西农数学建模复习题及答案.

1、2、如果连续复利时，以什么利率才能使本金在8年内变成3倍？ 1、在每半年复利一次的情况下，以8%的利率，需要经过多长时间才能使现值增到2.5倍？3、连续收益流量每年按80万元持续5年，若以年利率5%贴现，其现值应是多少？T=11.68年r=13.73%55%00S80353.92tedt8003SSre002.5SS+2T0.08（1）24、某汽车使用寿命为10年，若购买此车需35000元，若租用此车每年租金为7200元，若资金的年利率为14%，按连续复利计算，问买车与租车哪一种方式合算。 计算租车资金流量总值的现值，然后与购买费相比。租车租金流量总值的现值为 所以买车比租车合算。 10101

2、4141172003875635000iiiiiS ee5 、 一商家销售某种商品的价格满足关系xp2 . 07 (万元/吨)， x 为销售量(单位：吨)；商品的成本函数是 C=3x+1(万元)。 (1) 若每销售一吨商品，政府要征税t(万元)，求该商家获最大利润时商品的销售量； (2) t 为何值时，政府税收总额最大。 6、已知某企业生产的商品的需求弹性为1.2，如果该企业准备明年将价格降低15%，问这种商品的销量预期会增长多少？总收益会增长多少？25(2) 10 02 2TtxttTt R18%, 3%RQQ令2(70.2 )31(4)0.21PxCTx xxtxt xx 5( )0,(

3、)0102L xL xxt（1）利润L(x)= 7、某消费者打算购买两种商品q1和q2，他的预算约束是240元，两种商品的单价分别是10元和2元,其效用函数为U=q1q2,消费者的最优商品组合是什么？一元钱的边际效用是多少？8、效用函数U(q1,q2) 应满足的条件是以下的A,B之一：A. U(q1,q2) =c 所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸；0, 0, 0, 0, 0.B21222221221qqUqUqUqUqUAB 证明：对U(q,q2) =c两端求q1的一阶导和二阶导 12102240qq1212MUMUPP1212,60qq解 建立方程组得解出一元钱边际效用为610、

4、在确定性存贮模型中，在费用中增加购买货物本身的费用，确定不允许缺货的最优订货周期和订货批量。 9、已知消费者的效用函数为212() , ,0Ua qb qa b211 11 122222212a = ba qp qp qpp qp qpb q或分析消费者的均衡。不允许缺货不改变，允许缺货改变。11、建立不允许缺货的生产销售存储模型：设企业边生产边出售，生产速度k大于销售速度r（均为常数）。时刻t0以后只销售不生产。设每次生产开工费为c1，单位时间每件产品的存储费为c2，求最佳生产周期T。00000) 0tt () t ()() kr tr TttTrTkr tr Tttk （q(t)因为所以2

5、22111()( )()22cc r KrC TcTKr tcTK12()( )2cc r KrC TTTK( )0dC TdT*122()c KTc r Kr解、存量为令得最小的最佳周期为 oTtq0t单位时间总费用每周期的总费用为13、某仪器厂一年需要另一企业生产的某种配件50000件，平时对这种配件的使用数量是稳定的。该配件每次订货费为2000元单价为每件10元，而当一次订货量达到10000件时，单价可以优惠至每件9.6元，配件的库存费为8元/件年，试求电器厂每次订该配件多少才最经济？12、商场皮鞋柜销售某品牌女鞋，从厂方每次进货需付订货费400元，每双鞋的进价(包括运费)为94元，每双

6、鞋在商场期间的各种花费总数（统称之贮存费）为每月18元,假定这种女鞋在商场的销售速度均匀144(双/月).试问：为了降低成本，皮鞋柜承包商应间隔多少时间向厂方进一次货？每次又应进多少双鞋？T=5/9月 Q=80双10000件1.假设人口增长率与 成正比；试建立人口模型并给予评价，这里 为最大人口数，a为常数。amxx)(1mx模型为01() (0)amdxxkxdtxxx令1()amxyx则11()ammdyxdxadtxxdt 得0(1)(0)dyakyydtyy 1()amxyx001()amxyx解得001(1)katkaty eyye2.考察一个渔场，其中鱼量在天然环境下按Logist

7、ic规律增长，给出鱼量的模型。00001()11(1)1(1)katakatkatmy eyxxyeye , t mxx01(0)mdNNrNdtNNN所以当模型为0( )1 (1)mmrtmNN tNNeN3.传染病模型21世纪初，传染病经常在世界各地流行，应该建立适当的数学模型预测传染病高潮的到来。下面是对一个传染病问题的简化假设，建立这种传染病问题的数学模型并对求解结果进行简单分析。（1）设某国家总人数是N, t 时刻健康人数为S(t), 病人人数为 I(t), I(0) = ，N=S(t)+I(t) 0I（2）t 时刻单位时间内一个病人能传染的人数与 健康人数成正比，比例系数为K(称为

