§62线性空间的定义与简单性质PPT课件

1、12121122(,)(,)(,)nnnna aab bbab abab 1212(,)(,)nnk a aakakkakaP 而且这两种运算满足一些重要的规律而且这两种运算满足一些重要的规律, ,如如 空间空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法：，定义了两个向量的加法和数量乘法： 在第三章在第三章2中，我们讨论了数域中，我们讨论了数域P上的上的n维向量维向量0()()()0 1 ()()k lkl ()klkl()kkk,nPk lP 同样满足上述这些重要的规律，即同样满足上述这些重要的规律，即 ( ), ( ), ( ) ,f xg x h xP xk lP ( )( )( )( )f

2、xg xg xf x 数域数域P上的一元多顶式环上的一元多顶式环Px中，定义了两个多中，定义了两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算项式的加法和数与多项式的乘法，而且这两种运算( ( )( )( )( )( ( )( )f xg xh xf xg xh x( ) ( )() ( )k l f xkl f x 1 ( )( )f xf x ( )( )0f xf x ( )0( )f xf x() ( )( )( )kl f xkf xlf x( ( )( )( )( )k f xg xkf xkg x设设V是一个非空集合，是一个非空集合，P是一个数域，在集合是一个数域，在集合V中中

3、定义了一种代数运算，叫做定义了一种代数运算，叫做加法加法：即：即对，对， ,V 在在V中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为 的的和和，记为，记为 ；在；在P与与V的元素之间还的元素之间还与定义了一种运算，叫做定义了一种运算，叫做数量乘法数量乘法：即：即,VkP 在在V中都存在唯一的一个元素中都存在唯一的一个元素与它们对应，称与它们对应，称为为 的的数量乘积数量乘积，记为，记为 如果加法和数量乘如果加法和数量乘k与.k法还满足下述规则，则称法还满足下述规则，则称V为数域为数域P上的上的线性空间线性空间：加法满足下列四条规则：加法满足下列四条规则： 1 ()

4、()k lkl 数量乘法与加法满足下列两条规则：数量乘法与加法满足下列两条规则： ()klkl （具有这个性质的元素（具有这个性质的元素0称为称为V的的零元素零元素） 数量乘法满足下列两条规则数量乘法满足下列两条规则 : ()() ()kkk,V 对对 都有都有V中的一个元素中的一个元素，使得，使得 ,V ; ;（称为称为 的的负元素负元素） 0 在在V中有一个元素中有一个元素0，对，对,0V有有3 线性空间的判定：线性空间的判定：1 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也2线性空间的元素也称为线性空间的元素也称为向量向量，线性空间也称，线性空间也称向量空间向

5、量空间但这里的向量不一定是有序数组但这里的向量不一定是有序数组称为称为线性运算线性运算就不能构成线性空间就不能构成线性空间 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合若非空集若非空集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或或1110110 ( ),nnnnP xf xaxa xaaa aP 例例1Pn, Px 均为数域均为数域 P上的线性空间上的线性空间例例2数域数域 P上的次数小于上的次数小于 n 的多项式的全体，再添的多项式的全体，再添的加法和数量乘法，构成数域的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间，上的一

6、个线性空间，法构成数域法构成数域 P上的一个线性空间，常用上的一个线性空间，常用 Pxn表示表示上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘例例3数域数域 P上上 矩阵的全体作成的集合矩阵的全体作成的集合, ,按矩阵按矩阵mn 用用 表示表示m nP 例例5全体正实数全体正实数R，logbaabkk aaabab kk aa判断判断 R是否构成实数域是否构成实数域 R上的线性空间上的线性空间 .1) 1) 加法与数量乘法定义为：加法与数量乘法定义为： ,a bRkR 2) 2) 加法与数量乘法定义为：加法与数量乘法定义为： ,a bRkR 例例4任一数域任一数域 P 按照本身的加法与乘法构成一个按照本身的加法与乘法构成一个数域数域P上的线性空间上的线性空间1、零元素是唯一的零元素是唯一的. 2、 ，的负元素是唯一的，的负元素是唯一的，记，记