南邮数理方程2行波法与傅里叶变换

1、数理方程南京邮电大学、数理学院数 学 物 理 方 程主讲：周澜主讲：周澜 : 南京邮电大学南京邮电大学 、 理学院、应用物理系理学院、应用物理系Equations of Mathematical Physics数理方程南京邮电大学、数理学院1 基本思想：基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 关键步骤：关键步骤： 通过通过变量变换变量变换，将波动方程化为便于积分，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程的齐次二阶偏微分方程。v行波法主要用来求解行波法主

2、要用来求解无界区域内波动方程无界区域内波动方程的定解问题的定解问题数理方程南京邮电大学、数理学院)0,(2txuauxxtt xut0| xutt0| 弦的横振动、均匀杆的纵振动和理想传输线具有相同的弦的横振动、均匀杆的纵振动和理想传输线具有相同的泛定方程泛定方程 :atxatx考虑代换考虑代换数理方程南京邮电大学、数理学院利用复合函数求导法则得利用复合函数求导法则得uuuuuxxx22()()uuuuuxxx222222uuu atxatx同理：同理：22222222(2)uuuuat 数理方程南京邮电大学、数理学院2ttxxua u代换后：代换后：20u 20uu 由于：由于：)(fu再对

3、再对 积分得：积分得： 2,fdftxu12fxatfxat即为原方程的通解即为原方程的通解数理方程南京邮电大学、数理学院u2x2( )fxaa t=0u2xa3au2x32a2a t=1/2u2x2at=1t=2考虑考虑 的物理意义的物理意义22()ufxat随着时间随着时间t 的推移的推移u2的图形以的图形以速度速度a 向向x轴正向移轴正向移动动.数理方程南京邮电大学、数理学院对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想传输线上电流和电压变化而言，传输线上电流和电压变化而言，任意扰动总是以行波的形式分为任意扰动总是以行波的

4、形式分为两个方向传播出去两个方向传播出去，波速为，波速为 ，也即，也即 :a)(1atxfax以速度以速度 沿沿 负方向移动的行波负方向移动的行波2()fxatax以速度以速度 沿沿 正方向移动的行波正方向移动的行波12( , )u x tfxatfxat（1）物理意义：）物理意义： 数理方程南京邮电大学、数理学院(2) (2) 函数函数21 ff 和的确定的确定若研究的弦、杆、传输线为无限长（相对波长而言）的，那么就不存在边界若研究的弦、杆、传输线为无限长（相对波长而言）的，那么就不存在边界条件，只有初始条件。设初始条件为：条件，只有初始条件。设初始条件为：)( )()(00 xxuxutt

5、t把初始条件代入泛定方程的通解，得到把初始条件代入泛定方程的通解，得到:121212120( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )xf xfxxf xfxxaf xafxxf xfxdCa 102011( )( )( )22211( )( )( )222xxCf xxdaCfxxda 12( , )u x tfxatfxat 数理方程南京邮电大学、数理学院102011()()( )22211()()( )222x atx atCf xatxatdaCfxatxatda 1211 ()()( )2( , )()2(x atx atxatxatu x tf xat

6、fxdaat 无限长弦振动的达朗贝尔公式无限长弦振动的达朗贝尔公式00( ) ()( )tttuxxux 只要知道初始条件：只要知道初始条件：就可得到波动方程的解就可得到波动方程的解数理方程南京邮电大学、数理学院11( , )()()( )d22x atx atu x txatxata 结论：达朗贝尔解表示沿结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速轴正、反向传播的两列波速为为a的的波的叠加，故称为行波法。波的叠加，故称为行波法。a. 只有初始位移时，只有初始位移时， 代表以速度代表以速度a 沿沿x 轴正向传播的波轴正向传播的波 代表以速度代表以速度a 沿沿x 轴负向传播的波轴负向传播

7、的波1( , )()()2u x txatxat()xat()xatb. 只有初始速度时：只有初始速度时：假使初始速度在区间假使初始速度在区间 上是常数上是常数 ，而在此区间外恒等于，而在此区间外恒等于01( , )( )d2x atx atu x ta 11( , )()()u x txatxat数理方程南京邮电大学、数理学院222|,|, 0002xttxtxxttaxeueuxuau222()()1122( , )2xatxatxatsaxatu x teeaseds解：将初始条件代入达朗贝尔公式解：将初始条件代入达朗贝尔公式atxatxsatxatxdseee221)()(21222a

