《平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示》导学案

1、第5课时平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示1.会用坐标表示平面向量的加减与数乘运算.2.根据向量坐标运算解决平面几何中的共线、平行问题.3.会根据向量的坐标,判断向量是否共线.在平面直角坐标系中,已知A(1,0)、B(2,3)、C(-1,2),以A、B、C为平行四边形的三个顶点作平行四边形,动手画图,探究第四个顶点的坐标.问题1:设第四个顶点为D(x,y),(1)若AB、AC为平行四边形的邻边,则AB=CD,因为AB=(1,3),CD=(x+1,y-2),所以x+1=1,y-2=3,解得x=0,y=5,所以第四个顶点D的坐标为 .(2)若BA、BC为平行四边形的邻边,同上可求得D的坐标

2、为 . (3)若CA、CB为平行四边形的邻边,同上可求得D的坐标为 . 问题2:平面向量线性运算的坐标如何表示?(1)加法的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么a+b=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j= .这就是说两个向量之和的坐标等于这两个向量对应的坐标之和. (2)向量减法的坐标表示:a-b= . (3)向量数乘的坐标表示:a= . 问题3:向量坐标与其起点、终点坐标有什么关系?如图,已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=OB-OA=(x

3、2,y2)-(x1,y1)= . 这就是说:一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.问题4:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当 时,向量a,b(b0)共线. 通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示;反过来,任一有序数对就表示一个向量. 这就是说,一个平面向量就是一个有序实数对. 向量的坐标表示法将向量的加法、减法、数乘运算都统一起来,使得向量运算代数化,将数与形紧密结合起来,这样许多几何问题的解决,就可以转化为我们熟知的数量运算.1.向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等,已知A(1,2)和B(8,2),则x的值为()

4、.A.-1B.-1或4 C.4 D.1或-42.若a=(2,3),b=(4,m-1),且ab,则m等于().A.5 B.6 C.7 D.83.若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x的值为. 4.已知向量AB=(4,3),AD=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标;(2)若点P(2,y)满足PB=BD(R),求y与的值.平面向量的坐标运算平面上三个点分别为A(2,-5),B(3,4),C(-1,-3),若D为向量BC的中点,则向量DA的坐标为. 平面向量共线的坐标运算已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b

5、与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?平面向量共线的应用已知四边形ABCD的顶点依次为A(0,-x),B(x2,3),C(x,3),D(3x,x+4),若ABCD,求x的值.已知点A(-1,2),B(2,8)及AC=13AB,DA=-13BA,求点C,D和CD的坐标.已知向量OA=(m,12),OB=(4,5),OC=(-m,10),且A、B、C三点共线,求m的值.已知梯形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-1,1),B(m2,m-1),C(3,2),D(m2,m+2),试求m的值.1.若向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等,i是坐标系中与x轴正方向同向的单位向量.已知AB=2i,则

6、x的值为().A.-1B.-1或4C.4D.1或-42.已知点A(-1,5),向量a=(2,3),AB=3a,则点B的坐标为().A.(14,5)B.(5,14)C.(6,9)D.(9,6)3.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),试以e1,e2为基底,将a分解为1e1+2e2的形式为. 4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,求向量d.(2013年·重庆卷)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=a+b(,R),则=. 第5课时平

7、面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示知识体系梳理问题1: (1) (0,5).(2)(-2,-1). (3)(4,1). 问题2: (1)(x1+x2,y1+y2) (2) (x1-x2,y1-y2). (3)(x1,y1). 问题3:(x2-x1,y2-y1). 问题4:x1y2-x2y1=0基础学习交流1【解析】由a=AB,得(x+3,x2-3x-4)=(8-1,2-2)=(7,0),所以x+3=7,x2-3x-4=0, 解得x=4.【答案】C2.【解析】因为ab,所以2(m-1)-4×3=0,解得m=7,选C.【答案】C3.

8、【解析】由已知得BA=(x-1,-4),BC=(1,2),又A,B,C三点共线,所以BABC,所以(x-1)×2-1×(-4)=0,解得x=-1.【答案】-14.【解析】 (1)设B(m,n).A(-1,-2),AB=(m+1,n+2)=(4,3),m+1=4,n+2=3,m=3,n=1.即B(3,1).同理可得D(-4,-3).线段BD的中点M的坐标为(3-42,1-32),即M(-12,-1).(2)PB=(1,1-y),BD=(-7,-4),由PB=BD得(1,1-y)=(-7,-4),1=-7,1-y=-4,解得y=37,=-17.重点难点探究探究一:【方法指导】可

