第一章矢量分析

1、电磁场与电磁波通信与信息工程学院通信与信息工程学院 王玲芳王玲芳第2页Easf、Easf、电磁场与电磁波电磁场与电磁波第3页标量标量：只有大小就能确定的量，如：只有大小就能确定的量，如 T , m , U矢量矢量：需要大小、方向才能完全确定的量，如：需要大小、方向才能完全确定的量，如矢量的几何表示：有方向的线段矢量的几何表示：有方向的线段 矢量的矢量的代数表示代数表示： 第一节第一节 矢量代数矢量代数1.1.1 标量和矢量标量和矢量（Scalar and Vector）一、标量和矢量一、标量和矢量sf、AeAeAAA Easf、Easf、FaE、 、A电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章

2、_矢量分析矢量分析 第4页二、场的概念二、场的概念 物理：某一物理量在空间的分布物理：某一物理量在空间的分布 数学：在一个空间区域内数学：在一个空间区域内/ /上定义的函数上定义的函数三、场的分类与表示三、场的分类与表示 1 1、静态场和动态场、静态场和动态场 静静 态态 场：场： 物理状态时间无关物理状态时间无关 动态场动态场( (时变场时变场) )： 物理状态与时间有关物理状态与时间有关),(zyxf),(tzyxf电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第5页 2、矢量场与标量场、矢量场与标量场( (静态场为例定义静态场为例定义) ) 标量场标量场：空间区域的每点：

3、空间区域的每点 对应一个数量对应一个数量 值值 ，它在此空间区域，它在此空间区域V上构成一上构成一 个标量场，用点个标量场，用点 的的 标量函数标量函数 表示。表示。 标量场的自变量、因变量都是标量标量场的自变量、因变量都是标量 例如例如:温度场温度场 ，密度场，密度场 是标量场是标量场),(zyxM),(zyx ),(zyx ),(zyxM),(zyx ),(zyxu),(zyx 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第6页 矢量场矢量场：空间区域空间区域V 的每点的每点 对应一个矢量对应一个矢量 值值 ，它在此空间区域，它在此空间区域V 上就构成上就构成 一个矢量场

4、，用点一个矢量场，用点 的矢量函数的矢量函数 表示。表示。 矢量场自变量是标量，因变量是矢量矢量场自变量是标量，因变量是矢量 例如例如: :流速场流速场 、电场、电场 是矢量场是矢量场),(zyxM),(zyxR),(zyxM),(zyxv),(zyxE电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 ),(zyxR第7页3、场的表示、场的表示 矢矢 量量 ， 矢矢 量量 场场 一个矢量场对应着三个标量场一个矢量场对应着三个标量场zzyyxxFeFeFeF ),(),(),(),(zyxFezyxFezyxFezyxFzzyyxx 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分

5、析矢量分析 第8页1.1.2 矢量的加法和减法矢量的加法和减法 B A矢量的加法矢量的加法 AB B A 矢量的减法矢量的减法 AB -B BABAC ACACB- - 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第9页1.1.3 矢量的乘法矢量的乘法 矢量的点积矢量的点积( (标积标积):):cosA BABA BB A ，ABBA cos上的投影：上的投影：在在ABABAB cos0 BABAABBABA / 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 B A 矢量矢量A与与B的夹角的夹角 BA AB矢量矢量A与与B 的叉积的叉积 sinAB第10页矢量

6、的叉积矢量的叉积( (矢积矢积):):，BAC neABBA sin 0/ BABAABBABA A BBA？用坐标分量表示为用坐标分量表示为:)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBA- - - - - - 写成行列式形式为写成行列式形式为:zyxzyxzyxBBBAAAeeeBA 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 =A BBA矢量的混合运算矢量的混合运算CBCACBA )(CBCACBA )()()()(BACACBCBA CBABCACBA)()()( - - 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积 分配律分

7、配律电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第11页第12页 第二节第二节 常用的正交坐标系常用的正交坐标系1.2.1 直角坐标系直角坐标系 P点的位置用三个量点的位置用三个量 x, y, z 表示表示直角坐标中直角坐标中 是常矢量是常矢量位置矢量：位置矢量： 其微分其微分: zyxeee,zzyyxxAeAeAeA zeyexerzyx dzedyedxerdzyx 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 矢量矢量 的表示：的表示： A.第13页 面积元面积元: :dydzdSx dxdzdSy dxdydSz 体积元：体积元：dxdydzdV 电

