矩阵的初等变换与线性方程组的求解

1、矩阵的初等变换与线性方程组的求解矩阵的初等变换与线性方程组的求解高斯消去法高斯消去法在本部分，我们将对中学所接触过的消元法求解线性方程组的过程用矩阵的初等变换来表示，并且对方程组的解的情况给出相应的判断标准。1. 1.线性方程组的矩阵形式表示线性方程组的矩阵形式表示 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111引入如下三个矩阵引入如下三个矩阵 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.,2121 mnbbbbxxxX 利用矩阵的乘法利用矩阵的乘法,线性方程组可以写成如下的线性方程组可以写成如下的矩阵形式：矩阵形式： A

2、X=b 定义定义解向量与解集合解向量与解集合方程组的一组解称为方程组的一个方程组的一组解称为方程组的一个解向量解向量，所，所有解向量的全体构成的集合称为方程组的有解向量的全体构成的集合称为方程组的解集合解集合(解解集集)定义定义方程组相容方程组相容方程组有解，我们称这个方程组是相容的，方程组有解，我们称这个方程组是相容的，否则，否则，称之为不相容的。称之为不相容的。定义定义增广矩阵增广矩阵 bAB 定义定义 齐次方程组齐次方程组 AX = 0; 定义定义 非齐次方程组非齐次方程组 AX = b, b 0 (b中至少有一分量不为零中至少有一分量不为零)2 2消元法与矩阵的初等变换消元法与矩阵的初

3、等变换 对于如上所示的最一般形式的线性方程组：对于如上所示的最一般形式的线性方程组： mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 在初等数学中，常常用在初等数学中，常常用消元法消元法求解。消元法的基本思想是求解。消元法的基本思想是通过消元变形把已知方程组化成容易求解的通过消元变形把已知方程组化成容易求解的同解方程组同解方程组。在解在解未知数较多的方程组时，需要使消元法步骤规范而又简便。未知数较多的方程组时，需要使消元法步骤规范而又简便。问题问题方程组何时有解方程组何时有解？若有解，有多少解？如何求出其全部解若有解，有多少解？如何求出其

4、全部解？ 35231344452321321321321xxxxxxxxxxxx1x 44525231343321321321321xxxxxxxxxxxx 例例1 解线性方程组解线性方程组解解 第一步第一步 使第一个方程中使第一个方程中 的系数为的系数为1 与第四个方程的位置，与第四个方程的位置，交换第一个方程交换第一个方程可得可得 第二步第二步 把第一个方程以下的各方程中的把第一个方程以下的各方程中的 消去第二个方程消去第二个方程减去第一个方程减去第一个方程 , 第三个方程减去第一个方程第三个方程减去第一个方程 ，第四个方程减，第四个方程减去第二个方程的倍，可得去第二个方程的倍，可得 1x

5、2223232343333322221 xxxxxxxxx 第三步第三步 使第二方程中的系数为使第二方程中的系数为1第二个方程加上第三方程第二个方程加上第三方程后再乘以（后再乘以（1），可得），可得22032334333322221 xxxxxxxxx 44525231343321321321321xxxxxxxxxxxx 第四步第四步 把第二个方程以下的方程中的把第二个方程以下的方程中的 都消去第三都消去第三 个方程加上第二个方程的个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程倍，第四个方程减去第二个方程 的的3倍，可得倍，可得 2x 22033332321xxxxxxx 第五步第五步

6、 把第三个方程以下的方程中的把第三个方程以下的方程中的 消去第四消去第四 个方程加上第三个方程，可得个方程加上第三个方程，可得 3x 00203332321xxxxxx(2.4)22032334333322221 xxxxxxxxx 第六步第六步 用用“回代回代”方法求解经第五步后得到的方程组方法求解经第五步后得到的方程组(2.4) 与原方程组等价由方程组与原方程组等价由方程组(2.4)的第三个方程得的第三个方程得 ，代入，代入 第二个方程得第二个方程得 ；再把；再把 代入第一个方代入第一个方 程可得程可得 于是，于是，22 x2, 223 xx31 x 00203332321xxxxxx方程

7、组的解为方程组的解为 . 223321xxx23 x类似上面形式的方程组称为类似上面形式的方程组称为阶梯形方程组阶梯形方程组一般地，一个一般地，一个阶梯形线性方程组阶梯形线性方程组应该应该满足满足如下如下两个条件：两个条件： （1 1）如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零；它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零； （2 2）如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为零，设第一个系数不为零的项是第零，设第一个系数不为零的项是第 项，那么此方程下项，那么此方程