8、传染系数）。0(0)dIk NI IdtII模型为000( )KNtKNtNI eI tNII e4. 某汽车厂生产三种类型的汽车，已知今年的销售量与价格如下： 型号 1型 2型 3型销售量（万辆） 5 8 10价格（万元） 20 15 12 若估计价格弹性矩阵为试计划明年的产量与价格，使销售收入最大。5 . 1 0.5 0.30.6 2 0.40.2 0.3 3E123,x xx123,P P P123,q q q(1) 1,2,3iiiPPxi311(1) 1,2,3jjiiiqqxj3312311223311( ,)(1)(1)iiiijjijR x x xP qP qP qPqxx0(

9、1,2,3)iRix解：设1.2.3车型价格增长分别，设今年价格分别为产量分别为则明年的价格为 明年的产量为收入令12315.9413.8712.3ppp 1237.929.778.57qqq 5 5 设有一个经济系统包括三个部门，在某一设有一个经济系统包括三个部门，在某一生产周期内，各部门间的直接消耗系数和最终生产周期内，各部门间的直接消耗系数和最终产品为产品为 求完全消耗系数矩阵和总产量。求完全消耗系数矩阵和总产量。 若在以后的两个周期内若在以后的两个周期内,第一部门最终产品的增长速度是每周期增长第一部门最终产品的增长速度是每周期增长10，第二，第二部门每周期增长部门每周期增长5，第三部门

10、每周期增长，第三部门每周期增长1；那么各；那么各部门的总产值将平均每周增长多少？部门的总产值将平均每周增长多少？0.250.10.1245A=0.20.20.1 ,Y=900.10.10.2175完全消耗系数矩阵1369 180 1801()340 289 190891200 170 269BEAE1400()259300XEAY1122()()(1)(1)XEAYEAYX0.10.050.01总产量向量其中第二周期末总产值向量为再求各部门的总产值平均每周增长多少6、某一经济系统在一个生产周期内各部门产品的生产与分配情况如表中 间 产 品最终产品总产品 生产资料转移价值生产部门1 5 810

11、20 26 1 7Y1Y2Y3256030折旧D1 D2 D3新创造价值劳动报酬纯收入5 15 102 10 2总 投 入25 60 30试求：(1)各部门的最终产品；(2)各部门新创造价值(3)各部门的固定资产折旧。 （4）直接消耗系数111112132221222333313233()()()YXxxxYXxxxYXxxx12311,28,16YYY1237,25,12ZZZ111121311222122322333123332()()()DXxxxZDXxxxZDXxxxZ1231,9,1DDD(1)由分配平衡方程组可得将具体数值代入得(3)由消耗平衡方程得 （2）由消耗平衡方程得解得（

12、4）直接消耗阵为 114 251215211A 5315671 2560301、某工厂生产某种机器，决策者可选择生产某工厂生产某种机器，决策者可选择生产1010台、台、2020台或台或3030台。实际需求可能是台。实际需求可能是1010台、台、2020台或台或3030台。假定卖出一台利台。假定卖出一台利润为润为1010万元，滞销一台损失万元，滞销一台损失2 2万元，试用悲观准则和乐观准万元，试用悲观准则和乐观准则确定工厂的生产量。若假定需求是则确定工厂的生产量。若假定需求是1010台、台、2020台或台或3030台的概台的概率分别为率分别为0.50.5、0.30.3、0.20.2，再确定工厂的

13、生产量。，再确定工厂的生产量。损益阵为损益阵为 收益值收益值 ( (元）元）需求需求1010台台需求需求2020台台需求需求3030台台选择选择1010台台100100100100100100选择选择2020台台8080200200200200选择选择3030台台6060180180300300乐观准则 30台悲观准则 10台期望准则 30台2 2、报童出售一份报纸获利、报童出售一份报纸获利0.30.3元，卖不出去损失元，卖不出去损失0.10.1元，假元，假设每天需求量为设每天需求量为1 1，2 2，100100的概率都是的概率都是0.010.01，求报童，求报童每天应定多少报纸可使他平均获利

14、最大。每天应定多少报纸可使他平均获利最大。134niiabpac0.3 0.4 abac30.01 754nn即即3、某一季节性商品必须在销售之前就把产品生产出来。当市场需求量是D时，生产者生产x件商品获得的利润（万元）是D x3Dx0 2)(xDxxf设D只有四个可能值：1000件，2000件，3000件，4000件，并且取这些值的概率都相等。生产者也希望商品的生产量是上述四个值中的某一个。生产者如何决策，才能使利润最大？ 损益表为 用期望值决策法：生产1000时，期望利润为2000元，生产2000时，期望利润为3250元，生产3000时，期望利润为3750元，生产4000时，期望利润为35

15、00元，所以生产3000单位，利润最大。800050002000-100040006000600030000300040004000400010002000200020002000200010004000300020001000 需求方案 4 4、世界市场对我国某种商品的需求量（吨）服从、世界市场对我国某种商品的需求量（吨）服从2000200040004000上的均匀上的均匀分布，设该商品每出售一吨获利分布，设该商品每出售一吨获利3 3万美元，但若售不出压在仓库，则每万美元，但若售不出压在仓库，则每吨需支付保养费吨需支付保养费1 1万美元，如何计划年出口量，以获得最大的期望利润。万美元，如何计