8、磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第14页1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系 圆柱坐标中，圆柱坐标中，P 点的位置用三个量点的位置用三个量 表示表示 z, 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第15页直直- -圆坐标圆坐标 关系：关系： cos x sin yzz sincoseeex- - cossineeey zzee 22yx tan/y xzz sincosyxeee cossinyxeee - - zzee 直直- -圆矩阵形式：圆矩阵形式： - - zzyxeeeeee 1000cossin0sincos电磁场与电磁波电磁场与电磁波

9、 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第16页圆柱单位矢量关系：圆柱单位矢量关系：1 zzeeeeee 0 eeeeeezzzeee eeez eeez eeededyx - - cossin eeededyx- - - - - sincos单位矢量的微分单位矢量的微分: 随随 的变化的变化 ee、 矢量矢量 的表示：的表示： 位置矢量位置矢量: zeerz zzAeAeAeA 微分长度：微分长度：dzedederdz A第17页微分体积微分体积：dzdddV 微分面积：微分面积：dzdeSd dzdeSd ddeSdzz 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第18页1.

10、2.3 球坐标系球坐标系 球坐标中，球坐标中，P 点的位置用点的位置用 表示表示 、r电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第19页 cossinrx sinsinry cosrz 222zyxr 22tanxyztanyx cossinsincossinzyxreeee sinsincoscoscoszyxeeee- - cossinyxeee - - sinsincoscossineeeerx- - cossincossinsineeeery - - sincoseeerz- - 球坐标直角坐标关系球坐标直角坐标关系:电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量

11、分析矢量分析 第20页 eer sineer ree- - cosee 0 e cossineeer- - - 单位矢量微分关系单位矢量微分关系: 单位矢量乘积关系单位矢量乘积关系: :1 eeeeeerr0 rreeeeee eeeeeeeeerrr ,电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第21页微分面积：微分面积： drerdedrerdrsin ddreSdrrsin2 drdreSdsin drrdeSd 微分长度微分长度: :矢量矢量 的表示：的表示： AeAeAeArr A位置矢量：位置矢量：rerr 微分体积微分体积: :drddrdV sin2 电磁场

12、与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第22页 第三节第三节 标量场的梯度标量场的梯度( (Gradient of Scalar Field) )1.3.1 标量场的等值面标量场的等值面 三维标量场：等值面三维标量场：等值面 二维标量场：等值线二维标量场：等值线 等值面等值面： ( (C为常数为常数) ) 等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面 例如等温面、等位面例如等温面、等位面 等值线等值线： ( (C1为常数为常数) ) 例如等高线，等温线例如等高线，等温线Czyxu ),(11),(Cyxu 电磁场与电磁波电磁

13、场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第23页等值面或等值线用途：直观了解物理量在场中的分布状况等值面或等值线用途：直观了解物理量在场中的分布状况等高线等高线等温线等温线等值面等值面标量场的等值面具有如下特点：标量场的等值面具有如下特点： 常数常数C取一系列不同的值，因而形成等值面取一系列不同的值，因而形成等值面( (线线) )族族; 标量场的等值面族充满场所在的整个空间；标量场的等值面族充满场所在的整个空间； 标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第24页1.3.2/3 方向导数和梯度方向导数和梯度方向导数意义：方

14、向导数意义：表示场沿某方向的空间变化率表示场沿某方向的空间变化率梯度的意义：梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向变化最大的方向coscoscosuuuulxyzgraduzueyuexueuzyx 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第25页 定义定义算符算符: :zeyexezyx 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 哈密顿算符哈密顿算符数量场数量场u 的梯度是矢量的梯度是矢量( (是空间坐标点的函数是空间坐标点的函数) )梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化

15、率，即最大方向导数的最大变化率，即最大方向导数梯度的方向为该点最大方向导数的方向梯度的方向为该点最大方向导数的方向梯度场：梯度场：数量场数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场中每点都有一个梯度而形成的矢量场第26页zueueueuz 1 ureurerueursin11zueyuexueuzyx 直角坐标梯度直角坐标梯度:圆柱坐标梯度圆柱坐标梯度:球球 坐坐 标标 梯度梯度:电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第27页0()kkuku)(1)()()(2vuuvvvuvuuvuvvuvu - - uufuf )()(梯度运算公式：梯度运算公式：电磁场与电磁波电磁场

