空间力系概要

1、第三章作业第三章作业l习题P105l3-3；3-6；3-7；期中考试大致时间期中考试大致时间10周周五周周五考试范围：第考试范围：第1章章第第3章章 工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。 (a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；迎 面风 力侧 面风 力b第三章第三章 空间一般力系空间一般力系一、定义一、定义为了度量力使物体绕轴转动的效应，引用力对轴的矩。图示门，求力 对z（矩轴）的矩。zFF将力分解：3-1 3-1 力对轴的矩力对轴的矩AxyFzFOd z 轴z 轴ZFxyF于是：于是：的面积2)()(BOAdFFmFmxyxyOz

2、即力即力 与轴共面时，力对轴之矩为零。与轴共面时，力对轴之矩为零。结论结论：力对轴的矩等于该力在垂直于此轴的平面上的投影对此轴与这个平面交点的矩。（1）力对轴的矩是代数量。正负号规定：右手螺旋法则。（2）若力与轴空间垂直，则无须投影。（3）若 / z 轴与z轴相交FFF（4）力沿作用线移动，力对轴的矩不变。结论：力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。 思考题思考题 计算以下计算以下a a、b b、c c三图中力三图中力F F对对Z Z轴之矩。轴之矩。即：)(cos)(FmFmzO)()(FmFmzzO二、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系二、力对点的矩与力对通过该点

3、的轴之矩的关系面积由于AOBFmO2)(2)()(BOAFmFmxyOz通过O点作任一轴Z，则：cosBOAOAB由几何关系：2cos2BOAOAB所以： 结论结论：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系，简称力矩关系式。 kFmjFmiFmFrFmzOyOxOO)()()()(kFmjFmiFmzyx)()()(由于又由第一章知：)F(mOZYXzyxkjikyXxYjxZzXizYyZ)()()(yXxY)F(m,xZzX)F(m,zYyZ)F(mzyx这就是力对直角坐

4、标轴的矩的解析表达式。力对轴的矩的计算方法：（1）定义法；（2）解析式；（4）合力矩定理。（3）力矩关系式；例例1已知P=20N，求 对z轴的矩。解解：方法一：定义法dP)P(m)P(mxyxyOz205. 05 . 020d60cosP0mN22P方法二：解析式X=Pcos600sin450=5Y=Pcos600cos450 = 5Z= Psin600= 10 x= 0.4my=0.2+0.3=0.5mz=0.3mN2N2N3yXxY)P(mzmN 25 . 0255 . 0)25(4 . 0方法三：力矩关系式)(PmOZYXzyxkji31025253 . 05 . 04 . 0kjik2

5、5 . 0j )3425 . 1(i )3525 . 1()P(mx)P(my)P(mz方法四：合力矩定理)P(m)P(mxzz)P(m)P(mzzyz=05 . 045sin60cosP004 . 045cos60cosP00mN25 . 03-2 3-2 空间一般力系的简化与平衡空间一般力系的简化与平衡一、空间汇交力系的合成一、空间汇交力系的合成同平面汇交力系一样，作力多边形（此时是空间的），得：空间汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等空间汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于力系中各力的矢量和，即于力系中各力的矢量和，即in21FF.FFR二、空间力偶系的合成二、

6、空间力偶系的合成空间力偶是自由矢量，所以可以将空间力偶系中各力偶矩矢搬移到某一点，得到一组空间汇交的力偶矩矢。应用空间汇交力系的合成方法，得空间力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩矢等于各空间力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即分力偶矩矢的矢量和，即in21mm.mmm 把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。 nFFFF321, 设作用在刚体上有空间一般力系任选任选O点点简化中心简化中心三、空间一般力系向一点的简化三、空间一般力系向一点的简化根据力的平移定理，将各力向O点平移，1F1m2F2mnFnm=得

7、到一空间汇交力系：, , 321nFFFF和一附加空间力偶系：nmmm,21注意 分别是各力对O点的矩。nmmm,21, , , 321nFFFFRiiFFRnmmm,21OM)F(mmMiOiO合成 ，得主矢原力系各力的矢量和，过简化中心O，且与O点的选择无关。合成 ，得主矩主矩一般与简化中心O有关。结论结论：空间一般力系向一点简化，一般可得一个力和一个力偶，这个力作用在简化中心，大小和方向等于原力系的主矢，即等于原力系各力的矢量和；这个力偶的矩矢等于原力系对简化中心的主矩，即等于原力系各力对简化中心矩的矢量和。若取简化中心简化中心O点为坐标原点建立直角坐标系，则： 主矢大小主矢大小 主矢方

8、向主矢方向 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系: 则主矩大小主矩大小为： 主矩方向主矩方向：222222)()()(iiizyxZYXRRRRcos,cos,cosRZRYRXiii)( ; )( ; )( )(izOziyOyixxiOOxFmMFmMFmFmM222OzOyOxOMMMMOOzOOyOOxMMMMMMcos,cos,cos222)()( )(iziyixFmFmFm 空间一般力系向一点简化的最后结果有以下几种情况：2 2、 则原力系简化为一个合力偶合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。0, 0OMR1 1、 则原力系简化为一个合力合力，主

