第一讲 金融数学简介

1、数理金融初步数理金融初步黄士国课程内容安排：课程内容安排：（1）介绍本门课程所涉及到的一些基本概念；）介绍本门课程所涉及到的一些基本概念；（2）介绍一些基本模型）介绍一些基本模型课程目的：课程目的：（1 1）了解数学与金融学交叉而成的新兴科学的基本情况；）了解数学与金融学交叉而成的新兴科学的基本情况；（2 2）通过一个侧面，了解数学在当今时代的重要作用；）通过一个侧面，了解数学在当今时代的重要作用；（3 3）通过课程的介绍，希望同学们结合自己的兴趣对今）通过课程的介绍，希望同学们结合自己的兴趣对今 后的大学生涯有一个很好的认识和规划；后的大学生涯有一个很好的认识和规划；（4 4）通过课程的学习

2、，期望能对同学们今后的生活方式）通过课程的学习，期望能对同学们今后的生活方式 和理财方式，进而是消费方式的科学合理安排产生和理财方式，进而是消费方式的科学合理安排产生 一定的积极影响。一定的积极影响。第一讲第一讲金融数学与金融工程介绍金融数学与金融工程介绍一、金融数学介绍一、金融数学介绍 金融数学是一门新兴的边缘科学金融数学是一门新兴的边缘科学, , 是数学与金融学的是数学与金融学的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的交叉。它是在两次华尔街革命的基础上产生和发展起来的, , 其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资其核心问题是不确定环境下的最优投资策略的选择理论和资产

3、的定价理论。产的定价理论。 近年来近年来, , 由于金融理论的长足进步、现代信息技术的由于金融理论的长足进步、现代信息技术的飞速发展以及金融市场的动荡飞速发展以及金融市场的动荡, , 金融创新步伐日益加快金融创新步伐日益加快, , 新新的金融产品、金融服务在市场上层出不穷，资金的流动也显的金融产品、金融服务在市场上层出不穷，资金的流动也显著加快。金融市场运行的规律、资产的定价、风险管理以及著加快。金融市场运行的规律、资产的定价、风险管理以及投资决策分析显得空前重要投资决策分析显得空前重要, , 这些问题是现代金融理论与实这些问题是现代金融理论与实 践中的核心问题。践中的核心问题。 由于所研究问

4、题的复杂性由于所研究问题的复杂性, ,单纯的描述型方法已不适应单纯的描述型方法已不适应现代金融学研究的需要。现代金融学已从单纯的描述型学现代金融学研究的需要。现代金融学已从单纯的描述型学科转变成分析型学科，通过建立证券市场的数学模型科转变成分析型学科，通过建立证券市场的数学模型, , 研研究其运行规律究其运行规律, , 并正在向工程化阶段转变。并正在向工程化阶段转变。人们把研制、人们把研制、开发和实施新型金融产品的科学称为金融工程。开发和实施新型金融产品的科学称为金融工程。而把而把相应相应的数学上的建模、分析、计算称为金融数学的数学上的建模、分析、计算称为金融数学。金融工程是。金融工程是金融创

5、新实现的手段金融创新实现的手段, , 金融数学是金融工程的基础金融数学是金融工程的基础, , 并促并促使金融工具不断创新。使金融工具不断创新。 2121世纪中国经济与金融领域研究的一个重大转变，就世纪中国经济与金融领域研究的一个重大转变，就是数量方法的研究被越来越广泛地应用。数量方法在金融是数量方法的研究被越来越广泛地应用。数量方法在金融 中的大量应用使得数学与金融的联系变得密不可分，由中的大量应用使得数学与金融的联系变得密不可分，由 此产生了金融数学这门交叉学科。此产生了金融数学这门交叉学科。 随着金融相关问题研究方式的转变，我国高校金融学专随着金融相关问题研究方式的转变，我国高校金融学专业