8、下方的所有方程（如果存在）的前方的所有方程（如果存在）的前 项的系数全为零项的系数全为零例如线性方程组例如线性方程组 i 036032244321 xxxxx310205321 xxx与与i 上述的消元过程中，我们对线性方程组施行了上述的消元过程中，我们对线性方程组施行了下列下列三种变换：三种变换：（1） 交换两个方程的位置；交换两个方程的位置； （2） 以非零数以非零数 k 乘一个方程；乘一个方程； （3） 把某一个方程的把某一个方程的 k 倍加到另一个方程上倍加到另一个方程上这三种变换称为线性方程组的这三种变换称为线性方程组的初等变换初等变换 任意线性方程组任意线性方程组 若干次初等变换若

9、干次初等变换阶梯方程组阶梯方程组GaussGauss消元法：消元法：原方程组原方程组阶梯方程组阶梯方程组回代回代得解得解 在例在例1的消元过程中，我们对方程组进行的初等变换的消元过程中，我们对方程组进行的初等变换实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算，未实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算，未知量并未参与运算因而知量并未参与运算因而对方程组施行的初等变换可以对方程组施行的初等变换可以用相应的矩阵的变换来表示用相应的矩阵的变换来表示 回顾前面的方程组回顾前面的方程组 3111523113414452bAB三、利用矩阵初等行变换解线性方程组三、利用矩阵初等行变换解线性方程组 35

10、231344452321321321321xxxxxxxxxxxx原方程组原方程组增广矩阵增广矩阵 444523523213413321321321321xxxxxxxxxxxx1x使第一个方程中使第一个方程中 的系数为的系数为1 与第四个方程的位置与第四个方程的位置交换第一个方程交换第一个方程 44525231134131111B使第一行第一个元素为使第一行第一个元素为1 1，交，交换换 的第一行与第行的位置的第一行与第行的位置 B第第一一步步 把把(1)(1)以下的各方程中的以下的各方程中的 消消去去(2)-(1),(3)-(1),(4)-2(2)(2)-(1),(3)-(1),(4)-2

11、(2) 1x第第二二步步2223232343333322221 xxxxxxxxx 22302340223031112B在在 中，第二行减去第一行，中，第二行减去第一行，第三行减去第一行，第四行第三行减去第一行，第四行减去第一行的减去第一行的2倍倍 1B 使第二方程中的系数为使第二方程中的系数为1第二个第二个方程加上第三方程后再乘（方程加上第三方程后再乘（1）22032334333322221 xxxxxxxxx第第三三步步在在 中，使第二行第一元素为中，使第二行第一元素为1 1，第二行加上第三行后再乘以（第二行加上第三行后再乘以（ ） 2B1 22302340011031113B 把第二个方

12、程以下的方程中把第二个方程以下的方程中的的 都消去第三个方程加上都消去第三个方程加上第二个方程的第二个方程的4倍，第四个方程倍，第四个方程减去第二个方程的减去第二个方程的3倍倍 2x第第四四步步 22033332321xxxxxxx在在 中，第三行加上第二行的中，第三行加上第二行的4倍，倍，第四行减去第二行的第四行减去第二行的3倍倍 3B 21002100011031114B 把第三个方程以下的方程中的把第三个方程以下的方程中的 消去第四个方程加上第三个方消去第四个方程加上第三个方程程 3x 00203332321xxxxxx 在在 中，第四行加上第三行中，第四行加上第三行 4B第第五五步步

13、第六步第六步 用用“回代回代”方法求方法求解解 00203332321xxxxxx 00002100011031115B阶梯形方程组阶梯形方程组行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 00002100011031115B（1 1）如果某一行元素全为零，那么它下方的所有行（如果存如果某一行元素全为零，那么它下方的所有行（如果存在在) ) 元素元素也全为零；也全为零；（2 2）某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位 于第于第 列，那么它下方的所有行（如果存在）的前列，那么它下方的所有行（如果存在）的前 个元个元素全为零素全为零ii 000021000110311

14、15B行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 一般地，一个一般地，一个行阶梯行阶梯形矩阵形矩阵应该满足以下应该满足以下两个条件：两个条件： 000003120063021 3000105002011 0400350024204321ji,jirr kkiikrjjikrr kki称为矩阵的初等行变换称为矩阵的初等行变换 (1) 交换两行的位置交换两行的位置(交换第交换第 两行两行,记作记作 )(2) 以非零数以非零数 乘某一行（以乘某一行（以 乘第乘第 行行,记作记作 ）; (3) 把某一行的把某一行的 倍加到另一行上（把第倍加到另一行上（把第 行的行的 倍加到第倍加到第 行上，记作行上，记作 ）例如例如