9、矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。 （换个简化中心，主矩不为零）0, 0OMRRRR四、四、简化结果的讨论简化结果的讨论0M,0 RO3 3、R ROM ，此时可以进一步简化为一个合力 。将 用 代替OMRR RRR RMd,Rdd RMOO根据 、 的转向与 一致的原则确定 在O点的那一侧。RROMR)()(iOOFmRm)()(izzFmRm)(RmMOO由此知又)(iOOFmM即：如果空间一般力系简化为一合力，则合力对任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的矢量和这就是空间一空间一般力系的合力矩定理般力系的合力矩定理。将上式向过O点的任一轴z轴投影，得即合力对任一轴的矩等于各分

10、力对同一轴的矩的代数和。 ，力螺旋力螺旋例例 拧螺丝 炮弹出膛时炮弹螺旋线OMR / 与 成任意角（不平行也不垂直） 把 分解为平行于 的 和垂直于 的 。 分别按、处理。 ROMOM R1M2M R若力与力偶矩矢同向，称为右手螺旋；反之，称为左手螺旋。即原力系简化的结果为O点的一个力螺旋力螺旋。 （自由矢量）平移到O点 RsinM RMdO2 使主矢 搬家，搬家的矩离：2M R1M4 4、 , 则原力系平衡平衡。0, 0OMR 1 1、空间任意力系的平衡方程、空间任意力系的平衡方程2i2i2i)Z()Y()X( R2iz2iy2ixO) )F(m() )F(m() )F(m(M五、五、空间一

11、般力系的平衡方程空间一般力系的平衡方程空间一般力系平衡的充分必要条件是：0M,0 RO0)F(m,0Z0)F(m,0Y0)F(m,0Xiziiyiixi空间任意力系的平衡方程空间任意力系的平衡方程为：还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。0Z,0Y,0Xiii2、空间汇交力系的平衡方程、空间汇交力系的平衡方程以汇交点为简化中心，则3、空间平行力系的平衡方程、空间平行力系的平衡方程取z轴平行于各力，则0)F(m,0Y,0Xizii0)F(m,0)F(m,0Ziyixi于是由空间一般力系的平衡方程得：4、空间力偶系的平衡方程、空间力偶系的平衡方程0)F(m,0)F(m,0)F(mizi

12、yix于是由空间一般力系的平衡方程得：0Z,0Y,0Xiii于是由空间一般力系的平衡方程得：0, 0, 0iziyixmmm(1)球铰（球形铰链）球铰（球形铰链）5、空间约束、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。例球形铰链球形铰链（2）轴承）轴承(滚珠轴承滚珠轴承)，蝶铰链，蝶铰链轴承蝶铰AXAZ（3）止推轴承）止推轴承 （4）空间固定端）空间固定端 例例2 图示起重机自重不计，已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=200kN，起重臂AC位于拉索BE、BF的对称平面内。求:索B

13、E、BF的拉力和杆AB的内力。解（1）以C点为研究对象 （平面汇交力系）)kN(546, 045sin15sin, 011TQTYi53 sin ,54434 cos22(2)以B点为研究对象（空间汇交力系）：3232045sin cos45sin cos , 0TTTTXi )kN( 419 045cos cos45cos cos60sin , 032321TTTTTYi)kN( 2300 sin sin60cos - , 0321BABAiSTTTSZ注意：注意：力偶不出现在投影式中力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，将该矢量向该轴投影（类似力在轴上的投影）例例3 曲杆曲杆ABCD,

14、ABC=BCD=900,已知已知, m2, m3 求：支座反求：支座反力及力及m1=?解解：32321)()(macmabamcambcYbZmDD0 , 0DiXXamZaZmmAAy22 , 0 , 0amYaYmmAAz33 , 0 , 0amYYYYYADDAi3 , 0 , 0amZZZZZADDAi2 , 0 , 00 , 011DDxYcbZmm例例4 已知：AB杆, AD,CB为绳, A、C在同一垂线上，AB重80N，A、B光滑接触，ABC=BCE=600, 且AD水平，AC铅直。求平衡时，绳AD、BCD的拉力及支座A、B的反力。解：解：0N 80, 0PNPNZBBi由由02

15、160cos, 0CEPACTmBDDN)( 1 .23806333260ctg260cos60ctg2160cos PPTACPACTBBCEAC 60cos60ctg又)N( 5 .1121806360cosTT060cosTT ,0XBABAi)N( 20238063N060sinTN ,0YABAi例例5绞车的轴安装于水平位置。已知绞车筒半径r1=10cm，胶带轮半径r2=40cm，a=c=80cm，b=120cm，重物重P=10kN。设胶带在垂直于转轴的平面内与水平成=300角，且T1=3.5T2，求均速吊起重物时轴承A、B处的约束力及T1、T2的大小。 解：解：以绞车为研究对象AX