16、与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 k为常数为常数第28页 例例 考虑一个二维标量场考虑一个二维标量场 , ,求此标量场的等值面，求求此标量场的等值面，求u 的梯度的梯度 。任取一闭合的积分回路任取一闭合的积分回路, ,证明证明 。xyu- - 2 0l duuxy 2，yeezueyuexueuyxzyx2 - - 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 u 022022020202020 - - - - yxydydxdyeudxeul duyx抛物线积分抛物线积分解：解： ，等值面是抛物柱面；，等值面是抛物柱面；第29页 第四节第四节 矢量场的通量与散度矢量场

17、的通量与散度（Flux and Divergence of Vector Field）散度和旋度：从点的性质揭示矢量场的特性散度和旋度：从点的性质揭示矢量场的特性散度和旋度的基础：通量和环流散度和旋度的基础：通量和环流电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第30页1.4.1 矢量场的矢量线矢量场的矢量线 矢量线：矢量线：曲线曲线C 上每一点处，场的矢量都位于该上每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上点处的切线上 每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。 由矢量线的定义：由矢量线的定义： 与与 共线，共线， 即即 ，于是，于是 解此

18、方程组即得矢量线族解此方程组即得矢量线族),(zyxFFF),(dzdydx0 rdFzyxFdzFdyFdx Fdrrrdr电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第31页1.4.2 通量通量( (Flux) ) 一、面元矢量一、面元矢量 面元矢量：面元矢量： 面的最小单元，在空间有一定取向面的最小单元，在空间有一定取向 为单位矢量为单位矢量 与面元垂直与面元垂直 的的取法有两种取法有两种： 开表面：右手四个指头卷曲开表面：右手四个指头卷曲 沿沿C 的绕向，大拇指为的绕向，大拇指为 的方向的方向 闭合面：闭合面： 是闭合面的外法线方向是闭合面的外法线方向 直角坐标中：直

19、角坐标中： dSeSdn zzyyxxdSedSedSeSd SdneSdenCnenenenene电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第32页二、通量二、通量矢量场矢量场 穿过穿过 的的通量通量： 与与 的标量积的标量积, ,即即 对对 的的面积分面积分: : 穿过曲面穿过曲面 的通量的通量即即在直角坐标中，上式为在直角坐标中，上式为如果如果 是一个闭合面，则是一个闭合面，则SdFdSFSdF cos SSSndSFdSeFSdF cosSdFFSFSzzyyxSxzzyyxxSzzyyxxdSFdSFdSFdSedSedSeFeFeFe )()(S SSdSFSd

20、F cos电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第33页以流体为例说明以流体为例说明 的意义：的意义： 有净流量流出，源有净流量流出，源沟沟( (负源负源) ) 有净流量流入，沟有净流量流入，沟源源 流入体积的流量流入体积的流量=流出体积的流量流出体积的流量0 SSdv0 SSdv0 SSdv SSdSFSdF cos根据通量的大小判断闭合面中源的性质根据通量的大小判断闭合面中源的性质 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第34页1.4.3 散度散度( Divergence ) 此极限值为此极限值为 在该点的散度在该点的散度,记为记为 ( (

21、或或 ) ) 散度：散度：矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限曲面元体积之比的极限说明：说明： 是通量密度是通量密度 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数 散度场：散度场： 与矢量场与矢量场 中的点一一对应得到的数量场中的点一一对应得到的数量场 顾名思义，散度就是一点处发散量的大小顾名思义，散度就是一点处发散量的大小VSdFSV 0limFdivF FF F F电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第35页散度代表矢量场的通量源的分布特性散度代表矢量场的通量源的分

22、布特性若若 ，该点是散发通量的源，该点是散发通量的源- -正源正源( (a) )若若 ，该点是吸收通量的沟，该点是吸收通量的沟- -负源负源( (b) ) 若若 ，该点即无源又无沟，该点即无源又无沟( (c) ) 0 F0 F0 F( (c) )( (a) ) ( (b) )电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第36页推导直角坐标系中散度的表示式：推导直角坐标系中散度的表示式： 与与 沿空间坐标变化有关，但与所取体积无关，沿空间坐标变化有关，但与所取体积无关，只要只要 即可。即可。以以 点为顶点作一个平行六点为顶点作一个平行六面体面体, ,故故 经过左右两面的通量为：

