一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)

1、页脚一元二次不等式及其解法考点梳理I多思劫等务实基31 . 一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>6(aW0)的形式.当a>0时，解集为;当a<0时，解集为.2 .一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的*的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等 式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的一，3 3) 一元二次不等式的解：函数与不等式 >0A =0A VO二次函数y=(a>0)的图象1 工 J _ jrk一元二次方程 ax +6x

2、+c=0 (a>0)的根有两相异实根M, X2(Xi<X2)有两相等实根 b x、=xk-5a无实根aM+Z?x+c>0(a>0)的解集Rax' + bx+cVO (a>0)的解集x %1<%<-¥!>03分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0,左边化为匚工的形式. g(X)(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：f ( x)=fxg(x) >0；f (x)g(X)<0f (x)g(X)>0 <=>f (x) g (x) 20, g (x) WO；(x)廿

3、6; =f (x) g (x) WO, 8(X)WO.基研1自测.小易仝活牛力小试(2014 课标【)已知集合 /f=U|z-2x-30t B= x-2x<2,则 AB= ()A. 2» 1B. 1, 2)C. -1, 1D. 1, 2)解："=* 23或*一19 4彳|一2<才<2),"0依才|一21-1) = -2, -1.故选A.设 f(x)=*2+"+l 且 f( l)=f(3),则 f(x)>0 的解集为()A. xlxERB,x|xWL xGR)C. x xlD. x|xWl解：-1) = 1一+1=2 ，F(3) =

4、9 + 36+1 = 10+34由 f(T)=1,得 2 6=10+36,解出6=-2,代入原函数，F(x)>0即*22犬+1>0, x的取值围是xWl.故选B.已知一&2,则才的取值围是()2 x 二 1 1A. -2<K0 或 0<K- B. -<x<2C.底一£或 x>2D. K2 或 x*解：当x>0时，%>|；当水0时，K-2.所以x的取值围是水一2或xJ,故选D.乙c1 2x不等式一者>0的解集是. 4 I 11 9 v解：不等式一>0等价于（l2x）（x+l）>0, x+1也就是（xm（x+

5、l）V0,所以一故填 1 <z<1, xW R <© （2014 武汉调研）若一元二次不等式2官十履一名V0对一切实数x都成立，则左的O取值围为.解：显然4W0.若4>0,则只须（2/+幻3<7,解得；若AV0,则只须晨<（2/8左8k+ x）.in,解得衣£ （3, 0）.故的取值国是（-3, 0）,故填（-3. 0）.典例解析|分类解析触类旁通类型一元一次不等式的解法例功已知关于*的不等式（a+8）x+2a34V0的解集为（一8,一；）,求关于*的不等式（a3力）x+623>0的解集.解：由（a+b）x<362a 的解集为

6、（一8,-得a+4>0,且3 力一2aa+6从而 a=2b,则 a+b=3b>09 即 Z?>0,将 a=2b 代入 Q36) x+62a>0,得一36>0, %< 3,故所求解集为(-8, 3).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为的形式.挖掘隐含条件a+b>0且包J=-5是解本题的关键.a-r b 3(变式0 解关于X的不等式：(加24)</2. 解：(1)当%-4=0即m=2或m=2时， 当卬=一2时，原不等式的解集为。，不符合 当加=2时，原不等式的解集为R,符合 (2)当 zzf-4>0 即 m<2 或 m>2 时，

7、才一二.(3)当病一4<0即一2<勿<2时，mZ类型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)下一7x+12>0； (2)一万一2才+320； (3)/-2%+1<0； (4)Z-2x+2>0.解：(1) xx<3 或-¥>4.(2) xi 3WxWl.。.(4)因为AV0,可得原不等式的解集为R.匕而Af-x+1, x0,匡三9 (2013 金华十校联考)已知函数f(x)=、 则不等式x+(x+lx-1, x，0,l)F(x+l)Wl的解集是()A. x| - 蛆-1B. x；xWl)C. 镜1D. X!一啦1解：由题意得不等式x+(

8、x+l)f(x+l)Wl等价于x+l<0,/+ (x+1) - (x+1) +1W1x+120,x+ (x+1) (%+1) 1W1,解不等式组得xV l;解不等式组得一IWxW4 L 故原不等式的解集是* xW/一1,故选C.类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于x的不等式/一以+cWO的解集是35WxWl,数A c的值.解：不等式大:一x+cWO的解集是等| -5WxWl), Axi = -5,即=1是/-法+。=0的两个实数根，由韦达定理知-5+1 = 6,5 X 1 = c,6=-4,1c=5.任本6 已知不等式af+Z?x+c>0的解集为x|2Vx<3.