16、AZBX联立T1=3.5T2，得XB=1.56kN 得ZB=5.1kN BZ得T1=1kN，T2=3.5kN , 0)(izFm0sinsin)(, 0)(21PaaTaTZcbFmBixxzy0, 0)(22211rTrTrPFmiy0coscos)(21aTaTXcbBAXAZBXBZxzy得XA=-5.46kN 得ZA=7.15kN 绞车在AB方向没有约束，可以运动，称为不完全约束系统。但仍然是平衡的（Yi=0）。若在B端换成止推轴承，则系统是完全约束系统。0coscos, 011TTXXXBAi0sinsin, 021PTTZZZBAi例例6均质薄板，单位面积重 =0.5kN/m2，在

17、薄板平面内作用一力偶，其矩M=100kN.m。在过边DE的铅直平面内的D点作用F=10kN的力，与边DE成300角。试求球铰A及三根连杆的约束力。 解：以板为研究对象将板视为正方形ABCD减去三角形CDE。正方形ABCD重P0=62 =18kN，三角形CDE重P1=63 /2=4.5kN（应为负值，即P1向上），作用在各自的重心。 ,0)F(miz0645cosSM645sin30cosFBCkN9 .14SBC,0)F(mixkN25. 0SDD06630sin5310 DDSFPP,0)F(miy0645sin63310 BCBBSSPPkN79. 3SBBkN12. 6AX045sin3

18、0cos, 0 FXXAi045cosS45cos30cosFY,0YBCAi kN7 .16AYkN5 . 1AZ本题也可以不将板处理成P0、P1而是用求板ABCDE的重心来计算。 045sin30sin, 00001DDBBBCAiSSSFPPZZ例例7图示结构，P和M在yOz平面内，力F和AG杆平行于x轴。已知：F=100N，P=200N，M=150N.m，L1=1m，L2=1.5m。求所有的约束力。 解（1）取DE为研究对象：0260sin, 022 MLNLPmED（2）取OAD为研究对象 129LBH 力 在三个坐标轴上分力的大小：BHSBHBHBHySBHLSS29331BHBH

19、BHzSBHLSS29441BHBHBHxSBHLSS29221N6 .36060sin0DDEiZZNPZ得，N100060cos0DDiYPYY得，0, 011LSFLmBHxzNSBH3 .269004, 01OOyXLXm0, 0AGBHxAGOSSFSXXNNLYLSLSLZLNmCDBHzBHyDCx2 .54504432, 011111NYSYYYOBHyDO2500, 0NZSZNZZOBHzDCO8 .3810, 0 空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此空间平行力系的中心空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。 3-4 3-4 物

20、体的重心和形心物体的重心和形心一、空间平行力系的中心、物体的重心一、空间平行力系的中心、物体的重心1 1、平行力系的中心、平行力系的中心由合力矩定理：)()(iOOFmRmnnCFrFrFrRr2211iiinnCFrFRrFrFrFr2211RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC , , :投影式如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。 由合力矩定理： iiCxPxP二、重心坐标公式二、重心坐标公式：y轴：x轴：iiCyPyPP=Pi物体的重量 根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与y轴平行，再应用合力矩定理对x 轴取矩得：iiCz

21、PPz综合上述得重心坐标公式重心坐标公式为：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC,若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得质心公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC ,设 i表示第i个小部分每单位体积的重量，Vi第i个小体积。对于均质物体均质物体， =恒量恒量，则：VzVz ,VyVy,VxVxiiCiiCiiC三、均质物体的重心坐标公式三、均质物体的重心坐标公式：Pi= Vi， P= Pi= Vi= Vi= V于是得：均质物体的重心与其重量无关，只与物体的体积（几何形状）有关，这个只由物体的几何形状决定的点称为物体的形心只由物体的几何形状决定的点称为物体的形心。上式又称为

22、物体的形心公式形心公式。注意：（1）形心与重心是两个不同的概念。对于均质物体，重心和形心是重合的。（2）有对称面（轴、点）的均质物体，其重心必在对称面（轴、点）上。令Vi0，则上式可写成积分形式积分形式：VxdVxCVVydVyCVVzdVzCVA面积AzAz ,AyAy,AxAxiiCiiCiiClzlz ,lyly,lxlxiiCiiCiiC同理可得均质薄壳（板）的重心公式：均质空间曲线的重心公式：l长度同样可得它们的积分形式。解解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段dRdLRdRLdLxxLC2cos 2sinRxC积分法积分法（简单形体）例例8 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。四、确定均质物体重心的方法四、确定均质物体重心的方法 cos Rx 分割法分割法（由简单形体组成的复杂形体）解法一：例例9求图示均质薄板的重心，尺寸如图，长度单位：cm。（1）建坐标系（尽量利用对称性）（2）将图形分成、三个部分，则21cm2520012