让“封闭”题“开放”

1、让“封闭”题“开放”胡挺员 “开放题已成为全世界的热点。开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力。”那么，在教材还没有提供足够的开放题之前，“好的开放题从那里来？”(1)我认为最现实的办法是让“封闭”题“开放”。 一、意识的开放 首先要改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识。学习的目的是为了使自然人过渡到社会人、使社会人更好地服务于社会，由于社会时刻在发生着变化，因此，一个良好的社会人必需具备适应社会变化的能力。让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解题的新方案；即使为了应试，就题论题的学习也是事倍功半，如一九九八年全国高考试题

2、第(19)题：“关于函数f(x)=4Sin(2x+/3)(xR)，有下列命题：由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整数倍；y=f(x)的表达式可改写为y=4Cos(2x-/6):y=f(x)的图象关于点(-/6，0)对称；y=f(x)的图象关于直线x=-/6对称。其中正确的命题是(注：把你认为正确的命题的序号都填上)”显然高中代数上册第184页例4“作函数y=3Sin(2x+/3)的简图。”可作为其原型。学生如果明白这些道理就会产生对问题开放的需求，逐步形成自觉的开放意识。 二、问题的开放 有了开放的意识，加上方法指导，开放才会成为可能。根据创造的三要素：“结构、关系、顺序”，我们

3、可以为学生构建由“封闭”题“开放”的如下模式： 问题本身的开放 获得新问题 问题解法的开放 获得新思路 示例1。(高中平面解析几何习题四第11题)求经过两条曲线x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交点的直线方程。 解法开放：通常是先求交点坐标，再由交点坐标求直线方程。如果对由目标分解出的两个要素进行适当解释：过交点由两曲线方程组成的方程组的解是所求方程的解，直线所求的方程为一元二次方程，那么，只要由第一条曲线方程乘以3与第二条曲线方程相减便可得到所求的直线方程7x-4y=0；如果从“直线”入手，再考虑“过交点”，则可引入直线方程，运用待定系数法求解。 示例2。(高中代数下册第

4、12页例7)已知a、b、mR+,并且a<b,求证(a+m)/(b+m)> a/b。 解法开放：除教材介绍的方法外，根据目标的结构特征，改变一下考察问题的角度，或同时对目标的结构作些调整、重新组合，可获得如下思路：两点(b,a)、(-m,-m)的连线的斜率大于两点(b,a)、(0,0)的连线的斜率；b个单位溶液中有a个单位溶质，其浓度小于加入m个单位溶质后的浓度；在数轴上的原点和坐标为1的点处，分别放置质量为m、a的质点时质点系的重心，位于分别放置质量为m、b的质点时质点系的重心的左侧等。 示例3。(高中平面解析几何复习参考题二第11题)由圆x2+y2=4上任意一点向x轴作垂线。求垂

5、线夹在圆周和x轴间的线段中点的轨迹方程。(答案：x2/4+y2=1) 问题本身开放：先从问题中分解出一些主要“组件”，如：A、“圆x2+y2=4”；B、“x轴”；C、“线段中点”等。然后对这些“组件”作特殊化、一般化等处理便可获得新问题。 对A而言，圆作为一种特殊的曲线，我们将其重新定位在“曲线”上，那么曲线又可分解成大小、形状和位置三要素，于是改变条件A(大小或形状或位置)就可使问题向三个方向延伸。 如改变位置，将A写成“(x-a)2+(y-b)2=4”，即可得所求的轨迹方程为(x-a)2+(2y-b)2=4；再将其特殊化(取a=0)，并进行新的组合便有问题：圆x2+(y-b)2=4与椭圆x

6、2+(2y-b)2=4有怎样的位置关系？试说明理由。 简解：解方程组 x2+(y-b)2=4 x2+(2y-b)2=4得 y=0 或y=2b/3 当y=0时，x2+b2=4， 若b<-2或 b>2，圆与椭圆没有公共点； 若b=±2，圆与椭圆恰有一个公共点； 若 -2<b<2，圆与椭圆恰有二个公共点。 当y=2b/3时,x2+b2/9=4， 若b<-6或b>6，圆与椭圆没有公共点； 若b=±6，圆与椭圆恰有一个公共点； 若-6<b<6，圆与椭圆恰有二个公共点。 综上所述，圆x2+(y-b)2=4与椭圆x2+(2y-b)2=4，当

7、b<-6或b>6时没有公共点；当b=±6时恰有一个公共点；当-6<b<-2或b=0或2<b<6时恰有二个公共点；当b=±2时恰有三个公共点；当-2<b<0或0<b<2时恰有四个公共点。 上面的解法是从“数”着手，也可以从“形”着手分析。 再进一步延伸，得：当b>6时，圆x2+(y-b)2=4上的点到椭圆x2+(2y-b)2=4上的点的最大距离是多少？这类似于1992年浙江省高中证书会考试题，这个问题的解决是对数形结合、等价转化等思想的进一步强化。 对B而言，它是一条特殊的直线，通过对其位置的变更可产生许多有意义的问题；而C是一种特殊的线段分点，同样可以使其进到一般，若对由此产生的结果继续研究就会发现以往的一些会考、高考试题。 开放的行为给上面三个简单的问题注入了新的活力，推陈出“新”、自己给自己出题是人自我意识的回归。 “所有的画都是以只有3种原色的方式构成的。每当我们把某样东西说成是新的的时