9、求不等式cxd bx-¥a>0 的解集.解：:不等式df+x+c>0的解集为x 2VxV3,，aVO,且2和3是方程aM+6x+c=0的两根，由根与系数的关系得(b一=2+3, a£=2X3, a、aVO.b 5a,即< c=6a,W<0.代入不等式 6x+a>0,得 6ax+5ax+d>0(dV0).即 6f+5x+lV0,所求不等式的解集为卜I-：VxV-g例以类型四含有参数的一元二次不等式解关于才的不等式：mx (m+l)x+l VO.解：印=0时,不等式为一 (x-l)VO,得 1>0,不等式的解集为Wx>l;(2)当

10、加WO时，不等式为(x-lXO.当卬<0,不等式为(x0(x1) >0, > V-<1,，不等式的解集为或 mm当切>0,不等式为1) vo.(I )若<1即加>1时，不等式的解集为卜 mI m (【I)若L>1即0Vm<l时，不等式的解集为IVxV1 ； mm(i)若%即片1时'不等式的解集为。.点拨：当¥的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不 等式，即对懵0与m=0进行讨论，这是第一层次；第二层次：f的系数正负(不等号方向) 的不确定性，对 Z0与加>0进行讨论；第三层次：L与1大

11、小的不确定性，对勿<1、m>与卬=1进行讨论.I变式。解关于X的不等式af222xax（a£R）. 解：不等式整理为af+g2）x220, 当a=0时，解集为（-8, -1.2当aHO时，af+（a2）x2=0的两根为一1,二，所以当a>0时, a解集为（-8, -1U 士 4-Oo La /-2'当一2VaV0时，解集为：-1 ；当a=2时，解集为-1）；-2当aV2时，解集为一1,二.L &类型五分式不等式的解法A“ X- 1XT n 一4-2,八*+2、八解:-= 17L =亦2x+2(x+2)+1) 20,2-v+12HW0.得xx>

12、；或 x0 2. 乙不等式高3>°的解集是解:x-2x2f+3x+2>°= (x+2) (xJ-1)(*2) (x+2) (x+1) >0,数轴标根得x|-2VxV - l或*>2,故填 br/2x<-l 或 x>2L点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如 果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.用“数轴标根法”解不等式的步躲： （1）移项：使得右端为0（注意：一定要保证x的最高次嘉的项的系数为正数）.（2）求根：就 是求出不等式所对应的方程的所有根.（3）标根：在数轴上按从左到右（由小到

13、大）依次标出 各根（不需标出准确位置，只需标出相对位置即可）.（4）画穿根线：从数轴“最右根”的右上 方向左下方面线,穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根，''奇穿 偶不穿”来记忆.（5）写出不等式的解集：若不等号为“>”，则取数轴上方穿根线以的围； 若不等号为“V”，则取数轴下方穿根线以的围；若不等式中含有“=”号，写解集时要考 虑分母不能为零.若集合力=相- 1W2x+1W3, 5=lr1贝ijNC3=()X A. x| -lx<0B. x|0 WC. x10WxW2D. x|OWxlx (x2) WO, 解：易知力=x -IWxWI, 8集

14、合就是不等式组 的解集，求出6=mOVxW2,所以月 AQjOVxWl .故选 B.Y 1不等式亦W°的解集为()A.(一1C.一8,B.Iju U, +°°)D.x 1解：亦<°=129 1OO7 U1, +8) 乙(x-1) (2x4-1) W0, 2x+10得一；x WL故选A. 乙类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式H+ax+120对于一切x£(0,：成立，则a的最小值为(5A. 0 B. -2 C. " D. 3乙解：不等式可化为M1,由于十£ 02'f(x)=在(0上是减函数,JT