16、划年出口量，以获得最大的期望利润。令设年出口量为设年出口量为Q,利润函数为利润函数为3() 20003 Q4000 rQrrQLQr400020003()()3()QQELrQrfrdrQfrdr0 Q=3500, maxEL=8250dELdQ5 5、在单周期库存模型中，假定市场需求分别服从均匀分布和泊松分、在单周期库存模型中，假定市场需求分别服从均匀分布和泊松分布，分别求最佳订购量。布，分别求最佳订购量。21211 ( )0 xrxxxf r其它2101Qabdrxxac21()abQxxac0Qiiabpac所以均匀分布均匀分布泊松分布泊松分布所以0!kQkeabkac或!kk Qebc

17、kac6、一商店拟出售某种商品，已知每单位商品成本为一商店拟出售某种商品，已知每单位商品成本为5050元，售价为元，售价为7070元，如果元，如果售不出去，每单位商品损失售不出去，每单位商品损失1010元，已知该商品销售量服从参数为元，已知该商品销售量服从参数为5 5的泊松分的泊松分布，问该商店订购量为多少单位时，才能使平均获利最大？布，问该商店订购量为多少单位时，才能使平均获利最大？55101!303kk Qebckac6Q 查表得查表得线性规划作业0,03221212121xxxxxx一、用图解法求解2123maxxxz120, 01522532x 53max21212121xxxxxxx

18、z无可行解125 5 maxz=40 xx二、 某工厂生产A、B、C三种产品，每吨利润分别为2000元、3000元、3000元，生产单位产品所需要的工时及原材料如下表 资源 A B C 工 时 1 1 1 材 料 1 4 7 若供应的原材料每天不超过9吨，所能利用的劳动力日总工时为3单位，问如何制定生产计划，使三种产品利润最大。建立线性规划模型并求解。 解：设生产解：设生产A、B、C三种产品分别为三种产品分别为x1、x2、x3，则，则123123123123max20003000+3000 x+9 4730 ,0,0zxxxxxxxxxxx求解得X1=3、x2=0、x3=0 maxz=6000

19、三、工厂生产工厂生产A A、B B两种产品，每吨利润分别为两种产品，每吨利润分别为3 3千元和千元和4 4千元，千元，生产单位产品所需要的工时、原材料和电力如下生产单位产品所需要的工时、原材料和电力如下 单位产品所需资源单位产品所需资源 产品产品 资源资源 A B A B 工工 时（小时）时（小时） 1 2 1 2 材材 料（吨）料（吨） 3 23 2 电电 力（百度）力（百度） 0 1 0 1 若供应的原材料每天不超过若供应的原材料每天不超过6 6吨，所能利用的劳动力日总工吨，所能利用的劳动力日总工时为时为1212小时。供应的电力每天不超过小时。供应的电力每天不超过2 2百度。问：百度。问：

20、（1 1）如何制定生产计划，使两种产品利润最大。建立线性）如何制定生产计划，使两种产品利润最大。建立线性规划模型并求解。规划模型并求解。（2 2）求各资源的影子价格并解释经济意义。）求各资源的影子价格并解释经济意义。（3 3）工厂又开发了一种新产品，对三种资源的单位需求分）工厂又开发了一种新产品，对三种资源的单位需求分别是别是3 3，1 1，1 1，单位利润为，单位利润为2 2千元，是否应该生产？千元，是否应该生产？设生产设生产A、B两种产品分别为两种产品分别为x1和和x2，则，则121212212max34x21226 20 ,0zxxxxxxxx解 （1）（2）最优解为x1=2, x2=2

21、/3各资源的影子价格分别为各资源的影子价格分别为y1=0, y2=1 , y3=2工时影子价格为零，说明工时是剩余资源；材料影子价格为1，说明再增加一单位材料，会使最优利润增加1千元，电力影子价格为2，说明再增加一单位电力，会使最优利润增加2千元。（3）不应生产四、某公司下属的3个分厂A1、A2、A3生产质量相同的工艺品，要运输到B1、B2、B3这三个销售点，分厂产量、销售点销量、单位物品的运费数据如下： B1B2B3产量A130112317A215192224A327241019销量231621 试建立这个运输问题的数学模型并求解。并证明对一般运输问题的运价表的行或列同加（或减）一个常数，最

22、优方案不会变。解 设xij为从第i个发点到第j个收点的运量i=1,2,3, j=1,2，3331111min1,2,31,2,301,2,3,1,2,3ijijijnijijmijjiijZc xxaixbjxij最优解 x12=16 x13=1 x21=23 x23=1 x33=19 其余变量为零，最优目标值为756证明思路：将变化后的运价表所对应的最优解带入目标函数后经整理和原问题最优解所对应的目标值相差常数五、有五个工人，要指派他们完成五项任务，每人做各项工作消耗的成本矩阵如下：18 18 21 24 2019 23 22 18 2126 17 16 19 2718 21 23 17 2517 25 20 26 19建立这个问题的数学模型1 ,1,2,30ijijxi jij第 人去做第 件任务第 人不做第 件任务33113131min1.10,1( ,1,2,3)ijijijijiijjijZt xxstxxi j解 设模型为六、背包问题：一个旅行者