23、经过左右两面的通量为：F F0 V),(zyxMzxzyxFzxzyyxFQyy ),(),(2- - F用偏微分代替偏增量，得用偏微分代替偏增量，得:zyxyFzxyyFQyy 2电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 (x,y+y,z)(x+x,y,z)(x,y,z +z)xyzM (x,y,z)yen/yen- -/xyz zxzyxFzyyxFyy ),(),(- - 第37页同理，前后、上下面的通量分别为同理，前后、上下面的通量分别为: :，zyxxFQx 1zyxzFQz 3故从该平行六面体穿出的通量为故从该平行六面体穿出的通量为: :zyxzFyFxFQQQ

24、SdFzyxS )(321 令令 ，则，则0 zyxV zFyFxFVSdFzyxSV 0limF的散度的散度电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 的散度：的散度：第38页FzFyFxFFzyx zeyexezyx )()(zzyyxxzyxFeFeFezeyexeF 由由哈密顿算符哈密顿算符散度运算的基本公式散度运算的基本公式 ( (C 为常数为常数) ) ! (! (u为标量函数为标量函数) )ACAC )(BABA )(uAAuAu )(电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 圆柱坐标系圆柱坐标系)(sin1)(sinsin1)(122 Fr

25、FrFrrrFr zFFFFz )(球坐标系球坐标系哈密顿算符哈密顿算符和散度的表达式和散度的表达式：zeeez sin11rererer电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第39页第40页1.4.4 散度定理散度定理( (Divergence Theorem) ) 散度定理（高斯定理）：曲面积分与体积分互相转化散度定理（高斯定理）：曲面积分与体积分互相转化 VSSdFdVF 矢量场在空间任意闭合曲面矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分体积中矢量场的散度的体积分证明散度定理：证明散度定理： 体积体积V

26、分成许多体积元分成许多体积元 .计算计算dV 的通量的通量相邻相邻dV 求和时通量互相抵消求和时通量互相抵消部分部分是是S 的面元通量没有抵消的面元通量没有抵消总和总和是从闭合面是从闭合面S 穿出的通量。穿出的通量。2dV、1dV电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 故故 其中其中n是是dV 的数量的数量 第41页 niSSiSdFSdF1VSdFFSV 0lim.1221 SSSdVFdVFSdFSdFSdF SVdVFSdF故故 由散度定义由散度定义用高斯定理要注意条件：用高斯定理要注意条件： 必须是封闭曲面必须是封闭曲面 的各分量具有一阶连续偏导数的各分量具有一阶

27、连续偏导数F电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 例：例：已知已知 ，其中，其中 是常数，取一是常数，取一 个个 、轴线与、轴线与z 轴相合的无限长圆柱面，求轴相合的无限长圆柱面，求 在此圆柱面上从在此圆柱面上从 点点到到 点沿着一条点沿着一条 螺旋线的积分；再求穿过单位长度圆柱面的通量。螺旋线的积分；再求穿过单位长度圆柱面的通量。解：解： 则则 ； 没有没有 分量，则分量，则 ，所以，所以 第42页zkekeAz21/ 21kk 、2 A)0 , 0 , 2()3 ,2 , 2( 2 0 dA 0 Adzededzededel dzz 2222302203029032

28、2kzkzdzkdzAdAl dAz 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第43页单位长度单位长度( ( z= =1 ) )圆柱面的通量圆柱面的通量: :。1201012 kdzdkdSeASdA 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 zkekeAz21 微分面积：微分面积：dzdeSd dzdeSd ddeSdzz 第44页 第五节第五节 矢量的环流与旋度矢量的环流与旋度 （Circulation and Rotation of Vector Field） 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不

29、同于通量源的源不同于通量源的源, ,它所激发的矢量场的力线是闭合的，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零但在场所定义的空间中它对于任何闭合曲面的通量为零但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。闭合路径的积分不为零。1.5.1 环流环流( (Circulation) )直角坐标中，线积分可写成直角坐标中，线积分可写成: : CzyxzyxCCzzyyxxdzFdyFdxFdzedyedxeFeFeFel dF)()(电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无

