是3 .常系数非齐线性方程中，若ft botm bf1bm 1t bm e t，其中与bi为实常数，那么方程有形如的特解。4 .在n阶常系数齐线性方程中，ai,a2 ,an为常数，则它的特征方程为 .若方程 牛 px翌qxy

4、 0中满足条件，则方程有形如dx2dxyanXn的特解。n 0 .微分方程xy''' 2y' 3y40的阶数为 o 设xit0是二阶齐线性方程x''ait x'a2 tx0的一个解，则方程的通解可表为 .解线性方程的常用方法有 、 .若xi t (i 0,1,2 n)为齐线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为.10. 若Xi t(i 1,2, ,n)为齐线性方程的一个基本解组,x t为非齐线性方程的一个特解,则非齐线性方程的所有解可表.11. 若xdt)(i 1，2，,n)是齐线性方程的n个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，

5、则w(t)满足一阶线性方程 。12. 函数是微分方程 y y 2y 0的通解.2.求特解y'' 2y' yxxxe e ，y 1 y' 113.设二阶非齐线性方程的三个特解为y1x, y2x sin x其通解4.求解方程y yx5.求方程x y''' x y'4xy' 3x2的通解6.求方程y'' xy' y0的解.7.求解方程x'' 4x'4x ete2118.求初始问题的解：y 4y29y 0,Yx0o,yx0 151 .,ya求通解y”甘x COSX 求13. 微分方程

6、yin xdx xln ydy 0满足初始条件yxe e的特解是 方程y 2y y 0的基本解组是 . 常系数方程打7 。有四个特征根分别为°氣 1 (二重根)，那 么该方程有基本解组() 计算9.求解方程.- ,_X二.设可导函数x满足 x cosx 2 t sin tdt x 1，求 x0四. 证明题1.若函数x! t , x2 t ,Xnt为n阶齐线性方程的n个线性相关解，贝陀们的伏朗斯基行列式wt 02 .试证n阶非齐线性方程存在且最多存在n+1个线性无关解。3.在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上连续，求证：若p(x)恒不为零，则该方程的任

7、一基本解组的朗斯基行列式W(x)是(，)上的严格单调函数.第五章一、 填空题1 .设(t)是方程组x A(t)x f(t)的定义于区间a t b上且满足初始条件(to)的解，贝y(t)是积分方程 的定义于a t b上的解。反之亦然。2 .在证明用皮卡逼近时，我们对于所有的正整数k有如下估计：| k(t) k1(t)|。3. 如果向量函数X1(t)x(t), x(t)在区间a t b上线性相关，贝9它们的伏朗斯基行列式。4. x A(t)x一定存在一个基解矩阵(t)，如果 (t)是x A(t)x的任一解，那么5 .若 (t)是x A(t)x的基解矩阵，则向量函数(t) =是x A(t)x f(t

8、)的满足初始条件(t。)0的解；向量函数(t)=是x A(t)x f (t)的满足初始条件(to) 的解。6 .写出关于矩阵指数 exp At的性质 、7 .非齐线性方程组x A(t)x f(t)满足初始条件(to) 的解(t) =。8 .假设 是方程xA(t)x的三重根，则exp At =。9.设x,t),X2(t)分别是方程组x A(t)xfi(t) , x A(t)x f2(t)的解，则满足方程x A(t)xfi(t)f2(t)的一个解可以为10 .设(t)是x A(t)x的基解矩阵，(t)是x A(t)x f (t)的某一解，则x A(t)x f (t)的任一解(t)都可表示为 o11

9、 .方程组x' A(t)x的n个解Xi(t)x(t), L x(t)线性无关的充要条件12.若矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,L ,vn，它们对应的特征值分别是1, 2,L , n，那么矩阵(t)二 是常系数线性方程组 x' A(t)x的一个基解矩阵。13 .若(t)是x A(t)x的基解矩阵，则x A(t)x f (t)满足x(t0)的解(t)=o14. 若印耳,f (t)是a,b上的连续函数，x,(t),X2(t)是方程x" a,t)x a2(t)x 0的两个线性无关解，则 x" a't)x a2(t)x f(t)的通解为： o15.

10、 如果x1 t ,x2 t, ,Xnt是x' At x的n个线性无关解，则它的任一解可表第7页16. 如果孰0是方程组 宀如*的一个基解矩阵，则 円虫二17.设A,B是两个总3阶常数矩阵，且满足,则exp(A+B)二expAexpB.计算1 .求x0 1 11 0 1x的基本解矩阵1 1 02.求方程组xA(t)x的基解矩阵，并求出满足初始条件 (0) 的解(t)1 2其中A 1 234 33510203 .求方程x5510 x的通解2434.试用逐步皮卡逼近求方程组xX2满足初始条件x(1)1的第二次近似解。1x5.求yz2xx 2yx yzz的基解矩阵。2z6.试求矩阵A的特征值和

11、对应的特征向量7.试求初值问题X2的解。4.试求x Axf(t)，其中X1X2f(t)02t e满足初始条件(0)的解(t).7.试用逐步逼近法求方程组x'01x1满足初始条件x(0)x20第三次近似解。8.试求方程组x' Ax的一个基解矩阵,并计算exp At，其中 A 2 11 2二.证明题1.给定方程x 5x 6x f (t)其中f(t)在0 t上连续，试利用常数变易公式,上有界。证明：如果f(t)在0 t 上有界，则上面的方程的每一个解在 0 t2. 假设m不是A的特征值，试证非齐线性方程组x Ax cemt有一解形如(t)pemt ，其中c, p是常数向量。3.如果叭住灼在区间X出石上是疋矶小 的两个基解矩阵，那么，存在一个非 奇异的常数矩阵c使得在区间口兰总咽丘上呼(0希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条: 1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。2、为成功找方法，不为失败找借口。3、蔚蓝的天空虽然美丽，经常风云莫测的人却是起落无从。但他往往会成为风云人物，因为他经得起大风大浪的考验。x11第9页4 . 称为伯努利方程，它有积分因子 o5. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点x,