6、的教学方式也发生了变革，金融学科普遍加强了数量方法业的教学方式也发生了变革，金融学科普遍加强了数量方法类课程的设置，金融数学往往是被优先考虑的课程。现在很类课程的设置，金融数学往往是被优先考虑的课程。现在很多综合性大学数学系也逐渐增设金融数学专业。多综合性大学数学系也逐渐增设金融数学专业。 金融数学在我国的发展不仅是我国开展金融理论研究的金融数学在我国的发展不仅是我国开展金融理论研究的需求，而实践的需求也进一步推动了金融数学学科的发展。需求，而实践的需求也进一步推动了金融数学学科的发展。因此，金融数学是连接数学与金融问题的一座桥梁。因此，金融数学是连接数学与金融问题的一座桥梁。二、两次华尔街革

7、命与金融数学的产生二、两次华尔街革命与金融数学的产生 1952年年, 马柯维茨的投资组合选择理论引发了所谓的第一马柯维茨的投资组合选择理论引发了所谓的第一次华尔街革命。次华尔街革命。60年代中期年代中期, 夏普提出著名的资本资产定价模夏普提出著名的资本资产定价模型。马柯维茨和夏普因此获得型。马柯维茨和夏普因此获得1990年诺贝尔经济学奖。年诺贝尔经济学奖。1973年年, 布莱克、斯科尔斯和默顿建立的期权定价理论是金融理论布莱克、斯科尔斯和默顿建立的期权定价理论是金融理论的另一次革命性成果的另一次革命性成果, 引发了第二次华尔街革命。默顿和斯科引发了第二次华尔街革命。默顿和斯科尔斯因此获得了尔斯

8、因此获得了1997年诺贝尔经济学奖（布莱克于年诺贝尔经济学奖（布莱克于1995年英年英年早逝年早逝,未能分享此项殊荣）。作为这两次华尔街革命的产物未能分享此项殊荣）。作为这两次华尔街革命的产物, 金融数学蓬勃发展起来金融数学蓬勃发展起来,成为当前发展最快的应用数学分支之成为当前发展最快的应用数学分支之一一, 被称为现代金融中的高技术。许多非常抽象、非常深奥的被称为现代金融中的高技术。许多非常抽象、非常深奥的 现代数学理论与方法例如随机分析、随机最优控制、偏微现代数学理论与方法例如随机分析、随机最优控制、偏微分方程、非线性分析、多元统计分析、数学规则、动力系统、分方程、非线性分析、多元统计分析、

9、数学规则、动力系统、泛函分析、微分拓扑、微分几何现代计算方法等都在金融经泛函分析、微分拓扑、微分几何现代计算方法等都在金融经济学中（如济学中（如资产组合选择、金融衍生工具的设计与定价、风资产组合选择、金融衍生工具的设计与定价、风险分析与管理、套期保值决策以及敏感度分析）险分析与管理、套期保值决策以及敏感度分析）找到了用武找到了用武之地。这对数学界的影响就是吸引了许多数学家投身到金融之地。这对数学界的影响就是吸引了许多数学家投身到金融经济学的研究中去经济学的研究中去。 数学给金融经济学带来了巨大的活力数学给金融经济学带来了巨大的活力, 而金融学又为数学而金融学又为数学的应用提供了又一片广阔的天地

10、。大量所谓的的应用提供了又一片广阔的天地。大量所谓的“火箭专家火箭专家”,指数学家、统计学家、物理学家和计算机专家等涌入华尔街指数学家、统计学家、物理学家和计算机专家等涌入华尔街, 成为受到金融家热烈欢迎的精英人才成为受到金融家热烈欢迎的精英人才, 在金融机构中发在金融机构中发 挥着重要作用。挥着重要作用。 第一次华尔街革命：静态投资组合选择理论第一次华尔街革命：静态投资组合选择理论 在上世纪初在上世纪初, 金融学就已作为一门独立的学科而存在金融学就已作为一门独立的学科而存在, 其关注点在于机制和法律方面其关注点在于机制和法律方面, 没有精致数量分析，一般认为没有精致数量分析，一般认为金融学从