15、矩阵矩阵 与与 都是行阶梯形矩阵都是行阶梯形矩阵不是行阶梯形矩阵不是行阶梯形矩阵总结上述的矩阵变换过程，有以下三种变换：总结上述的矩阵变换过程，有以下三种变换：利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法原方原方程组程组增广增广矩阵矩阵对应方对应方程组程组行阶梯行阶梯矩阵矩阵回代回代求解求解任何线性方程组都可通过方程初等变换化为阶梯方程组任何线性方程组都可通过方程初等变换化为阶梯方程组任何矩阵都可以通过矩阵初等变换化为阶梯形矩阵任何矩阵都可以通过矩阵初等变换化为阶梯形矩阵 所以：所以： 线性方程组可以通过其对应的增广矩阵来解线性方程组可以通过其对应的增广

16、矩阵来解 例例2 解线性方程组解线性方程组 214241335423333222111 xxxxxxxxx 解解 对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 依次施行下列初等行变换，使它依次施行下列初等行变换，使它 化为行阶梯形矩阵化为行阶梯形矩阵 B 24531413412321B 8510121020232112133rrrr 85106510232122r 20006510232123rr这个矩阵的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素这个矩阵的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素都为零，它对应一个矛盾方程都为零，它对应一个矛盾方程 2000321 xxx原方程组无解原方程组无解811332

17、23444333222111 xxxxxxxxxxxxB 8112111113133211B 52130381052013321112133rrrr例例3 解方程组解方程组 解解 对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 依次施行下列初等行变换，使依次施行下列初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵它化为行阶梯形矩阵 5213033841013321132rr 104261300338410133211233rr 82100338410133211133r3381328342444333221 xxxxxxxxx,2843xx 4x12 x12 x4328xx 412xx 已是行阶梯形矩阵已是行阶梯形矩阵

18、从最后一个方程可得从最后一个方程可得 其中其中可取任意实数可取任意实数代入第二个方程，得到代入第二个方程，得到 再把再把代入第一个方程，得到代入第一个方程，得到 82100338410133211最后一个矩阵最后一个矩阵它对应的方程组是它对应的方程组是4328xx 把把tx 4 tttxxxx28124321令令，得方程组的解为，得方程组的解为 方程组有方程组有无穷多个解无穷多个解472252232323232111 xxxxxxxxxxxB例例4 解线性方程组解线性方程组 解解 对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵依次施行以下初等行变换，使依次施行以下初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵它化为行

19、阶梯形矩阵 4112722151112110B 411272212110511121rr 631021102110511113142rrrr 42000000211051112324rrrr 000042002110511143rr 000021002110511123r225333212 xxxxxx它对应的方程组是它对应的方程组是 ,用回代方法得原方程组的解用回代方法得原方程组的解 203321xxx 方程组有唯一解方程组有唯一解 0000210021105111最后一个矩阵最后一个矩阵是行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵方程组解的三种情况方程组解的三种情况:无无 解解无穷多解无穷多解唯一解唯一解

20、 200065102321 82100338410133211 0000210021105111出现了矛盾方程出现了矛盾方程方程个数比未方程个数比未知数的个数少知数的个数少方程个数和未知方程个数和未知数的个数一样多数的个数一样多非零行个数比非零行个数比未知数个数少未知数个数少非零行个数和未非零行个数和未知数个数一样多知数个数一样多生活中应保持一份幽默感生活中应保持一份幽默感生活中应保持一份幽默感 一般线性方程组的解也有：一般线性方程组的解也有：无解，无穷多解，唯一解无解，无穷多解，唯一解三种不同情况三种不同情况 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211122221

21、2111212111 (2.5) 对它的增广矩阵施行若干次初等行变换，使它化为对它的增广矩阵施行若干次初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 (2.6) 00000000000000000000112212222111111211rrrnrrrrnrrnrrddcccdccccdccccc设线性方程组设线性方程组如何判断呢？如何判断呢？其中其中ricii, 2 , 1, 0 01 rd根据方程求解的方法可得根据方程求解的方法可得 00000000000000000000112212222111111211rrrnrrrrnrrnrrddcccdccccdccccc情形情形1 若若可得到矛

22、盾方程可得到矛盾方程方程无解方程无解方程有唯一解方程有唯一解若若01 rd情形情形2非零行个数等于未知数个数非零行个数等于未知数个数且且nr 01 rd情形情形3 若若非零行个数小于未知数个数非零行个数小于未知数个数方程有无穷解方程有无穷解且且nr 无穷解的情形，我们作一讨论无穷解的情形，我们作一讨论nrnnnnnrrrrrrrrrrrrrrrxcxcxcxcdxcxcdxcxcdxcxcxcxc 21111122211111222212111 00000000000000000000112212222111111211rrrnrrrrnrrnrrddcccdccccdccccc阶梯矩阵阶梯矩