30、旋场，又称为保守场矢量场为无旋场，又称为保守场( (比如静电场比如静电场) )； 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源( (电流是磁场的旋涡源电流是磁场的旋涡源) )。环流是一个数量环流是一个数量： 与场与场 有关有关 与回路与回路C 的形状和取向有关的形状和取向有关第45页F CCdlFl dF cos电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 回路回路C 构成的面元正法线方向构成的面元正法线方向 与与C 的绕行方向成的

31、绕行方向成右手螺旋关系右手螺旋关系环流密度环流密度回路回路C 构成的面元构成的面元 有方向，有方向，故上述极限与故上述极限与 方向有关。方向有关。 与与 有一角度有一角度 第46页nSl dFLCSn 0limlSdlSdrlSdSd/maxnnLL rlSdSd 0 nLlSdrSd max0nnLL 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第47页1.5.2 旋度旋度( ( Rotation ) ) 极限极限 是某一矢量在面元是某一矢量在面元( )( )上的投影。当上的投影。当面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是

32、该矢量的模。这个矢量称为该矢量的模。这个矢量称为 的旋度的旋度( (curl) )，记为，记为 或或 ，故有，故有 其中其中 是是 在面元在面元矢量矢量( (用用 表示其方向表示其方向) )上的投影。上的投影。nLlSdFFrotFcurlFrotSl dFnCS 0limFrotnFrotn 图 1.5.3 rotF在面元矢量上的投影 C S dl rotF rotnF ne 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 旋度旋度：若在矢量场：若在矢量场 中的一点中的一点M 处存在矢量处存在矢量 ， 的方向的方向是是 在该点在该点环流密度最大的方向环流密度最大的方向，它的，它

33、的模就是这个最大的模就是这个最大的环流密度环流密度。矢量。矢量 称为矢量场称为矢量场 在点在点M 的旋度，记为的旋度，记为 或或 。说明：说明： 在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中，在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中， 不存在旋转强弱的意义；不存在旋转强弱的意义； 旋度与环流中旋度与环流中C 的形状、取向无关，只与场在的形状、取向无关，只与场在M 点的量点的量 本身有关；本身有关； 旋度场：旋度场： 与矢量场与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场中的点一一对应得到的新的矢量场第48页RFF FrotF)(MFF RRFF电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章

34、第一章_矢量分析矢量分析 推导旋度在直角坐标系中的计算公式推导旋度在直角坐标系中的计算公式: 沿回路沿回路1234的积分为的积分为 回路回路1234的积分取极限：因为的积分取极限：因为 ，故，故第49页FzyzFzyyFzFyzyFFzyyFFyFl dFyzzyyzzy - - - - - - )()(1234zySx FrotzFyFSl dFxyzxSx - - 12340lim电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第50页xFzFSl dFFrotzxySyy - - 0limyFxFSl dFFrotxyzSzz - - 0lim类似有：类似有：FFeFeFe

35、zeyexeyFxFexFzFezFyFeFrotzzyyxxzyxxyzzxyyzx - - - - - - )()()()()(电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 圆柱坐标旋度和球柱坐标旋度圆柱坐标旋度和球柱坐标旋度 旋度的运算公式：旋度的运算公式： k 是常数是常数 u是标量函数是标量函数第51页zzFFFzrzeeeF FrrFFrrerereFrrsinsinsin2 AkAk )(BABA )(AuAuAu )(电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第52页1.5.3斯托克斯定理斯托克斯定理( (Stockes Theorem) )

36、 在电磁场理论中，高斯定理和斯托克斯定理是两个在电磁场理论中，高斯定理和斯托克斯定理是两个非常重要的公式。非常重要的公式。 斯托克斯定理：斯托克斯定理：面积分化为线积分或者相反面积分化为线积分或者相反 矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量。在该闭合曲线所围的曲面的通量。SdFl dFSC 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第53页证明斯托克斯定理：证明斯托克斯定理：把把S 分成许多面元分成许多面元取每一个小回路中取每一个小回路中 的环流的环流各小回路在公共边上的那部分积分都抵消各小回路在公共

37、边上的那部分积分都抵消最后只剩下没有公共边界的部分最后只剩下没有公共边界的部分沿所有小回路积分的总和等于沿大回路沿所有小回路积分的总和等于沿大回路C 的积分的积分F图1.5.4 曲面的划分 SSnnCCCSdFSdFrotSdFrotSdFrotdSFrotdSFrotl dFl dFl dF21212121FrotSl dFnCS 0limdSFrotn 表示表示 在在 ( (沿沿 方向方向) )上的投上的投影影，写成点积形式，有写成点积形式，有FSdnSdFrotdSFrotn 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第54页 第六节第六节 无旋场与无散场无旋场与无散