11、一门描述性的科学向分析型的科学的转变始于马柯金融学从一门描述性的科学向分析型的科学的转变始于马柯维茨在维茨在1952年提出的关于投资组合的年提出的关于投资组合的“ 均值一方差均值一方差”理论。理论。该理论为风险和回报的权衡提供了可行的量化手段。考虑这该理论为风险和回报的权衡提供了可行的量化手段。考虑这样的问题假如某投资者同时对多种股票进行投资样的问题假如某投资者同时对多种股票进行投资, 那么为减少那么为减少风险风险, 怎样的投资组合将是最好的，即怎样的投资组合将是最好的，即“买什么买什么”和和“买多少买多少” 为此为此,他们引入了定量的方法他们引入了定量的方法, 把投资组合中的股票价格视把投资

12、组合中的股票价格视 为随机变量为随机变量, 以它的均值来衡量收益以它的均值来衡量收益, 以它的方差来衡量风以它的方差来衡量风险险,利用相关关系数表示证券之间的关联情况。方差反映了利用相关关系数表示证券之间的关联情况。方差反映了收益的不确定性收益的不确定性, 方差越大方差越大, 表示实际收益与期望收益的差表示实际收益与期望收益的差异越大。求收益一定而风险最小异越大。求收益一定而风险最小,或者或者, 风险一定而收益最大风险一定而收益最大的投资组合问题的投资组合问题,就归结为一个线性约束下的二次规划问题。就归结为一个线性约束下的二次规划问题。第二次华尔街革命：期权定价理论第二次华尔街革命：期权定价理

13、论 从从70年代以来年代以来, 随着布雷顿森林协议的垮塌随着布雷顿森林协议的垮塌, 浮动浮动汇率取代了固定汇率金融市场上开始了一系列金融创新汇率取代了固定汇率金融市场上开始了一系列金融创新, 产生许多金融衍生工具。最基本的有期权、期货、远期产生许多金融衍生工具。最基本的有期权、期货、远期和掉期等。金融衍生工具引入市场的主要作用是风险管和掉期等。金融衍生工具引入市场的主要作用是风险管理当然会不可避免地被某些市场参与者用于金融投机。理当然会不可避免地被某些市场参与者用于金融投机。要对风险进行有效的管理要对风险进行有效的管理, 就必须为金融工具提供精确的就必须为金融工具提供精确的定价方法。以期权为例

14、，期权是一种权利但不是责任。定价方法。以期权为例，期权是一种权利但不是责任。期权的持有者具有在某一特定时间或时间段内按某一预期权的持有者具有在某一特定时间或时间段内按某一预先确定的价格购买或出售某项资产如股票、商品、外汇、先确定的价格购买或出售某项资产如股票、商品、外汇、金融指数等的权利。持有这样的一份合约等于是获得了一个金融指数等的权利。持有这样的一份合约等于是获得了一个现在还无法确定的收益。比如现在还无法确定的收益。比如, 对一份标准的欧式看涨期权对一份标准的欧式看涨期权只在到期时刻才能执行只在到期时刻才能执行, 如果到执行时刻时标的资产的价格如果到执行时刻时标的资产的价格高于执行价格高于

15、执行价格, 那么该期权的收益就是差价一否则那么该期权的收益就是差价一否则, 收益为零。收益为零。那么那么, 期权买方该向卖方支付多少期权买方该向卖方支付多少“ 期权费期权费” 以获得这种以获得这种权利这就是期权定价权利这就是期权定价” 问题为了获得准确的期权定价公式问题为了获得准确的期权定价公式, 金融学家和数学家竟然花了半个多世纪的时间。金融学家和数学家竟然花了半个多世纪的时间。 数理金融学的两大突破都用到了非常深刻的数学工具。数理金融学的两大突破都用到了非常深刻的数学工具。前者需要近前者需要近20 年发展起来的随机分析年发展起来的随机分析; 后者更是为数学家提后者更是为数学家提出了许多新问

