高等代数考研复习[线性方程组]

1、高等代数考研复习高等代数考研复习 201 2014 4年年 8 8月月 第三章第三章 线性方程组线性方程组线性方程组是高等代数学的最基本内容之一，它线性方程组是高等代数学的最基本内容之一，它在数学各分支及其他许多领域被广泛应用。本章在数学各分支及其他许多领域被广泛应用。本章主要分三个部分复习，分别是主要分三个部分复习，分别是 : : (1)(1)向量组的相关性向量组的相关性 (2) (2) 线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理 (3)(3)线性方程组解的结构线性方程组解的结构1. 向量组的相关性向量组的相关性(1)(1)向量组的线性表示向量组的线性表示 a) a)定义：设定义：设 是数

2、域是数域P P上的上的n n维向量，维向量，如果存在数域如果存在数域P P中的数中的数 使得使得 则称则称 是向量组是向量组 的线性组合，或称的线性组合，或称 可由可由向量组向量组 线性表示线性表示. .特别，任意一个特别，任意一个n n维向量维向量一定可由一定可由n n维单位向量组维单位向量组 线性表示线性表示. . b) b)判别方法：判别判别方法：判别 能否由向量组能否由向量组 表表出，出， 12,s 12,sk kk1122sskkk12,s 12,s 12,n 12,s 也就是考查向量方程组也就是考查向量方程组 是否有是否有解，等价于矩阵方程解，等价于矩阵方程 即即 是是否有解？这三

3、种方程的否有解？这三种方程的转化转化是代数中经常的方式！是代数中经常的方式！ c)c)向量组的等价：两向量组可以互相线性表示，称为向量组的等价：两向量组可以互相线性表示，称为等价等价. .等价具有反身性、对称性、传递性。等价具有反身性、对称性、传递性。(2)(2)向量组的相关与无关性向量组的相关与无关性 a) a) 相关与无关的定义：如果存在数域相关与无关的定义：如果存在数域P P中的不全为零中的不全为零的数的数 使得使得则称向量组则称向量组 在数域在数域P P上线性相关；否则称无上线性相关；否则称无关。 1122ssxxx12(,)sX n sAX12,(1)sk kk s 11220ssk

4、kk12,s b)b)线性相关与线性无关的判别：设线性相关与线性无关的判别：设 是一是一组组n n维向量，若向量方程组维向量，若向量方程组 有非零解，则称有非零解，则称 相关，否则无关相关，否则无关. .或或 即即 有无非零解的判定！有无非零解的判定！(3)(3)基本结论基本结论 a) a) 向量组向量组 线性相关的充要条件是至少线性相关的充要条件是至少有一个向量有一个向量 可由其余向量线性表示可由其余向量线性表示. . 12,s 11220ssxxx12,s 1212(,)0ssxxx 0.n sAX12,s i b) b) 若若 线性无关，但是线性无关，但是 线性线性相关，则相关，则 可由

5、可由 唯一线性表示唯一线性表示. . c) c) 无关向量组的部分组仍无关；向量组的一个部分无关向量组的部分组仍无关；向量组的一个部分组相关，则向量组相关组相关，则向量组相关. . d) d) 向量组所含向量的个数大于向量的维数，向量组向量组所含向量的个数大于向量的维数，向量组一定相关一定相关.(n+1.(n+1个个n n维向量线性相关维向量线性相关.).) e) e) 线性相关的充分必要条件是：线性相关的充分必要条件是： f) f) 若若 可由可由 线性表示，且线性表示，且 则则 线性相关线性相关. .12,s 12,s 12,s 12,s 12(,).srs 12,r 12,s rs12,

6、r 若若 无关，且无关，且 可由可由表示，则表示，则(4)(4)极大无关组与向量组的秩极大无关组与向量组的秩 a) a)定义：设定义：设 为一个向量组，若它的一个为一个向量组，若它的一个部分组部分组线性无关，并且线性无关，并且其余向量都可由这个无关部分其余向量都可由这个无关部分组线性表出组线性表出，则称这个，则称这个部分组部分组为向量组的一个极大无为向量组的一个极大无关组关组. . 极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩. . b) b) 向量组秩的求法：将向量组向量组秩的求法：将向量组 中每个中每个向量看成列向量，做矩阵向量看成列向量，做矩阵 ，对，对A