15、maxT a2一乙(2)已知对于任意的a£1, 1,函数F(x)=f+(a4)x+42a的值总大于0,则x的取值围是()A. l<x<3 B. x<l 或 A3C. <x<2 D. xVl 或 x>2解：记屋a) = (x2)a+x4x+4, m£一1, 1,k (1) >0,fz-3x+2>0,依题意,=> x< l 或 x>3,故选 B.只须<='。,g ( 1) >0 x5x+6>0点拨:对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数, 把关于X的二

16、次不等式转换为关于a的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调 性，求出X的取值围.叵0 对于满足的所有实数a,求使不等式f+ar+l>2x+d成立的x的取 值围.解：原不等式转化为(x1)2x+1 >0,设 F(a) = (x-Da+x2x+1 9 则 f(a)If (-2) >0, 在-2, 2上恒大于0,故有：，lr(2)>0J4x+3>0, 即解得)x>3 或 xVl, />1或工< 1./. x< 1 或 x>3.类型七二次方程根的讨论若方程2afx1=0在(0, 1)有且仅有一解，则a的取值国是(A. X-lB. a

17、>C. -Ka<lD.O<Xl解法一：令/Xx)=2afxi,则 f(0) f(l) V0,即一IX (23-2) <0,解得 a>L解法二：当a=0时，*=-1,不合题意，故排除C, D；当a=-2时，方程可化为4丁 + x+l=0,而A=l-16V0,无实根，故&=一2不适合，排除A.故选B.课时作业|在不补然拓藻足仲L不等式一WO的解集是() 入I 1A. ( 8, -l)u(-h 2B. -L 2C. (-8, -1)U2, +oo)D. (-h 2解：yW0=(x+1) (x2)WO,且 xH 1,即才£(1, 2,故选 D. x+11

18、2关于才的不等式(31)(十-2)>0,若此不等式的解集为x-<x<2，则勿的取值 m围是()A. z?7>0B. 0</z?<2C.D.欣0乙解：由不等式的解集形式知 Z0.故选D. f3. (2013 安徽)已知一元二次不等式Ax)<0的解集为X水-1或则A10r)>0的乙解集为()A. x K 1 或4>lg2B. x l<Klg2C. x x> lg2D. x K lg2)解：可设 &-1).一；1水0),由 /W)>0 可得(10'+1)(10'0,从而 101, 解得水一lg2,故选D.

19、4. (2013 陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m?的接能 形花园(阴影部分)，40 in1。 40 mm则其边长X(单位：血的取值围是()A. 15, 20C. 10, 30B. 12, 25D. 20, 30解：设矩形的另一边为"依题意得岌=有二即产40一乂所以 x(40x)2300,解得 10WxW30.故选 C.5 .若关于x的不等式2系一8x4a>0在(1, 4)有解，则实数a的取值国是()A. X12B. a>4C. z?>12 D. a<4解：关于才的不等式2x8x4-a>Q在(1,4)有解,即a<2x

20、8x4在(1.4)有解， 令 人X)=2/一8彳-4=2(才-2)212,当 x=2 时，f(x)取最小值 F(2) = 12；当 x=4 时， A4)=2(4-2)2-12=-4,所以在(1, 4)上，- 12Wf(x)一4.要使 aVF(x)有解，则 aV 4.故选D.6 .若不等式f 一取+-1>0对*£(1, 2)恒成立，则实数的取值围是.解：(1,2), .,.a-1>0.则 x-kx+k-l = (x-l) (jH-1-A)>0,等价于 x+1一4>0, 即恒成立，由于2<x+l<3,所以只要AW2即可.故填(一8, 21.Z (2014 江苏)已知函数f(x) =x'+rx1,若对于任意卬+l,都有/'(x) VO 成立，则实数m的取值围是.=2-1<0,解：由题可得/U)V0对于*£况 叶口恒成立，即、, 一、 °解得,/ (/»+1) =2m+3m<0,一半VmVO.故填(一坐，0).8 .若关于x的不等式fax&W -3的