16、题。出了许多新问题。三、金融数学的分支三、金融数学的分支 金融与金融数学的交叉使得金融数学的范畴不能完全确金融与金融数学的交叉使得金融数学的范畴不能完全确定，一般认为，金融数学包括两个分支：定，一般认为，金融数学包括两个分支： 规范金融数学；规范金融数学； 实证金融数学实证金融数学 所谓规范金融数学，强调运用高等数学、最优化、概率所谓规范金融数学，强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方程等知识对金融理论和金融问题进行研究，比如，论、微分方程等知识对金融理论和金融问题进行研究，比如，两次华尔街革命的结果：资产组合问题和期权定价公式；两次华尔街革命的结果：资产组合问题和期权定价公式； 所谓实证金

17、融数学，强调运用统计学、计量经济学、时所谓实证金融数学，强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知识对金融理论和金融问题进行假设检验，从间序列分析等知识对金融理论和金融问题进行假设检验，从 而得出一些经验性结论，比如资产定价模型的检验、行而得出一些经验性结论，比如资产定价模型的检验、行 为金融学的检验等。为金融学的检验等。四、金融数学的基础理论和最新进展四、金融数学的基础理论和最新进展基础理论：基础理论： （1）证券组合的选择理论；）证券组合的选择理论； （2）资本性资产的定价理论）资本性资产的定价理论（Capital Asset Pricing Model，简称CAPM）； （3）套利定价

18、理论（）套利定价理论（APT，Arbitrage Pricing Theory） （4） Black-Scholes 期权定价公式； （5）M-M理论。 数量方法在经济金融学中的最新进展：数量方法在经济金融学中的最新进展： （1） 随机最优控制理论：随机最优控制理论： 随机最优控制理论是在相当近的时期得到发展的，它随机最优控制理论是在相当近的时期得到发展的，它是解决金融学中随机性问题的重要手段，是数学家们在上是解决金融学中随机性问题的重要手段，是数学家们在上世纪世纪60 60 年代和年代和70 70 年代初对于这一新的数学研究领域做出年代初对于这一新的数学研究领域做出的重要贡献。经济学家们对于

19、随机最优控制的理论方法的的重要贡献。经济学家们对于随机最优控制的理论方法的吸收十分迅速。上世纪吸收十分迅速。上世纪70 70 年代初开始出现了几篇经济学论年代初开始出现了几篇经济学论文文, ,其中有其中有MertonMerton使用连续时间方法论述消费和资产组合的使用连续时间方法论述消费和资产组合的问题问题, , 有有BrockBrock和和MirmanMirman在不确定情况下使用离散时间方法在不确定情况下使用离散时间方法 进行的经济最优增长问题。从此以后进行的经济最优增长问题。从此以后, ,随机最优控制方随机最优控制方 法已经应用到多数的金融经济学领域。法已经应用到多数的金融经济学领域。（

20、2 2）鞅理论）鞅理论 现代金融理论最新的研究成果是鞅理论的引入。在金融现代金融理论最新的研究成果是鞅理论的引入。在金融市场是有效的假定下市场是有效的假定下,证券（股票）的价格可以等价于一个鞅证券（股票）的价格可以等价于一个鞅随机过程。由随机过程。由Karatzas 和和Shreve年等年等1999人倡导的鞅方法人倡导的鞅方法直接把鞅理论引入到现代金融理论中直接把鞅理论引入到现代金融理论中,利用等价鞅测度的概念利用等价鞅测度的概念研究衍生证券的定价问题研究衍生证券的定价问题,得到的结果不仅能深刻揭示金融市得到的结果不仅能深刻揭示金融市场的运行规律场的运行规律,而且可以提供一套有效的算法而且可以