9、由中点坐标公式求出点D的坐标,然后利用A,D两点的坐标求出DA的坐标.【解析】因为D为向量BC的中点,由中点坐标公式x=x1+x22,y=y1+y22可以求得D(1,12),所以再由向量的坐标公式得DA=(2,-5)-(1,12)=(1,-112).【答案】(1,-112)【小结】向量DA的坐标等于点A的坐标减去点D的坐标,在解题时要特别注意这个法则.探究二:【方法指导】本题可有两种方法:可利用向量共线的坐标表示来求,也可用向量共线定理来解.【解析】(法一)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).(ka+b)(a-3b)

10、,(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-13.此时ka+b=(-13-3,-23+2)=(-103,43)=-13(10,-4)=-13(a-3b).k=-13,且此时ka+b与a-3b平行,并且反向.(法二)由法一知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数,使ka+b=(a-3b),由(k-3,2k+2)=(10,-4),k-3=10,2k+2=-4,解得k=-13,=-13,当k=-13时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-13(a-3b).=-13<0,它们的方向相反.k=-13,此时ka+b

11、与a-3b平行,并且反向.【小结】(1)利用向量坐标关系解决两个向量平行问题时要正确使用“x1y2-x2y1=0”这一结论.(2)方程思想是一种重要的数学思想和方法,在解决数学问题时,点共线问题常常转化为有公共点的向量共线问题来解决.探究三:【方法指导】因ABCD,因此ABCD且AB,CD不重合,据此可得到它们之间的坐标关系,从而得到x的值.【解析】ABCD,ABCD,又AB=(x2,x+3),CD=(2x,x+1),x2(x+1)-2x(x+3)=0,解得x=-2或x=0或x=3.问题上述解法正确吗?结论不正确,错误一:没有注意四边形ABCD顶点的顺序,需满足AB,CD反向才行;错误二:没有

12、注意向量的平行与线段平行的不同,ABCD时,AB与CD可能平行也可能重合.于是正确的解答为:AB=(x2,x+3),CD=(2x,x+1),因为在四边形ABCD中,ABCD,AB与CD平行且反向.于是x2(x+1)-2x(x+3)=0,x2·2x0且(x+3)(x+1)0,解得x=-2.经检验,x=-2满足题意.【小结】两个向量平行包括它们对应的有向线段可以不共线,也可以共线,但在含有几何背景的向量平行中就要排除共线的情况,如本题中要保证ABCD是四边形就要注意向量AB,CD不能在一条直线上且反向平行.思维拓展应用：应用一：【解析】设C(x1,y1),D(x2,y2),由题意可得AC

13、=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).AC=13AB,DA=-13BA,(x1+1,y1-2)=13(3,6)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=-13(-3,-6)=(1,2), 则有 x1+1=1,y1-2=2 和-1-x2=1,2-y2=2, 解得x1=0,y1=4 和x2=-2,y2=0. C,D的坐标分别为(0,4),(-2,0),因此CD=(-2,-4).应用二：【解析】由A、B、C三点共线,得BA与BC共线,即BABC.又BA=OA-OB=(m-4,7),BC=OC-OB=(-m-4,5),由BABC可得(m-4)&

14、#215;5-7×(-m-4)=0.即12m+8=0,m=-23.应用三：【解析】AB=(m2+1,m-2),BC=(3-m2,3-m),DC=(3-m2,-m),AD=(m2+1,m+1).(1)若梯形ABCD的上、下底边为AB、CD,则AB、DC同向且ABCD,由ABCD得-m(m2+1)=(m-2)(3-m2),解得m=1或-3.当m=1时,AB=(2,-1),DC=(2,-1),AB=DC,不符合.当m=-3时,AB=(10,-5),DC=(-6,3),AB=-53DC,所以AB、DC反向,不符合.(2)若梯形ABCD的上、下底边为BC、AD,则BC、AD同向且BCAD,由B

15、CAD得(3-m2)(m+1)=(m2+1)(3-m),解得m=0或1.当m=1时,由(1)知不符合.当m=0时,BC=(3,3),AD=(1,1),BC=3AD,符合.综上m=0.基础智能检测1.【解析】AB=a,则由向量相等的概念知x+3=2,x2-3x-4=0,解之得x=-1.【答案】A2.【解析】a=(2,3),而AB=3a,AB=3(2,3)=(6,9).设B(x,y),则AB=(x+1,y-5)=(6,9),则x=5,y=14,B(5,14).【答案】B3.【解析】设a=1e1+2e2(1,2R),则(-1,2)=1(1,2)+2(-2,3)=(1-22,21+32),-1=1-22,2=21+32,解得1=17,2=47,a=17e1+47e2.【答案】a=17e1+4