一道好题,若干解法,变式训练,升华提升

1、一道好题，若干解法，变式训练，升华提升说明：常州于新华（于特）供题，群里众大师巧解，本人整理与变通（扬州段广猛）于2016年10月3日下16:00 !（第二十五届“五羊杯”卷第 19题）如图， ABC中，/ C=90°, /ABD=45, BD=13 , CD=5,则AD的长度为.（注：已知数据已同比例放缩至最简整数比）法五（构造等腰直角三角形 +三垂直全等2+面积法或相似或三角）ABD =45 B简析：AEF0BAC,再由 EFDsBCD 得:x58544r,解得：x=一 ,故x 17127AD=85 127169法六（构造等腰直角三角形 +勾股定理+母子型相似）85 _ 1691

2、277简析：在RtA ABC中由勾股定理得，再由 ABDA AEB得，所以有解得：x=,故AD=.法七（构造双等腰直角三角形 +一线三等角1）:简析：由一线三等角得 AFBsBED得，即，即，解得：x=,故AD=169.7法八（构造双等腰直角三角形 +一线三等角2）:1697简析：由一线三等角得 AFBsBED得，即，即，解得：x=,故AD=.法九（构造辅助圆+勾股定理，“图中无圆，心中有圆”）：简析：构造 ADB的外接圆。O,则/ AOD = 2/ABD = 90°,过点B作BFLOE于F,在RtAOBF中，由勾股定理得得|可解得：x=,故AD=2x=.法十（翻折+造正方形出股）：

3、简析：将 CDB沿BD翻折至 EDB位置，再将 CAB沿AB翻折至 FAB位置，则 易证四边形BEGF为正方形，在RtAAGD中，由勾股定理得得，解得： x=,故AD=.O1312) tan tan1 tan tan知：tanABC tan(451刍DBC) 一121 -5121217 -204一,所以AC ，即77204AD=1695 一7法十一（构造坐标系+K字形全等）（本人方法）：简析：构造如图所示坐标系及辅助线，则直线AB解析式为：，则点A坐标为A（ _204,72041690),故 AD=( 5)()（因果法+三角函数法）：ABD = 45D 5 C简析：借助因果关系知/ CBDe定

4、，且/ABC=45°+/CBDfe是确定的，故可解！借助正切和三角公式 tan（最后一种解法是站在高视角下的因果关系分析法，无需做任何辅助线，但缺憾明显，用到了高中三角函数公式， 再初中属超纲范畴。 回归此法，过程中用到了正切和三角公式，反 思此过程，笔者联想到正切差三角公式，因而演变出下面一题：（变式训练） 如图， ABC 中，/ BCD=0°, / ABD=45, BD=13 , CD=5 ,贝U AD 的长 度为.（注：此题相当于原题中的 45度角关于BD对称所得）tan tan "门知：1 tan tan此题是否可以如原题那样， 各种解法均适用呢？读者可以尝试完成！笔者先来最后一法（高视角下的因果关系分析 +三角函数法）：借助因果关系知/ CBD确定，且/ ABC=45° /CBD也是确定的，故可解！借助正切差三角公式tan（tan A