23、阵01 rd若若且且nr 对应的方程组为对应的方程组为未知量未知量 nrrxxx,21 任取一组值，例如任取一组值，例如nnrrrrkxkxkx ,2211可得未知量可得未知量 ,21xxrx,确定的一确定的一 组值组值 rkkk,21于是于是 nrrnrrkkkkxxxx1111 为方程组的一个解为方程组的一个解nrrxxx,21 由未知量由未知量 取值的任意性，线性方程组取值的任意性，线性方程组nrrxxx,21 未知量未知量可以自由可以自由取值，取值，所以称为所以称为自由未知量自由未知量的取值的取值有无穷多个解有无穷多个解,21xxrx,nrrxxx,21 的值依赖于的值依赖于未知量未知

24、量 rn 自由未知量的个数为自由未知量的个数为 未知量的个数未知量的个数非零行的个数非零行的个数 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa 00021nxxx 总是它的解（称为方程组的总是它的解（称为方程组的零解零解）由于由于 故齐次线性方程组总是相容的故齐次线性方程组总是相容的 根据前面的讨论，对于齐次线性方程组解的情况可得如下定理根据前面的讨论，对于齐次线性方程组解的情况可得如下定理 对齐次方程组对齐次方程组定理定理 对齐次线性方程组的系数矩阵施行有限次初等行变换，对齐次线性方程组的系数矩阵施行有限次初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵那

25、么使它化为行阶梯形矩阵那么只有零解只有零解 非零行的行数等于方程组未知量的个数；非零行的行数等于方程组未知量的个数；(2) 有非零解有非零解 非零行的行数小于未知量的个数非零行的行数小于未知量的个数 0340222022432143214321 xxxxxxxxxxxx求求解解齐齐次次线线性性方方程程组组例例 341122121221 00004630122123rr等等变变换换对对系系数数矩矩阵阵施施行行初初解解： 46304630122113122rrrr 0000342101221231r 00003421035201212 rr从而原方程与下列方程组同解从而原方程与下列方程组同解 0

26、3420352432431xxxxxxRkkkxkxkkxkkx 212413212211, 342352为阶梯形矩阵为阶梯形矩阵解得解得方程最后求解回代的过程可以通过如下的方法来实现：方程最后求解回代的过程可以通过如下的方法来实现：看前面的例题看前面的例题对最后的行阶梯矩阵继续进行矩阵的初等变换对最后的行阶梯矩阵继续进行矩阵的初等变换 0000210021105111 000021000010300121rr 203321xxx 00002100001030113231rrrr于是，由最后于是，由最后一个矩阵直接一个矩阵直接写出原方程组写出原方程组的解的解 行最简矩阵行最简矩阵（1）非零行（

27、元素不全为零的行）的第一非零元素都是）非零行（元素不全为零的行）的第一非零元素都是1；（2）非零行的第一个非零元素所在列的其余元素全为零）非零行的第一个非零元素所在列的其余元素全为零一般地，一个一般地，一个行最简形矩阵行最简形矩阵是满足下列两个条件的行阶梯形是满足下列两个条件的行阶梯形矩阵：矩阵：这个方法称为线性方程组的高斯一若当这个方法称为线性方程组的高斯一若当（Gauss -Jordan）消元法消元法，它是一种改进了的高斯消元法，它是一种改进了的高斯消元法任意矩阵任意矩阵行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵从左至右，从上至下从左至右，从上至下从右至左，从下至上从右至左，从下至上行最简形矩阵行最简形矩阵

28、解线性方程组的最终一般步骤解线性方程组的最终一般步骤原方原方程组程组增广增广矩阵矩阵判断解判断解的情况的情况行阶梯行阶梯矩阵矩阵化最化最简形简形停止停止有解有解无解无解例例5 解线性方程组解线性方程组 21333322221111112122232224422 xxxxxxxxxxxx 211341224220210221220B 126812242202122010222152rrr 3220322032201220102214131524rrrrrr 24002400240012201022242325rrrrrr1000000002400122010223435Brrrr 解解 对增广矩

29、阵对增广矩阵B施行初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵施行初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵 000000002400122010221B 000000001001220102221)4(3r 000000001002020102221232rr 00000000100101010222122r 000000001001010001212121r 000000001001010100221221rr 最后一个矩阵为行最简形矩阵，由此可以直接写出原最后一个矩阵为行最简形矩阵，由此可以直接写出原 方程组的唯一的解方程组的唯一的解 最后一个矩阵最后一个矩阵 为行阶梯形矩阵，无矛盾方程，且非零行为行阶梯形矩阵，无矛盾方程，且非零行的个数和未知数的个数一样多，故原方程组有唯一的解的个数和未知数的个数一样多，故原方程组有唯一的解继续对继续对 施行下列初等行变换，使它化为行最简形矩阵施行下列初等行变换，使它化为行最简形矩阵 1B1BTTxxx),