7、 A做行做行初等变换求出矩阵的秩即为向量组的秩！初等变换求出矩阵的秩即为向量组的秩！12,r 12,r 12,s .rs12,s 12,s 12(,)sA c) c) 相关结论：相关结论： 1) 1)极大无关组与向量组等价极大无关组与向量组等价. . 2) 2)等价向量组有相同的秩等价向量组有相同的秩. . 3) 3)若若 可由向量组可由向量组 表出，表出，则则 题型分析：题型分析：1)1)向量组的线性表示向量组的线性表示 2) 2)相关无关的判定相关无关的判定 3) 3)求向量组的极大无关组求向量组的极大无关组例例1 1 设设12,s 12,m 1212(,)(,).smrr 123(1,2

8、,0),(1,2, 3 ),( 1,2,2 ),aabab 试讨论当试讨论当 取何值时，取何值时， (1) (1) 不能由不能由 线性表示；线性表示； (2) (2) 可由可由 唯一线性表示，并求出表示式；唯一线性表示，并求出表示式； (3) (3) 可由可由 线性表示，但不唯一，并写出表示线性表示，但不唯一，并写出表示. .例例2 2 确定常数确定常数 使向量组使向量组可由向量组可由向量组 表示，表示，但但 不能由不能由 表示表示. .例例3 3 设设 可由可由 线性表示，但不能由线性表示，但不能由 表示，证明：表示，证明： 可由可由 表示，表示，但不能由但不能由 表示表示. . (1,3,

9、 3), a b123, 123, 123, a123(1,1, ),(1, ,1),( ,1,1)aaa123(1,1, ),( 2, ,4),( 2, , )aaa a 123, 123, 12,s 121,s s121,s 121,s 例例4 4 已知已知 无关，判别向量组无关，判别向量组 的相关性的相关性. .方法有：定义法，等价与秩法，矩阵法方法有：定义法，等价与秩法，矩阵法例例5 (1)5 (1)若若 且且线性无关，则线性无关，则 线性无关的充分必要条件为线性无关的充分必要条件为矩阵矩阵A A可逆可逆. .(2)(2)若若 无关，且无关，且其中矩阵其中矩阵B B为为 阵，证明：阵，

10、证明： 线性无关的充线性无关的充分必要条件是分必要条件是 ( (即即B B为列满秩为列满秩).). 123, 1223123,32,2 1212(,)(,) ,nnA 12,n 12,n 12,n 1212(,)(,) ,snB ns12,s ( )r Bs例例6 6 若向量组若向量组 中中 ，而且每个，而且每个都不能由都不能由 表示，证明：表示，证明： 线性无关线性无关. .例例7 7 设设4 4维向量组维向量组 问问a a为何值时，为何值时，向量组向量组 相关？当向量组相关时，求它的一相关？当向量组相关时，求它的一个极大无关组，并将其余向量用极大组线性表出个极大无关组，并将其余向量用极大组

11、线性表出. .例例8 8 设向量组设向量组 的秩为的秩为r r，在其中任取，在其中任取m m个向量个向量 证明证明12,s (2)s 10i121,i 12,s 12(1,1,1,1),(2,2,2,2),aa4(4,4,4,4)a3(3,3,3,3),a1234, 12,s 12,iiim12(,).iiimrrms2.2.线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理 定理：方程组定理：方程组 有解的充分必要条件是：有解的充分必要条件是：齐次方程组齐次方程组 有非零解的充分必要是有非零解的充分必要是特别当特别当 时，方程组时，方程组 有非零解的充分有非零解的充分必要是必要是例例1 1 已知方

12、程组已知方程组 无解，求无解，求a.a.例例2 2 设设A A是是 矩阵，矩阵， 是是m m维列向量，证明：维列向量，证明： (1) (1) snA Xb,(| )( ),nr A br An唯一解,无穷多解.0snA X ( ).r Ansn0snA X | 0.A 12312112323120 xaxax mn()()( );r AAr AAr A (2)(2)方程组方程组 必有解必有解. .例例3 3 已知已知 且且A A可逆，可逆， 证明：方程组证明：方程组 与方程组与方程组 或者都无解或者都有唯一解或者都无解或者都有唯一解. .例例4 4 设设A A是是 的实矩阵，对任意的的实矩阵，