38、场一个标量场可由它的梯度完全确定一个标量场可由它的梯度完全确定P26( (1.6.4) )一个矢量场由它的散度和旋度完全确定一个矢量场由它的散度和旋度完全确定( (第八节第八节 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理) )矢量场的源矢量场的源散度源：散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于( (或正比于或正比于) ) 该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的( (体体) )密度等于密度等于( (或正比于或正比于) )矢量场在该点的散度矢量场在该点的散度； 旋度源：旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性

39、质，穿过一曲面的是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于旋度源等于( (或正比于或正比于) )沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上定点上,这种源的这种源的( (面面) )密度等于密度等于( (或正比于或正比于) )矢量场在该点的旋度。矢量场在该点的旋度。电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第55页1.6.1 无旋场无旋场 无旋场：无旋场：一个矢量场一个矢量场 的旋度处处为零的旋度处处为零 梯度的旋度恒等于零：梯度的旋度恒等于零：旋度为零的矢量可由另一标量的梯度表示：旋度为零的矢量可由另一标量的梯度表示： ，则，则静

40、电场就是旋度处处为零的无旋场静电场就是旋度处处为零的无旋场( ( ) )F0)( u0)()()()()( - - - - - - xuyyuxezuxxuzeyuzzuyezueyuexuezeyexeuzyxzyxzyx0 FuF - - EE0电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第56页 由斯托克斯定理可知，无旋场由斯托克斯定理可知，无旋场 沿闭合路径沿闭合路径C 的的环流等于零，即环流等于零，即 无旋场无旋场F 的曲线的曲线 与路径无关，与路径无关， 只与起点只与起点P和终点和终点Q有关。有关。F0 SCSdFl dF QPl dF电磁场与电磁波电磁场与电磁波

41、 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第57页1.6.2 无散场无散场 无散场：无散场：一个矢量场一个矢量场 的散度处处为零的散度处处为零 旋度的散度恒等于零旋度的散度恒等于零:散度为零的矢量可由另一矢量的旋度表示：散度为零的矢量可由另一矢量的旋度表示：恒定磁场就是散度处处为零的无散场恒定磁场就是散度处处为零的无散场( ) F0 F0)()()()()()()()( - - - - - - - - - - - - yFxFzxFzFyzFyFxyFxFexFzFezFyFezeyexeFxyzxyzxyzzxyyzxzyxFCC 0ABB 0电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量

42、分析 第58页由散度定理由散度定理 可知，可知，无散场无散场 通过任何闭合曲面通过任何闭合曲面S 的通量等于零的通量等于零,即即 F VSSdFdVF SSdF01.6.3 无旋、无散场无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（源在所讨论的区域之外）00)(002 - - uuFuFF1.6.4 有散、有旋场有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分( )( )( )( )( )lCF rF rF ru rA r -无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第59页1.7.1

43、 拉普拉斯运算：对拉普拉斯运算：对 求散度求散度 标量场标量场 u 的梯度的梯度 是一个矢量场，如果再对是一个矢量场，如果再对 求散度求散度 或或 拉普拉斯算符拉普拉斯算符: 或或 直角坐标：直角坐标：u u u uu2 uu 2 2222222zuyuxuu 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第七节第七节 拉普拉斯运算拉普拉斯运算与格林定理与格林定理第60页圆柱坐标：圆柱坐标： 球球 坐坐 标：标：对于矢量场对于矢量场 ，定义：定义：只有只有对直角分量才有对直角分量才有 直角坐标系中：直角坐标系中： 2222221)(1zuuuu 2222222sin1)(sinsin1)(1 ururrurrruF)()(2FFF - - ),()(22zyxiFFii zzyyxxFeFeFeF2222 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第61页1.7.2 格林定理（自学）格林定理（自学）电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第一章第一章_矢量分析矢量分析 第62页第八节第八节 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 只要一个矢量场的散度和旋度处处是已知的，那么只要一个矢量场的散度和旋度处处是已知的，那么就可以惟一地求出这个矢量场。就可以惟一地求出这个矢量场。 在有限的区域在有限的区域V内，任一矢量场由它的散度、旋度内，任一矢量场由