8、txatxsatxatxeee22221)()(212)(atxe11( , )()()( )d22x atx atu x txatxata 例：达朗贝尔公式的应用例：达朗贝尔公式的应用数理方程南京邮电大学、数理学院解：根据图形，初始位移为解：根据图形，初始位移为2122112102111210 02 22 2)(xxxxxxxxxxxxuxxxxxxxxux或根据初始条件，利用达朗贝尔公式直接求出根据初始条件，利用达朗贝尔公式直接求出)(21)(21),(atxatxtxu该初始位移分为两半，分别向左右两方以速度该初始位移分为两半，分别向左右两方以速度 a移动，而这两个行波的和就给出如图所示

9、的各个移动，而这两个行波的和就给出如图所示的各个时刻的波形。时刻的波形。 例例2、初速为零、初速为零 0)(x，而初始位移，而初始位移 )(x只在区间只在区间 ),(21xx上不为零，于上不为零，于 2/ )(21xxx处达到最大值处达到最大值 ，如图所示，求出该问题的解。，如图所示，求出该问题的解。 )(x1x2x221xx x1t2t3t4t5t0tuxxxxxx1x2x0u数理方程南京邮电大学、数理学院11( , )()()( )d22x atx atu x txatxata 1xx2xt2xxat影响区域影响区域1xxatx1xxatt1x决定区域决定区域2x2xxatxxatxat依

10、赖区间依赖区间t( , )P x txatC特征线特征线特征变换特征变换行波法又叫特征线法行波法又叫特征线法atx atx 解在点（解在点（x,t）的数值仅依赖于）的数值仅依赖于x-at, x+at内的初值条件内的初值条件.该区域中各点的数值完全由区间该区域中各点的数值完全由区间x1, x2上的初值条件决定，故称上的初值条件决定，故称为该区间的决定区域为该区间的决定区域数理方程南京邮电大学、数理学院常数 atx 0222dtadx2ttxxua u的积分曲线的积分曲线, , 这个常微分方程称为一维波动方程的特征方程这个常微分方程称为一维波动方程的特征方程 . .一维波动方程一维波动方程的两族特

11、征线的两族特征线恰好是常微分方程恰好是常微分方程2222220uuuuuABCDEFuxx yyxy 推广到一般的二阶齐次线性偏微分方程：推广到一般的二阶齐次线性偏微分方程：其特征方程为：其特征方程为：22()2()0A dyBdxdyC dx数理方程南京邮电大学、数理学院032yyxyxxuuu例例 求下面问题的解求下面问题的解: :解解: : 特征方程特征方程 03222dxdxdydy两族积分曲线为两族积分曲线为 13Cyx2Cyx做特征变换做特征变换 yxyx3203|xuy0|0yyu(3)0dydxdydx数理方程南京邮电大学、数理学院3uuuuuxxx22(3)(3)uuuuux

12、xx2222296uuu 2(3)(3)uuuuux yyy 2222232uuu yxyx3数理方程南京邮电大学、数理学院uuuuuyyy 22()()uuuuuyyy222222uuu 02u代入方程化简得代入方程化简得: :yxyx3数理方程南京邮电大学、数理学院02u的通解为的通解为: :1212( )( )(3)()ufffxyfxy代入初始条件得：代入初始条件得：203|xuy0|0yyu212(3 )( )3fxfxx12(3 )( )0fxfx可解得：可解得： 12133fxfxC21934fxxC 2234fxxC数理方程南京邮电大学、数理学院代入通解可得：代入通解可得：22

13、22343341,yxyxyxyxu数理方程南京邮电大学、数理学院2222sincos0dyxdxdyx dx解解 特征方程为特征方程为特征曲线为特征曲线为 1cosCxxy2cosCxxy例例2 2 求方程求方程22sincoscos0 xxxyyyyuxuxuxu的一般解的一般解. .sin1dyxdx 数理方程南京邮电大学、数理学院xyxcosxyxcos所以，做变换所以，做变换则原方程可以变为则原方程可以变为 02u)cos(cos,21xyxfxyxfyxu其中其中 , , 是任意的二次连续可微函数是任意的二次连续可微函数. . 1f2f于是，方程的通解为于是，方程的通解为数理方程南