21、提供一套有效的算法,求解复杂的衍生求解复杂的衍生金融产品的定价与风险管理问题。利用鞅理论研究金融理论金融产品的定价与风险管理问题。利用鞅理论研究金融理论的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生证券定价问题证券定价问题,从而使现代金融理论取得了突破性的进展。目从而使现代金融理论取得了突破性的进展。目 前前,虽然鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主虽然鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主 导地位导地位,但在国内还很弱。但在国内还很弱。 （3 3）脉冲最优控制理论脉冲最优控制理论 在证券投资决策问题中在证券投资决策问题中

22、,实际上投资者的交易速率不是有实际上投资者的交易速率不是有界的界的,也不是频繁改变的也不是频繁改变的,因此因此,用连续时间随机控制问题来研用连续时间随机控制问题来研究究,仅仅是一种近似仅仅是一种近似,使得问题变得更容易处理使得问题变得更容易处理,但是但是,事实上往事实上往往与实际问题有较大的距离。因此往与实际问题有较大的距离。因此,若用脉冲最优控制方法研若用脉冲最优控制方法研究证券投资决策问题也许更为合适。究证券投资决策问题也许更为合适。（4 4）微分对策理论微分对策理论 近几年近几年, 一些学者运用微分对策方法研究期权定价问题和一些学者运用微分对策方法研究期权定价问题和投资决策问题。大家知道

23、投资决策问题。大家知道, 任何事物都有发生、发展和消亡的任何事物都有发生、发展和消亡的过程过程,正因为如此正因为如此,社会经济发展具有周期性社会经济发展具有周期性,行业发展和企业行业发展和企业发展也具有周期性发展也具有周期性,因此因此,投资者的投资行为、投资方向也在变投资者的投资行为、投资方向也在变化。在这种情况下化。在这种情况下,使用传统方法研究投资策略问题就显得力使用传统方法研究投资策略问题就显得力不从心了不从心了,若用最优转换控制方法或具有转换策略的微分对策若用最优转换控制方法或具有转换策略的微分对策方法可能具有更为广泛的应用前景。因此，重复对策、随机方法可能具有更为广泛的应用前景。因此

24、，重复对策、随机对策、多人对策理论在证券投资决策问题中的应用研究是值对策、多人对策理论在证券投资决策问题中的应用研究是值得重视的。得重视的。（5 5）最优停时理论最优停时理论 最优停时理论是概率论中一个具有很强应用背景的领域最优停时理论是概率论中一个具有很强应用背景的领域, 70 年代以后得到蓬勃发展。近几年年代以后得到蓬勃发展。近几年, 在国内也有一些学者开在国内也有一些学者开始关注并从事这一领域的研究，也取得了可喜的成果。在国始关注并从事这一领域的研究，也取得了可喜的成果。在国内有关这方面的研究尚不多见。相信运用最优停时理论来研内有关这方面的研究尚不多见。相信运用最优停时理论来研究投资决策

25、问题和风险最小化问题会有更大的进展。究投资决策问题和风险最小化问题会有更大的进展。（6 6）人工智能人工智能 把智能化方法把智能化方法(遗传算法、模拟退火算法、人工神经网络遗传算法、模拟退火算法、人工神经网络) 和传统方法结合起来和传统方法结合起来,应用于金融经济学中是另一个具有更为应用于金融经济学中是另一个具有更为广阔的研究领域广阔的研究领域,给我们提供了广泛的研究课题。国际上有关给我们提供了广泛的研究课题。国际上有关这方面的研究已经有了初步的成果这方面的研究已经有了初步的成果, 在国内也有一大批学者致在国内也有一大批学者致力于这方面的研究。相信金融学家、控制专家和智能专家们力于这方面的研究。相信金融学家、控制专家和智能专家们通力合作通力合作,在这一领域一定能取得突破性的进展。在这一领域一定能取得突破性的进展。 金融数学是发展最快的现代应用数学分支之一。金融安全是金融数学是发展最快的现代应用数学分支之一。金融安全是国家安全的重要方面，建立和发展金融数学、金融工程和金融国家安全的重要方面，建立和发展金融数学、金融工程和金融管理的高科技体系是当前的一项重