13、对任意的 实矩阵实矩阵B B，方程方程 都有解，证明：都有解，证明：A A可逆可逆. .例例5 5 设设n n阶实方阵阶实方阵 满足满足 证明：证明：分析：本题较难入手，分析：本题较难入手，如何与方程组建立联系是关键如何与方程组建立联系是关键！ AAXA()ijn nAa12( ,),nc cc12( ,),nb bbAXdAXd22nn2nnAXB, ,A B CCAABAA.CABA3.3.线性方程组解结构线性方程组解结构 (1) (1)基础解系及其求法基础解系及其求法 a) a)基础解系定义：对于齐次线性方程组基础解系定义：对于齐次线性方程组若若 是它的是它的s s个无关解，且方程组的任

14、一个无关解，且方程组的任一解都可由它们线性表出，则称向量组解都可由它们线性表出，则称向量组是齐次方程组是齐次方程组 的基础解系的基础解系. . b) b)基础解系的求法：对系数矩阵基础解系的求法：对系数矩阵A A做行初等变做行初等变换将换将A A化为最简阶梯形，可得与原方程组同解方化为最简阶梯形，可得与原方程组同解方程组，从而可得自由未知量，当自由未知量分程组，从而可得自由未知量，当自由未知量分0,s nAX12,s 12,s 0s nAX别取单位向量时即可得基础解系别取单位向量时即可得基础解系. .例例 求方程组基础解系求方程组基础解系 (2)(2)齐次方程组解的性质齐次方程组解的性质 a)

15、 a)若若 是方程组是方程组 的解，则的解，则 也是它也是它的解的解. . b) b)若若 是是 的解，则的解，则 也是他的解也是他的解. .从而齐从而齐次线性方程组解的线性组合仍是它的解次线性方程组解的线性组合仍是它的解. . 的通解为：的通解为： 其中其中 为基础解系为基础解系. . 1234123412342202220430 xxxxxxxxxxxx12, 0s nAX120s nAXk0s nAX1 122ssXkkk( ).snr A12,s (3)(3)非齐次方程组解的性质非齐次方程组解的性质 a) a)若若 是方程组是方程组 的解，则的解，则 是是的解的解. . b) b)若若

16、 是方程组是方程组 的解，的解， 是是 的解，则的解，则 是是 的解的解. .方程组方程组 的通解为：的通解为：解空间的维数是：解空间的维数是：题型分析：题型分析：例例1 1 设设 是方程组是方程组 的基础解系，的基础解系，12, s nAXb120s nAXs nAXb0s nAXs nAXbs nAXb01 122.ssXkkk1.nr 12,s 0s nAX11122,tt21223,121,sstttt试问试问 满足什么关系时，满足什么关系时， 也是也是 的基的基础解系础解系. .例例2 2 设设 是齐次方程组是齐次方程组 的基础解系，的基础解系， 不是这个方程组的解，证明：不是这个方

17、程组的解，证明：线性无关线性无关. .例例3 3 设设n n阶方阵阶方阵A A的伴随矩阵为的伴随矩阵为 若若 是是 的互不相等的解，则的互不相等的解，则 的基础解系的基础解系 不存在不存在 仅含有一个非零解向量仅含有一个非零解向量 含两个无关解向量含两个无关解向量 含三个无关解向量含三个无关解向量 12,t t12,s 0s nAX12,s 0s nAX12,s *0.A 1234, s nAXb0s nAX)A)B)C)D例例4 4 设设 为为n n阶方阵，齐次方程组阶方阵，齐次方程组 与与 的的基础解系分布含基础解系分布含 个向量，证明：个向量，证明： 1) 1) 至少有至少有 个线性无关

18、的解向量；个线性无关的解向量； 2) 2)如果如果 ，则，则 必有非零解；必有非零解； 3) 3)如果如果 与与 无公共非零解，且无公共非零解，且则任意向量则任意向量 可唯一表示成可唯一表示成 这里这里 分别分别是是 与与 的解向量的解向量. .例例5 5 已知已知 有三个线性无关的解有三个线性无关的解， ,A B0AX 0BX l与m()0AB X max( ,)l mlmn()0AB X0AX 0BX lmn, 0AX 0BX 12341234123412435131xxxxxxxxaxxxbx 证明：证明：1)1)方程组系数矩阵的秩为方程组系数矩阵的秩为2 2； 2 2）求）求 及方程组的通解及方程组的通解. .例例6