14、京邮电大学、数理学院注意：并不是任意一个二阶齐次偏微分方程注意：并不是任意一个二阶齐次偏微分方程2222220uuuuuABCDEFuxx yyxy 都有两条实的特征线。都有两条实的特征线。 2dyBBACdxA记记2( , )x yBAC0),( yx双曲型方程双曲型方程0),( yx椭圆型方程椭圆型方程0),( yx抛物型方程抛物型方程数理方程南京邮电大学、数理学院0),( yx双曲型方程双曲型方程0),( yx椭圆型方程椭圆型方程0),( yx抛物型方程抛物型方程双曲型方程双曲型方程过其中每一点有两条不同的实的特征线过其中每一点有两条不同的实的特征线椭圆型方程椭圆型方程过其中每一点不存在

15、实的特征线过其中每一点不存在实的特征线抛物型方程抛物型方程过其中每一点有一条实的特征线过其中每一点有一条实的特征线数理方程南京邮电大学、数理学院2、三维波动方程的初值问题（平均值法）、三维波动方程的初值问题（平均值法）),(|0 00022zyxu(x,y,z)u|,tx,y,z-uautttttatxatxdaatxatxatxfatxftxu)(21)()(21)()(),(21达朗贝尔公式达朗贝尔公式:atxatxatxatxdattdattt)(2)(2三维波动问题可以看为无穷个方向的一维波动问题的叠加三维波动问题可以看为无穷个方向的一维波动问题的叠加数理方程南京邮电大学、数理学院物理

16、意义：物理意义：（1）空间任一点）空间任一点M在任意时刻在任意时刻t0的状态完全由以该点为心，的状态完全由以该点为心，at为为半径的球面上半径的球面上 初始状态决定；（初始状态决定；（2）三维空间的局部有界域内的初始扰动导致）三维空间的局部有界域内的初始扰动导致空间各点在有限时段受扰，无持续后效；（空间各点在有限时段受扰，无持续后效；（3）三维空间局部初始扰动的传播）三维空间局部初始扰动的传播有清晰的波前与波后。有清晰的波前与波后。dstatdstatttzyxuMatMatSS),(4),(4),(2222数理方程南京邮电大学、数理学院一维三维区间:球面：区间中心：球心：区间半径：球半径：区

17、间长度： （积分区间）球的表面积： （积分区间）函数 在区间上的均值：函数 在球面上的均值：22222)()()(tazyx,atxatxx),(zyxMatatat2224taatxatxdfat)(21MatSdsfta),(4122),(zyxf)(xf数理方程南京邮电大学、数理学院0y ,cos|u1 x,|u0y1, x,1x20y22yxyxyxuExamples:1、解边值问题：、解边值问题：2、求解下列问题：、求解下列问题：2000 (, )|sin , |costtxxtttua uxuxuax 数理方程南京邮电大学、数理学院3 、求解定解问题、求解定解问题 x- ,sin|

18、u , 0|u0t ,x- ,sin0tt0t2222xxtxutu4 、求解定解问题、求解定解问题 2002| , 5|xuueuautttxxxtt数理方程南京邮电大学、数理学院5 、求解定解问题、求解定解问题 2/302/3021|06232xyyxyyxyyxyxxeueuuuuuu6、求下列方程的特征线，并化为标准形式、求下列方程的特征线，并化为标准形式0coscos22yyxyxxuxuxu数理方程南京邮电大学、数理学院 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成成三角函数三角函数（正弦和（正弦和/或或余弦函数余弦函数）或者它们的积）或者它们

19、的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换连续傅里叶变换和和离散离散傅里叶变换傅里叶变换。Fourier 变换变换（一）周期函数的（一）周期函数的Fourier展开展开)()2(xflxf用三角函数族（常见）将其展开为用三角函数族（常见）将其展开为Fourier级数级数: )sincos()(10lxnblxnaaxfnnn数理方程南京邮电大学、数理学院其中其中: dxxflall)(2100,cos)(1kdxlxnxflallkdxlxnxflbllksin)(1)sincos(

20、)(10lxnblxnaaxfnnn数理方程南京邮电大学、数理学院（二）奇函数及偶函数的傅里叶展开（二）奇函数及偶函数的傅里叶展开若周期函数若周期函数 是奇函数是奇函数,则则 )(xf若周期函数若周期函数 是偶函数是偶函数,则则 )(xf10cos)(nnlxnaaxflxnbxfnnsin)(1（三）连续傅里叶变换（三）连续傅里叶变换 设函数设函数 是是 的实函数，且在的实函数，且在 上绝对可积，上绝对可积， )(xf(,) (,) 0( ) ( )cos( )sinf xaxbx d)sincos()(10lxnblxnaaxfnnn数理方程南京邮电大学、数理学院（三）复数形式的（三）复数形式的Fourier变换变换)(21)sin(),(21)cos(